Unidad didáctica: Poner un suelo

Motivación:

Bricolaje Decoración

Una habitación cuadrada de 36 m² se va a recubrir usando losas cuadradas de 1.60 m² cada una (las medidas son aproximativas a escala de centésimas). ¿Cuántas losas se necesitan?

Experimentación:
Empezamos a poner losas:

2 losas: 36-2·1.6=36-3.2=32.8 m²  faltan por cubrir
3 losas: 36-3·1.6=36-4.8=31.2 m²  faltan por cubrir
...............................
10 losas: 36-10·1.6=36-16=20 m²  faltan por cubrir
..............................
20 losas: 36-20·1.6=36-32=4 m²  faltan por cubrir
.............................
23 losas: 36-23·1.6=-0.8 m²  sobran

Conceptualización:
Como la habitación es cuadrada y las losas también los son, formamos grupos de losas que sean cuadrados perfectos:

1 losa (1x1): 36-1.6=34.4 m² faltan por cubrir
4 losas (2x2): 36-1.6·4=36-6.4= 29.6 m²
..............................
16 losas (4x4): 36-1.6·16=36-25.6=10.4 m²
Los 10.4 m² que faltan hay que rellenarlos de otra forma, hay que partir losas.

Procesamiento:
16 losas son un cuadrado de 4x4 losas. La habitación tiene de lado 6 m y cada losa la raíz de 1.6, aproximadamente 1.2 m si hacemos un redondeo inferior (perdiendo unos 0.06 m=6 cm). Entonces, las cuatro losas son 4·1.2=4.8 m, cabe otra losa rebajando un poco, 5·1.2=6. Entonces el total de losas será 16+4+4+1=25. Si hacemos esto añadimos 2 losas más. Si corregimos el redondeo con dos cifras, el lado es 1.25 m, 4·1.25=5 m. Hay que recortar las últimas para hacer 8 cuadrados de 1x1, y con lo que sobra se ahorra una losa si usamos los recortes para hacer la última. Aún así son 24 y el resultado queda poco estético.

Mecanización:
Asumimos que las losas son de 1.25 m de lado, por tanto con cuatro losas por lado son 5 m y falta 1 m para los 6 m. Si partimos las losas grandes en losas cuadradas más pequeñas, pero lo más grandes posible, tienen que tener de lado un divisor de 100 cm y de 125 cm, es el máximo común divisor de ambos números:
mcd(100,125)=25
Las losas grandes se cortan en losas cuadradas de 0.25 m de lado y cada losa da 25 losas cuadradas más pequeñas de 0.0625  m²  . Para rellenar todo el espacio se necesitan 36:0.0625=576, 576:25=23.04 losas, serían por tanto 24 losas. Aunque se podría ajustar para obtener las 23 losas, cabe pensar que no es posible en la práctica obtener precisión de milímetros para hacer cortes.

Consolidación:
Ante el problema de recubrir una habitación cuadrada (de lado L en m) usando losas cuadradas (de lado l en m) de forma que obtengamos un resultado estético, procederemos de la siguiente manera:
1º) Dividir L² entre l², si no es exacta tomar el redondeo superior como primera aproximación del número de losas. Si es exacta, el cociente es el resultado buscado.
2º) Dividir L entre l, tomar el cociente entero, ci=Ent(L/l). El número de losas máximo es ci·ci+2ci+1.
3º) Si es posible dividir en cuadrados más pequeños las losas cuadradas y el recubrimiento es aceptable usando el máximo tamaño posible, calcular en cm el mcd(l , L-ci·l)=d.  Hay que cortar las losas en cuadrados de lado d cm. El número de losas pequeñas que salen de una grande es l²:d²=n, con l en cm
4º) El número final de losas grandes es el redondeo superior de (L²:d²):n, o sea, Ent(L²/l²)+1

Evaluación:
¿En qué casos se debe de dividir la losa en cuadrados y en qué casos es suficiente con rebajar la última fila y columna?
Si hay que dividir la losa en cuadrados más pequeños de lado d, este valor debe de ser suficientemente grande para que no queden losas demasiado pequeñas. Pero si hay que rebajar la última fila y columna debe de quedar suficientemente recortado para que no quede mal.
El número de losas necesarias N siempre cumplirá:

[Ent(L/l)]²<=N<=[Ent(L/l)+1]²

[Ent(L/l)]²<=Ent(L²/l²)+1<=[Ent(L/l)+1]²

Problemas cotidianos - el tráfico

Otra de las fuentes habituales de problemas matemáticos está en el tráfico de las ciudades. Para un ciudadano que está acostumbrado a circular por la ciudad siguiendo una misma ruta, puede encontrarse un día con que el trayecto habitual está cortado, que están realizando un determinado evento que impide pasar por un tramo del trayecto, entonces, ¿cómo buscar un nuevo trayecto óptimo?.

