APRENDIZAJE DE LA POTENCIA

El aprendizaje de la POTENCIA: La potencia es una operación DIRECTA, a partir de una base y un exponente se obtiene el resultado. Es una multiplicación repetida, la base se multiplica tantas veces como indica el exponente, y por lo tanto el multiplicando es REGULAR. El hecho de que sea una operación repetida de una repetida le confiere un carácter de REITERADA. Si la primera vez se ganan  7€, la segunda siete veces más y la tercera otras siete veces más que la anterior, al final en el tercer paso se consiguen 343€.

     El Constructivista mira el Exterior, analiza y clasifica las unidades delimitando la coyuntura que las separa, usa el pensamiento DIRECTO REGULAR REITERADO, la forma que se obtiene si se conecta a través de la mecánica de separación recurrente. Por ejemplo: Un paquete tiene 12 cajas, cada caja tiene 12 estuches y cada estuche tiene 12 rotuladores. ¿Cuántos rotuladores hay en un paquete? ¿Y en 12 paquetes? Respuesta: Si se calculan los estuches en una caja serían 12·12=144 estuches; si se calculan los rotuladores desde los estuches en una caja serían 12·144=1728 rotuladores; si se calculan los rotuladores en 12 cajas serían 12·1728=20736 rotuladores.

APRENDIZAJE DE LA DIVISIÓN

 El aprendizaje de la DIVISIÓN: La división es la operación INVERSA del producto, a partir del resultado del producto, el dividendo, y uno de los factores, el divisor, se obtiene el otro factor, el cociente. Como operación inversa del producto es restar de forma repetida el divisor del dividendo, todo lo que se pueda, por lo tanto se basa en el uso REGULAR del sustraendo. Si no hay nada que sobre al final, la división es exacta, pero si sobra algo que no se puede restar por ser más pequeño que el divisor, la división es inexacta y hay un resto. Si se quieren ganar como mínimo 28€ en 3 meses, hay que conseguir ganar 10€ cada mes, aunque sobrarían 2€.

     El Perfeccionista se fija en el Cambio, trabaja visualizando el momento en continuo en que surge la diferencia, usa el pensamiento INVERSO REGULAR, trabaja el proceso y madurando el objetivo en las fases. Por ejemplo: En un zoológico se gastan 225 kilos de grano alimentando a 75 avestruces.  ¿Cuántos kilos come en promedio cada avestruz? Respuesta: Suponiendo que comen lo mismo, cada avestruz come 3 kilos, porque si imaginamos que se va repartiendo los kilos de grano, de uno en un kilo a cada avestruz, primero damos una ronda y se gastan 75 kilos, vemos que quedan 225-75=150 kilos, damos otra ronda gastando otros 75 kilos y quedan 150-75=75 kilos, aún queda para una tercera ronda, 75-75=0, o sea, las tres rondas equivalen a 3 kilos por avestruz.

APRENDIZAJE DEL PRODUCTO

El aprendizaje del PRODUCTO: El producto es también una operación DIRECTA, a partir de los multiplicandos se obtiene el resultado de la multiplicación. El producto se fundamenta en la suma repetida de un mismo número, se basa en que es un sumando REGULAR. Es sumar repetidamente el mismo sumando un número determinado de veces. Si durante 4 meses se ganan 7€, cada mes, al final se acumulan 28€ a los 25€, en total 53€.

El Creativo ve el Interior, profundiza en la estructura de conocimiento, usa el pensamiento DIRECTO REGULAR, profundiza y desde el origen  genera el nuevo conocimiento (usando el patrón de repetición que define el nuevo concepto de operación). Por ejemplo: Miguel gasta 2€ todos los días en la guagua que lo lleva a la escuela y lo trae a la casa, ¿Cuánto gasta a la semana si va cinco veces? Respuesta: Gasta 10 euros, porque si se empiezan a sumar los 2 euros desde el primer día, se sumarían 5 veces 2 euros, uno por cada día, así está estructurado el pago, y, 5 veces 2, son 10 euros.

APRENDIZAJE DE LA RESTA

    El aprendizaje de la RESTA: La resta se califica como una operación INVERSA, utiliza el pensamiento inverso, es la operación inversa de la suma, a partir del resultado de la suma, el minuendo, y de uno de los sumandos, el sustraendo, se obtiene el otro sumando empleado, el resultado de la resta. Se tienen 32€ y anteriormente se disponían de 25€, entonces es que se ganaron 7€, que se calcula descontando 7 de 32. 

     El Racionalista se apoya en el Pasado, añade lo ya experimentado, usa el pensamiento INVERSO, razona por qué desde dónde se está se llega a dónde se retrocede, si se quita una parte (comprobando que la suma con lo que se quita da lo que se tiene). Por ejemplo: En un acuario hay 321 peces. Si se venden 100 peces ¿Cuántos peces quedan en el acuario? Respuesta: Quedan 221 peces, y la razón es porque si volviésemos a juntar esos 100 peces con los 221 darían los 321 que había.

APRENDIZAJE DE LA SUMA

El aprendizaje de las operaciones aritméticas avanza por niveles de dificultad, se empieza por la suma, cuando ya se domina, se pasa a la resta, luego la multiplicación, y así hasta la raíz y el logaritmo.  A su vez, la incompletitud numérica de las operaciones inversas hace que se aumenten los conjuntos numéricos y que se repitan las operaciones para cada nuevo conjunto numérico, así hay las siete operaciones en los naturales, los enteros, los racionales, los reales y los complejos.

El aprendizaje de la SUMA: La suma se califica como una operación DIRECTA, a partir de los dos sumandos se obtiene el resultado de la suma contabilizando el total. Si se tienen 25€ y se ganan 7€, en total se consiguen 32€, que se calculan contando 7 desde 25.

El Orientador prefiere la Realidad, usa el pensamiento DIRECTO de las posibilidades, desde algo que existe se establece relación con otra nueva existencia por acercamiento. Por ejemplo: En el aparcamiento de un hotel había 8 coches. Han entrado 5 coches más. ¿Cuántos coches hay ahora en el aparcamiento? Respuesta: Hay 13 coches, porque si se juntan y se contabilizan, da ese número.

Ciclo de KOLB vs APC

COMPARACIÓN ENTRE EL CICLO DE KOLB Y EL DEL APC
CICLO DE KOLB	Aprendizaje de la división	CICLO DEL APC
1.1.-Percibir con la: Experiencia concreta	Repartir 43 caramelos entre 7 niños en partes iguales, dando los caramelos enteros. Se entregan de uno en uno, de dos en dos, etc., intentando hacer rondas completas sin dejar a nadie, hasta acabar los caramelos.	1.1.-Motivación: Señalar la orientación
1.2.-Con pensamiento divergente se llega a procesar con la: Observación reflexiva	Se reparten uno a uno dando vueltas hasta que se completen el máximo número de vueltas posibles. En la bolsa de caramelos vamos quitando 7 caramelos por vuelta, entonces podemos llegar hasta 6 vueltas, 6·7=42, y sobra un caramelo en la bolsa. Se busca el múltiplo de 7 más próximo a 43 y se resta, globalmente, 6·7=42, 43-42=1, sobrando 1. El coeficiente es el número de caramelos que hay que entregar a cada uno y queda un resto.	1.2.-Experimentación: Observar lo experimentado y llegar al razonamiento.
1.3.-Con pensamiento asimilativo se llega a la percibir con la: Conceptualización abstracta	Si tenemos que repartir D (dividendo) objetos entre d (divisor) personas: Si D. Si D>=d, entonces buscamos el múltiplo de d, d·c, más próximo a D y se lo restamos, D-d·c=r, dándonos como resultado, el número de objetos por persona, c (cociente), y lo que sobra sin repartir, r (resto).	1.3.-Conceptualización: Estructurar los conceptos.
1.4.-Con el pensamiento convergente se llega a procesar con la: Experimentación activa	Si hay que repartir 125 objetos entre 13 personas, puesto que los múltiplos de 13 no se tienen mentalmente, seguimos la táctica de restar, poco a poco,  varios múltiplos de 13:   125 -   39        3·13 -------     86 -   39        3·13 -------     47 -   39        3·13 -------       8 El mayor múltiplo que se resta al final es 3·13+3·13+3·13=9·13 El resultado es c=9 y r=8	1.4.-Procesamiento: Trabajar los objetivos fijándose en los detalles.
2.1.-Con el pensamiento acomodador se llega a percibir con la: Experiencia concreta	Para hacer la división mecánicamente, ponemos dos columnas, la de las restas del dividendo y la de las sumas del divisor, seguimos la traza en cada columna hasta llegar al resto y al cociente.  430 |_24____ -240    10·24=240 ------- 190        5·24=120 -120 --------    70       2·24=48 -  48 --------     22      17·24=408 cociente=17   resto=22	1.5.-Mecanización: Investigar fórmulas que mecanicen el proceso.
2.2.-Con pensamiento divergente se llega a procesar con la: Observación reflexiva	Se pueden hacer todas las divisiones siguiendo los pasos, usando múltiplos de 10. Se cogen tantas cifras en el dividendo como hay en el divisor. Si la cantidad que representan esas cifras en el dividendo es menor que el divisor se coge una más. Se hace la división entera que representan esas dos cantidades y se añaden tantos ceros como cifras faltan por considerar en el dividendo.  2308 |__34____ -2040       60+7 -------     268    -238    ­­­-------       30   5308 |__34_________ - 3400      100+50+6 -------    1908   -1700    ­­­-------       208     - 204      ------           4	1.6.-Consolidación: Completar la lista de todas las opciones
2.3.-Con pensamiento asimilativo se llega a percibir con la: Conceptualización abstracta	Para comprobar que la división está bien hecha hay que utilizar la regla de Euclides: D=d·c+r, r 2308=34·67+30, 30<34 p=""> 5308=34*156+4, 4<34 p=""> (No es necesario poner los ceros, se pueden sustituir por huecos). Hasta ahora se suponía que los caramelos que sobraban no se podían partir para seguir repartiéndolos. ¿Se puede extender la división entera a la división decimal?	1.7.-Evaluación: Concluir con criterios de facilidad de uso y nuevas opciones
3.1.-Percibir con la: Experiencia concreta	Repartir 43 caramelos entre 7 niños en partes iguales, pudiendo dar los caramelos enteros o partidos en trozos de igual tamaño.	2.1.-Motivación: Señalar la orientación