Por ejemplo, consideremos un segmento del plano de la ciudad, con sus direcciones, como el de la figura siguiente:

Si el conductor tiene que ir de A a F y está cortado el tramo BF, ¿qué trayecto debe seguir que le lleve el menor tiempo posible?.

Problemas de la vida cotidiana

¿Qué problemas matemáticos podemos tener en el día a día?

http://motor.terra.es/addon/img/1f2898parking_598p.jpg

Por ejemplo, todos podemos recordar haber escuchado a alguien decir que se había perdido al ir a recoger el coche en el aparcamiento del centro comercial (CC). ¿Podemos usar las matemáticas para encontrar el coche en el aparcamiento?. Normalmente hay dos indicativos, el número de plaza y el color de la plaza. El número podemos olvidarlo y el color también, podemos no habernos fijado suficientemente en él. También tenemos toda una serie de pistas que podrían ayudar, desde un coche próximo que nos llamó la atención hasta un cartel que había cerca y que anunciaba determinado producto. En última instancia tenemos información de por dónde estamos entrando en el aparcamiento y, tal vez, por dónde entramos en el centro comercial desde el garaje.
Supongamos que en un aparcamiento de un CC hay 4 plantas de garaje, cada una con 100 plazas de aparcamiento. La primera es azul (0-99), la segunda en verde (100-199), la tercera roja (200-299) y la cuarta amarilla (300-399). Una persona no sabe dónde dejo su coche, recuerda que el color era azul o verde y que su plaza acababa en 8, ¿qué estrategia debe seguir para buscarlo?

En principio tiene dos plantas donde buscar, la azul y la verde, en total 200 plazas. Dentro de ellas, que terminen en 8 hay 10 para la azul y 10 para la verde, por tanto tiene que buscar como mucho 20 opciones de un total de 200. Es el 10% de las plazas de las dos plantas, que es el 5% de las plazas de todo el garaje. Si durante la búsqueda alguna pista nos reafirma en el color de la planta, optimizamos la búsqueda buscando en una sola planta, reduciendo así las opciones a buscar en el 2'5% del total de plazas del aparcamiento. Si otra pista nos permite dividir la planta en dos mitades y buscar solo en una de ellas, pasaríamos al 1'25%, y así sucesivamente hasta llegar al 0%. Es la estrategia de dividir y vencer.

Motivaciones para aprender matemáticas

La motivación tiene que ver con la posibilidad de hacer real lo deseado.  Hace siglos, cuando las sociedades eran agrícolas, las matemáticas tenían aplicaciones prácticas que estaban al alcance de muchos de los ciudadanos como por ejemplo medir una superficie de terreno, calcular la cantidad de semillas necesarias para hacer la siembra, diseñar canales de regadío, hacer molinos para aprovechar la fuerza del aire o del agua,... Hoy en día la sociedad es más sofisticada, la mayoría de los habitantes viven en las ciudades, manejan intuitivamente mucha tecnología pero solo como usuarios sin comprender ningún fundamento, es una sociedad de consumo en la que lo que se estropea se cambia por otro aparato nuevo y normalmente no hay mucha necesidad de crear algo nuevo. Los trabajadores altamente cualificados y profesionales universitarios sí necesitan conocimientos matemáticos para dominar sus profesiones. También es cierto que mucha de la información que hay en la prensa está en términos cada vez más matemáticos, sobre todo estadísticos, lo que ayuda a mejorar el nivel de formación matemática de los ciudadanos. En general, podemos decir que para el ciudadano medio no hay muchas posibilidades de plantearle problemas matemáticos reales que le haga motivarse en el reto de resolverlos con la consiguiente satisfacción de conseguirlo y, por tanto, desarrollar el gusto de aprender.

Unidad Didáctica: La ecuación de 2º grado

«El hombre, dicen, es un animal racional. No sé por qué no se haya dicho que es un animal afectivo o sentimental. Y acaso lo que de los demás animales le diferencia sea más el sentimiento que no la razón. Más veces he visto razonar a un gato que no reír o llorar. Acaso llore o ría por dentro, pero por dentro acaso también el cangrejo resuelva ecuaciones de segundo grado.» Unamuno, Del sentimiento trágico de la vida

UNIDAD DIDÁCTICA: La ecuación de 2º grado 


(MOTIVACIÓN)
Juan tiene una parcela de terreno rectangular de 6m de largo por 5m de ancho, limitada por la parcela de Antonio como se ve en el gráfico. Juan necesita tener una parcela cuadrada por lo que acuerda con Antonio el recortar el largo de su parcela dándosela a Antonio y aumentar la misma superficie al ancho con el terreno que a cambio le de éste, de tal forma que consiga una parcela cuadrada. ¿Cuánto deben de recortar al largo y aumentar al ancho para que intercambien los mismos metros cuadrados?