Una red neuronal para resolver una ecuación de primer grado

Supongamos la ecuación: 3x+5=19
Representamos la ecuación como una red neuronal:

Hay dos células, la amarilla y la azul.
Red de dos capas.
Hay dos pesos, el de entrada de x que vale 3, y el de entrada del 5 que vale 1.
La célula amarilla tiene una función base que depende de la entrada: 3x+5.
La función de activación f(x)=3x+5
Entrenamos la red dando a x el valor 3, f(3)=3·3+5=14. El valor esperado es 19, se comete un error de -5. Ahora se da el valor x=4, f(4)=3·4+5=17, el error es -2.Si x=6, f(6)=23, el error es de +4. Cuando el error es negativo se tiene una aproximación por defecto de la solución, cuando es positivo es por exceso, la solución exacta sólo se obtiene para error cero. La red debe de saber encontrar soluciones por defecto, por exceso y exactas.

Del papel al ordenador sin programar

¿Como resolver una ecuación de primer grado si tenemos en mecanismo del drag&drop y una fuente de símbolos, signos y números?
Tenemos una ecuación sencilla de primer grado, por ejemplo:
3x-4=7+2x

Entonces hay dos cajas Caja1{} y Caja2{}, que tienen que tener en todo momento lo mismo aunque con expresiones diferentes. Arrastrando de una fuente los números, las x y los símbolos ponemos:
Caja1{3·x,-4} Caja2{7,2·x}
Movemos
Caja1{3·x,-2x, -4} Caja2{7}
Movemos
Caja1 {3·x,-2·x} Caja2{7,4}
Simplificamos
Caja1 {x} Caja2{7,4}
Simplificamos
Caja1 {x} Caja2 {11}

Otro ejemplo: 3x-3=-2x+7
Caja1{3·x,-3} Caja2{-2·x,7}
Movemos
Caja1{3·x,2·x, -3} Caja2{7}
Movemos
Caja1 {3·x,2·x} Caja2{7,3}
Simplificamos
Caja1 {5·x} Caja2{7,3}
Simplificamos
Caja1 {5·x} Caja2 {10}
Dividimos el contenido de las cajas en 5 partes iguales
Caja1 {x,x,x,x,x} Caja2 {2,2,2,2,2}
Simplificamos
Caja1 {x} Caja2 {2}

Simil para el APC

💡1) Un aprendizaje parte de una situación real que identificamos como algo que debemos controlar y no lo podemos hacer de momento. Tiene que ser motivadora la situación para que nos ponga en marcha.
💧2) Nos tiene que hacer recordar otras situaciones anteriores que ya hemos intentado resolver. O al menos que nos lleve a experimentar desde lo aprendido previamente. Estos recursos nos llevaran a la expectativa de poder resolver la situación.
🌳3) Tenemos que encontrar en el conflicto una dirección que seguir que nos de confianza de que al final está la solución.
⌚4) El esfuerzo en trabajar los objetivos se recompensará con obtener los primeros logros.
🔨5) Se obtendrán las leyes que permitan obtener resultados sin esfuerzo por medio de herramientas y mecánicas. Esto será el apoyo necesario para economizar esfuerzos.
👞6) Lo aprendido se generalizará para que se pueda repetir en cualquier situación. Esto consolidará el aprendizaje y lo normalizará.
🌺7) Se evaluará el nuevo aprendizaje para comprobar si se puede emplear en el futuro para situaciones reales similares a las que han llevado al proceso de aprendizaje. Esto hará que el aprendizaje no sea una carga y sea ligero de llevar.

La base del APC

Las operaciones básicas del aprendizaje según el APC son:
1) Relacionar (lo que acerca)-REALIZAR-Motiva a emprender una acción para hacer realidad un deseo. Conseguir que algo exista.REALIDAD
2) Asociar (lo que pega)-RAZONAR-Fundamenta en lo experimentado anteriormente, los recuerdos, la posibilidad de conseguirlo, la evolución. Conseguir manifestar la existencia. PASADO
3) Comparar parecidos (lo que es común)-SINTETIZAR-Profundiza el conocimiento hasta encontrar el origen del mismo, para conseguir la generación. Conseguir verbalizar a la existencia. INTERIOR
4) Comparar diferencias (lo que cambia)-MADURAR-Trabaja madurando con el esfuerzo hasta conseguir el objetivo. Conseguir objetivizar la existencia.CIELO
5) Dividir (lo que separa)-ANALIZAR-Mecaniza la producción con ayuda de herramientas. Conseguir exteriorizar la existencia.EXTERIOR
6) Completar (lo que falta)-PROCEDIMENTAR-Normaliza con métodos para que se pueda repetir indefinidamente la obtención de resultados. Conseguir aportar la existencia.TIERRA
7) Unir (lo que sobra)-EVALUAR- Juzga con criterio y decide lo que tiene peso y lo que no. Conseguir hacer cosas con la existencia. FUTURO

Por ejemplo:
1) Encuentra la relación entre el precio "y" y el peso de "x" kilos de papas, si el precio de un kilo es 2 euros.
[Se plantea establecer una relación entre dos magnitudes, el peso y el precio, esto sirve para cobrar o para que una báscula electrónica se pueda programar para que dé al cliente, cuando este ponga en la bandeja las papas, el tique del peso y el precio] 
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿Y ESTO PARA QUÉ SIRVE?
ES UNA SITUACIÓN REAL QUE EXISTE
2) Asocia a cada peso su precio en los casos de x=1 kilo, x=3 kilos y de x=6 kilos
[Recordando las operaciones aritméticas se puede asociar cada peso, x, con su precio, y. Así para 3 kilos, a 2 euros cada kilo, son 2+2+2=2·3=6 euros. Basta con multiplicar por 2 el peso para obtener el precio.]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿Y ESTO QUÉ SIGNIFICA?
YA SE HA EXPERIMENTADO ANTERIORMENTE CON LAS OPERACIONES DE SUMAR
3) Compara la razón entre el precio y el peso ¿Qué propiedad deduces?
[Los pares (x,y) tienen en común que la razón y/x es constante, siendo esta igual a 2, son magnitudes directamente proporcionales, las fracciones son equivalentes. En cualquier caso y/x=2, entonces y=2x]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿Y QUE SENTIDO TIENE?
CONCEPTUALMENTE HAY PROPORCIONALIDAD
4) Comprueba si la relación y=2x se ajusta a los cálculos anteriores.
[Si la relación la escribimos como y=2x, se prueba con los datos anteriores, sustituyendo x e y por sus valores, que en cada caso se cumple la  igualdad, no hay ninguna diferencia]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿CÓMO FUNCIONA?¿DE QUÉ DEPENDE?
LA FUNCIÓN ASIGNA A CADA VALOR DE X UN VALOR DE Y
5) Recoge en una tabla los resultados anteriores, represéntalos en el plano coordenado analizando como va creciendo el precio conforme aumenta el peso.
[La característica de esta función es que si se representan los puntos en el plano éstos están alineados en crecimiento, y esta es su singularidad] 
EL ALUMNO PREGUNTA:¿CUÁL ES LA MECÁNICA?¿CÓMO SE DEFINE?
LA IMAGEN DE ESTA FUNCIÓN UNA SERIE DE PUNTOS ALINEADOS POR EL TEOREMA DE THALES
6) Completa la tabla con distintos valores según otro precio del kilo ¿Cuál es el primer punto?
[Falta comprender dónde empieza esta alineación y hacia donde vá, y que esto siempre ocurre así]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿Y ESTO SIEMPRE ES ASÍ?¿CUÁLES SON LOS PASOS?
SE EMPIEZA POR EL PRECIO DE UNA UNIDAD Y EN CADA CASO SE VA MULTIPLICANDO POR EL NÚMERO DE KILOS INDEFINIDAMENTE. SI NO HAY KILOS EL PRECIO ES CERO.
7) ¿Tiene sentido unir los puntos del plano?¿Qué gráfica sale?
[Es posible que x tome cualquier valor, es una magnitud continua, las papas van creciendo en peso de forma seguida, luego si todos los puntos son posibles y están alineados, se pueden unir con un trazo seguido, empezando en el (0,0), la gráfica es una semirrecta, es una función lineal]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿Y ÉSTO DE DÓNDE SALE?¿CÓMO SE EXPLICA?
LOS KILOS SON NÚMEROS REALES POR TANTO LA GRÁFICA ES UNA SEMIRECTA RECTA CONTINUA. ES UNA RELACIÓN ENTRE NÚMEROS REALES. FUNCIONA EN CUALQUIER CASO.

El inquietante caso de la niña que ahorraba para comprar un juguete y sabía resolver ecuaciones de primer grado

En el post anterior nos hemos encontrado con este problema:
Una niña tiene 4 euros y recibe una paga semanal de 5 euros, gastando cada semana x euros. Quiere comprar un juguete que cuesta 16 euros. Piensa juntar el dinero para dentro de 6 semanas que es su cumple. ¿Cuánto puede gastar fijo cada semana?

La ecuación es: 4+6(5-x)=16
Su resolución es:
4+30-6x=16
34-6x=16
-6x=-18
x=3
Puede gastar 3 euros todas las semanas, con lo que ahorra 2 euros, en total 12 euros, que sumados con los 4 que tenía hacen los 16.

Hasta aquí no hay problema, pero ¿que pasa si su abuela le dice que lo que gaste ella semanalmente se lo ingresa ella?.

Ahora la ecuación es :4+6(5-x)+6x=16
Su resolución:
4+30-6x+6x=16
0x=-18
0=-18
Esto significa que no hay solución. Pero no quiere decir que no pueda gastar nada, todo lo contrario puede gastar todo lo que quiera porque al final tiene 34 euros, mas de lo que necesita.

Pero si en lugar de tener una paga semanal de 5 euros fuera de 2 euros, con la ayuda de la abuela, ¿qué pasaría?

Ahora la ecuación es: 4+6(2-x)-6x=16
Su resolución:
4+12-6x-2x=16
16-6x+6x=16
0x=0
0=0
Esto significa que hay infinitas soluciones, dentro del rango. Puede gastar lo que quiera porque llega justo a los 16 euros, en 6 semanas.

¿Y si la paga es de 1 euro?
4+6(1-x)+6x=16
4+6-6x+6x=16
0x=6
0=6
No tiene solución. Pero ahora es cierto que gaste lo que gaste no consigue juntar los 16 euros, sólo consigue 10 euros.

La conclusión es que la información que nos da la solución de una ecuación, en el caso de que no exista, no nos dice por si sola si realmente el problema que intenta resolver tiene otra solución posible o no. Tal vez se pueda interpretar el signo del número que queda en el segundo miembro. Tal vez la ecuación no es el modelo adecuado y tenga que usar una inecuación. Al final, las matemáticas hay que usarlas con criterio porque sino los resultados pueden llevar a equívocos.

UNIDAD DIDÁCTICA: Resolver ecuaciones de primer grado

Motivación
Una ecuación de primer grado es una igualdad entre dos expresiones algebraicas con la variable x sólo con potencia uno. La solución de la ecuación es el valor de x que hace que la igualdad sea cierta.

Si digo, fui a la tienda de ropa, me compré tres pantalones de igual precio y una falda que cuesta 15 euros. No recuerdo el precio de cada pantalón, pero sí recuerdo que pagué con un billete de 50 euros y me devolvieron 5 euros, ¿puedo deducir el precio de cada pantalón?

Esto es una ecuación porque plantea una igualdad, el precio detallado de las prendas y el pago final con dinero en mano. La incógnita es el precio de un pantalón. Es de primer grado puesto que es el precio tal cual, no es al cuadrado ni al cubo. Las expresiones algebraicas que se igualan son: tres por el precio de un pantalón más 15 euros del precio de la falda (3x+15); el billete de 50 euros menos la devolución de 5 euros (50-5). La ecuación es 3x+15=50-5

La solución se puede deducir llevando las cuentas mentalmente: El pago fue de 50-5=45 euros. Si descontamos el precio de la falda se tiene lo que costaron los tres pantalones, 45-15=30 euros, y como eran tres, cada uno costó 30/3=10 euros. Se puede comprobar la solución: 3·10+15=50-5.

A veces las expresiones algebraicas pueden ser más complejas y no se puede hacer mentalmente, por lo que es necesario llevar al papel la ecuación para, con ayuda del cálculo algebraico, obtener la solución.

Experimentación
Cuando se plantea una ecuación se hace llevando una contabilidad donde alguna partida no sabemos su valor y se deja indicada. La resolución de la ecuación sería deshacer la contabilidad, poco a poco, hasta llegar a aislar esa partida desconocida.

Veamos un ejemplo:
Un mago le pide a un niño que piense un número entre 0 y 9. Y le dice que lo va a adivinar.
   a) Para el mago ese número se llama x.
A continuación le dice al niño que le sume 3 a ese número, en su cabeza.
   b) Para el mago, que lleva la contabilidad, van x+3.
Ahora le dice al niño que el resultado lo multiplique por 2.
   c) Para el mago van 2(x+3).
Ahora le dice que al resultado le sume 5.
  d) Para el mago van 2(x+3)+5.
Finalmente le pide el resultado al niño, y este le dice que sus cuentas dan 13.
En primer lugar la ecuación a resolver es: 2(x+3)+5=13
La solución la obtiene el mago deshaciendo el camino. De atrás para adelante.
El último paso fue sumar 5, pues ahora resta 5
  d) Para el mago su contabilidad vuelve a 2(x+3) y para el niño a 13-5=8
El penúltimo paso fue multiplicar por 2, pues ahora hay que dividir por 2.
  c) Para el mago le queda x+3, para el niño 8/2=4
En el anterior paso el mago pidió sumar 3, ahora hay que restar 3.
  b) Para el mago le queda x, y para el niño 4-3=1
Ya solo queda lo que dijo el mago, que pensara un número
  a) Para el mago era x, para el niño el 1
La solución es que el niño pensó en el 1

Conceptualización
Una ecuación tiene dos miembros, la expresión de la izquierda de la igualdad, el primer miembro, y la expresión de la derecha de la igualdad, el segundo miembro.
MIEMBRO 1= MIEMBRO 2
Durante la resolución se hacen operaciones sobre la ecuación de forma que se pasa de una ecuación a otra, equivalente, que mantiene la solución, pero más cercana a la última, x=a.
MIEMBRO' 1= MIEMBRO' 2
MIEMBRO'' 1= MIEMBRO '' 2
..................................................
x=a
Las operaciones permitidas que simplifican y mantienen la solución son:
1) Se pueden hacer las operaciones ordinarias siguiendo la jerarquía en cada miembro de la ecuación para simplificarlos.
2) Se puede sumar o restar el mismo número en ambos miembros de la ecuación.
3) Se puede multiplicar o dividir por el mismo número en ambos miembros de la ecuación (no se puede dividir por 0).

Por ejemplo:
Sea la ecuación 3(x-3)-7-x=4
Primero se quita el paréntesis (1):
3x-9-7-x=4
Ahora se simplifica el primer miembro (1)
2x-16=4
Ahora se suma 16 en ambos miembros (2)
2x=20
Ahora se divide por 2 ambos miembros (3)
x=10
Como la solución se mantiene en todos los pasos, resulta que x=10 es la solución del último paso, luego es la misma que la de la ecuación.

Procesamiento
Puede ocurrir que haya expresiones con x en ambos miembros. Las operaciones que se hacen en las ecuaciones para transformarlas en ecuaciones equivalentes más simples van aislando la x en el primer miembro y dejando un número en el segundo. La táctica es dejar los términos con x agrupados en el primer miembro y los términos numéricos en el segundo.

Por ejemplo,:
Sea la ecuación: 5(2x+6)=-2(x-3)+72
La primera tarea será quitar todos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva:
10x+30=-2x+6+72
La siguiente tarea es restar 30. Ya se ve que desaparece el 30 del primer miembro y lo que aparece es -30 en el segundo. Es como si el +30 del primer miembro se desplazara al segundo como -30.
10x=-2x+72-30+6
Se simplifica el segundo miembro:
10x=-2x+48
Para pasar el -2x al primer miembro, se hace como con los números, se suma en ambos miembros +2x, con lo que desaparece el -2x del segundo miembro y aparece en el primero. Hay que pasar juntos el -2 y la x, no se puede pasar el-2 dividiendo porque el -2x está en una expresión que suma al 48.
10x+2x=48
Se agrupan las x en el primer miembro:
12x=48
Ahora hay que dividir por 12 ambos miembros, pero es como si el 12 que está en el primer miembro multiplicando pasara dividiendo al segundo.
x=48/12
Simplificando el segundo:
x=4

Entonces se pueden hacer cambios en las transformaciones permitidas sobre las ecuaciones:
2') Si un número o expresión algebraica está sumando o restando en un miembro puede pasar al otro cambiado de signo.
3') Si un número o expresión algebraica (no cero) está en un miembro multiplicando o dividiendo y no hay términos sumando o restando, puede pasar al otro dividiendo o multiplicando, respectivamente.

Mecanización
De forma automática hay que resolver las ecuaciones de primer grado.

Por ejemplo, resolver 3(2x+2)-4=5(x+2)+2
Primero, quitar paréntesis: 6x+6-4=5x+10+2
Segundo, pasar los términos o agrupar los semejantes. Si se toma la segunda opción queda, 6x+2=5x+12
Tercero, pasar los terminos en x al primer miembro y los otros al segundo, cambiando los signos:
6x-5x=12-2
Cuarto, agrupar términos semejantes: x=10

En este caso ya se llega a la solución.

Otro ejemplo, resolver 2(x+3)-4=2x+3
Primero, quitar paréntesis: 2x+6-4=2x+3
Segundo, agrupar términos semejantes: 2x+2=2x+3
pasar los términos en x al primer miembro y los otros al segundo, cambiando los signos:
2x-2x=3-6+4
Tercero, agrupar: 0x=1
En este caso queda 0=1, lo cual es absurdo.

La última igualdad es falsa, luego todas las igualdades anteriores lo son. La ecuación es la primera igualdad y es falsa para cualquier valor de x, eso significa que no hay ningún valor que haga

Otro ejemplo, resolver 4(x+2)-2=6x-2(x-3)
4x+8-2=6x-2x+6
4x+6=4x+6
4x-4x=6-6
0x=0
0=0

Esto significa que la ultima igualdad es siempre cierta independiente de la x, entonces la primera igualdad se cumple siempre par todo valor de x. La ecuación es una identidad y tiene infinitas soluciones.

Consolidación
De esta forma ya se puede resolver cualquier ecuación de primer grado.
Puede tener una, ninguna o infinitas soluciones, la forma de concluir es llegando a una ecuación equivalente de la forma x=a, 0=a ó 0=0, respectivamente.

• Se empieza por eliminar paréntesis,
• se agrupan términos semejantes que se estén sumando o restando,
• se pasan los términos en x al primer miembro y los que no la tienen al segundo, cambiando el signo
• se vuelven a agrupar términos semejantes,
• y se despeja x pasando su coeficiente al otro lado dividiendo si está multiplicando o multiplicando si está dividiendo.
• Si la última ecuación es una de los tres casos anteriores se concluye como se indica.

Ejemplo: -5(x+6)+4(x-2)=2x+1
-5x-30+4x-8=2x+1
-x-38=2x+1
-x-2x=38+1
-3x=39
x=39/-3
x=-13
solución única

Evaluación
Una niña tiene 4 euros, cada semana recibe 5 euros de paga y gasta una cantidad fija x. Quiere ahorrar para comprar un juguete que cuesta 16 euros. ¿Cuánto puede gastar si quiere tener el dinero dentro de 6 semanas?
Variable: x es lo que gasta fijo por semana
Ecuación: 4+6(5-x)=16
Resolución:
4+30-6x=16
34-6x=16
-6x=16-34
-6x=-18
x=-18/(-6)
x=3 euros semanales

Supongamos que quiere tener el dinero en 2 semanas
Ecuación: 4+2(5-x)=16
Resolución:
4+10-2x=16
14-2x=16
-2x=16-14
-2x=2
x=2/(-2)
x=-1
en lugar de gastar tiene que ingresar 1 euros a la semana aparte de los 5 euros

Supongamos que quiere gastar los 5 euros, ¿cuántas semanas tiene que estar ahorrando?
Variable: y es el número de semanas
Ecuación: 4+y(5-5)=16
4+0y=16
0y=12
0=12
no hay solución

Supongamos que sólo recibe de paga 2 euros
Variable: x es lo que gasta fijo por semana
Ecuación: 4+6(2-x)=16
4+12-6x=16
16-6x=16
-6x=-16+16
-6x=0
x=0/(-6)
x=0
no puede gastar nada

Supongamos que lo que gasta semanalmente lo puede volver a ahorrar porque se lo financian
Ecuación: 4+6(5-x)+6x=16
4+30-6x+6x=16
34+0x=16
0x=16-34
0x=-18
0=-18
no hay solución
En 6 semanas tiene 34 euros, no 16. Evidentemente junta más dinero de lo que necesita, lo que dice la ecuación es que exactamente 16 euros no los puede conseguir con este plan.

Averigua la operación

Supongamos que tenemos una operación entre dos números llamada O y queremos averiguar qué operación es, de las aritméticas, a partir de los operandos y el resultado, por ejemplo:
3O4=7
Parece obvio que O=+, pero, ¿puede haber otra operación que cumpla la igualdad?
Las opciones son:
3+4=7
3-4=-1
3·4=12
3:4=0'75
 =1'587....
3^4=81
log3(4)=1'262....

¿Existe un método más simple para averiguar la solución sin recurrir a probar todas las operaciones?

Otro ejemplo, averiguar la operación que cumple 2O2=4.
En este caso puede ser, 2·2=4, ó 2^2=4, ó 2+2=4, tres soluciones posibles.

Otro ejemplo, averiguar la operación que cumple 2O3=4.
En este caso no hay solución.

Otro ejemplo, averiguar la operación que cumple 3O4=4O3.
La solución puede ser, 3+4=4+3, ó 3*4=4*3.

El estudio de las operaciones lleva al álgebra moderna.

Poner, quitar y repetir, en el espacio y en el tiempo

En el origen de las matemáticas está el poner, quitar y repetir. Si tenemos una naranja y ponemos otra, tenemos dos naranjas, Si tenemos dos naranjas y quitamos una, tenemos una. Si ponemos tres naranjas repetidamente hasta cinco veces, tenemos quince naranjas. Si tenemos diez naranjas y quitamos dos repetidamente hasta cinco veces, no queda ninguna. Si ponemos las naranjas en una caja en su base en filas de tres, hasta un total de tres filas, y podemos repetir tres niveles iguales tendremos una disposición en forma de cubo con tres por tres por tres naranjas, o sea, veintisiete naranjas.  Si tenemos una disposición en forma de cubo de ciento veinticinco naranjas, es que son cinco filas de cinco naranjas en cinco niveles. Si quiero saber si puedo poner una disposición cúbica de ocho naranjas lo puedo hacer porque es posible hacer un cubo de dos por dos por dos naranjas.

El álgebra inicialmente correspondía a los términos de "reponer" o "reintegrar", eso significa que si tenemos un número indeterminado de naranjas y le añadimos dos y comprobamos que hay cinco, es que inicialmente había tres. Para ello quitamos a las cinco las dos que le añadimos y reintegramos la situación al principio. Pero también hay un hecho fundamental, ponemos, quitamos y repetimos en el tiempo.  El análisis estudia las relaciones. Si empezamos con dos naranjas y todos los días repetimos poniendo tres nuevas naranjas, podemos contar el número de naranjas acumuladas al cabo de cinco días, un total de diecisiete. Y al cabo de siete días, veintitrés. Y al cabo de diez, treinta y dos.

Lo curioso del caso es que también se pueden hacer matemáticas sin necesidad de poner, quitar o repetir nada físico, puede hacerse mentalmente. Incluso imaginar situaciones imposibles de llevar a la práctica en principio. ¿Qué decir de tener cuarenta mil billones de naranjas y poner ciento veinte mil trillones de naranjas? Matemáticamente es posible, en la realidad cualquiera diría que no. Esto es debido al instrumento que es nuestro cerebro, la potencialidad de las matemáticas es la propia potencialidad del cerebro humano.

Horarios y ecuaciones.

• Sofía camina todos los días 3/4 de hora. Si quiere acumular 6 horas, ¿cuántos días tiene que caminar?

Si x es el número de días, 3/4*x=6, 3*x=4*6, 3*x=24, x=24/3=8

• Joel ve la tele todos los días, aproximadamente 2 horas y media cada día, ¿Cuántos días tienen que pasar para que acumule un día entero de ver televisión?

Si x es el número de días, 2'5*x=24, x=24/2'5=9'6

• Gisella tiene que preparar un examen para dentro de 3 días. Si quiere dedicarle 5 horas como mucho, ¿cuánto tiene que estudiar cada día?

Si x es el tiempo diario, 5=3*x, x=5/3=1+2/3=1h 40m

• Eric va a hacer un curso de formación, tiene que hacer 60 horas, 30 no presenciales y el resto presenciales. Los días que tiene que asistir son de 5 horas, ¿cuántos días tiene que estar presente recibiendo el curso?

Si x es el número de días, 60=30+5*x, 60-30=5*x, 30=5*x, x=30/5=6

• Noelia tiene que elegir entre ponerse en la cola A o en la B. En la A hay 30 personas y en la B hay 20. En la A van más rápido, atienden a 2 personas cada 5 minutos y en la B más lentos, 1 persona por cada 5 minutos. ¿En que cola debe ponerse?

Si x es el tiempo que tardan las dos colas en igualarse, 30-(x/5)*2=20-(x/5)*1, 30*5-2*x=20*5-1*x, 150-2*x=100-x, 150-100=2*x-x, x=50 min, quedan 10 personas, luego debe ponerse en la cola A.