Puesto que la parcela final es cuadrada: 
6-x=5+y,  y=1-x
Puesto que los terrenos intercambiados tienen el mismo área:
5x=(6-x)y, 5x=(6-x)(1-x), 5x=6-6x-x+x², x²-12x+6=0
Necesitamos resolver una ecuación de segundo grado.

(EXPERIMENTACIÓN)
En el caso concreto del problema podemos ir quitando poco a poco al largo del rectángulo y probamos si puede ser el ancho igual para formar el cuadrado comprobando si el área es 30.
x=0.1, largo=5.9, ancho=5.9, 5.9·5.9=34.81>30
x=0.2, largo=5.8, ancho=5.8, 5.8·5.8=33.64>30
x=0.3, largo=5.7, ancho=5.7, 5.7·5.7=32.49>30
x=0.4, largo=5.6, ancho=5.6, 5.6·5.6=31.36>30
x=0.5, largo=5.5, ancho=5.5, 5.5·5.5=30.25>30
x=0.6, largo=5.4, ancho=5.4, 5.4·5.4=29.16<30
La solución es un cuadrado cuyo lado está entre 5.4m y 5.5m

(CONCEPTUALIZACIÓN)
Si hemos recortado x en el largo entonces tenemos un cuadrado de lado 6-x, cuyo área tiene que ser 5·6=30, entonces la ecuación es:
(6-x)²=5·6, que despejando el cuadrado da:
6-x=(+/-)raíz(5·6), esto es, la media geométrica de los lados del rectángulo.
x=6(+/-)raíz(5·6), y=-5(+/-)raíz(5·6)

(PROCESAMIENTO)
Para resolver la ecuación x²-12x+6=0 hay que convertir esta en un cuadrado perfecto y pasar la parte numérica sobrante al segundo miembro.
x²-12x+6=x²-2·6x+36-30=(x-6)²-30=0
(x-6)²=30, x=6(+/-)raíz(30)

(MECANIZACIÓN)
Si consideramos los coeficientes como datos podemos obtener la fórmula que permite encontrar las soluciones:
a=1, b=-12, c=6
x²+bx+c=0
(x+b/2)²-(b/2)²+c=0
x+b/2=(+/-)raíz[((b/2)²-c]
x=-b/2(+/-)raíz[((b/2)²-c]
x=[-b(+/-)raíz[b²-4c]]/2
x=[12(+/-)raíz[144-24]]/2=(+/-)0.522.....
Si a es distinto de 1 se divide la ecuación por a, 
ax²+bx+c=0
x²+b/ax+c/a=0 y sustituyendo en la fórmula anterior se tiene la fórmula cuadrática general
x=[-b(+/-)raíz[b²-4ac]]/(2a)

(CONSOLIDACIÓN)
Entonces ante una ecuación de segundo grado ax²+bx+c=0 para resolverla hemos seguido el método de completar cuadrados:
Por ejemplo 2x²-6x-10=0
1) Dividimos la ecuación por el coeficiente a, en este caso 2
(2x²-6x-10=0):2---->x²-3x-5=0
2)  Cambiamos el coeficiente de x multiplicando y dividiendo por 2
x²-2(3/2)x-5=0
3) Sumamos y restamos el cuadrado del número que está multiplicado por 2 en el coeficiente de x
x²-2(3/2)x+(3/2)²-(3/2)²-5=0
4) Expresamos el cuadrado del binomio con los tres primeros términos y simplificamos los últimos y lo pasamos al segundo miembro
(x-(3/2))² =29/4
5) Despejamos el cuadrado
x=(3/2)(+/-)raíz(29/2)

(EVALUACIÓN)
Se ha encontrado un método general que resuelve cualquier ecuación de segundo grado. En la práctica se utiliza la fórmula cuadrática con los coeficientes a, b y c de la ecuación. Como la solución depende de la raíz, si el radicando es negativo no hay solución real. Si llamamos discriminante al radicando D=b²-4ac, tenemos el siguiente criterio sobre la existencia de soluciones:
Si D=0 hay una sola solución que se dice doble
SI D<0 no hay solución real
Si D>0 hay dos soluciones reales y distintas
Lo que se necesita es ampliar el dominio de los números reales para que siempre exista solución.

El ciclo de aprendizaje 2

Cada fase del ciclo utiliza un aspecto de las matematicas, así:

MOTIVACIÓN --> RELACIONES
EXPERIMENTACIÓN --> CÁLCULOS
CONCEPTUALIZACIÓN--> PROPIEDADES
PROCESAMIENTO --> FUNCIONES
MECANIZACIÓN --> FÓRMULAS
CONSOLIDACIÓN --> MÉTODOS
EVALUACIÓN --> CRITERIOS

La desigualdad triangular, un criterio

La desigualdad triangular es un criterio que dice que en cualquier triángulo la suma de dos de sus lados es mayor o igual que el tercero.

a+b>=c

Es evidente, si suponemos que los vértices A, B y C son pueblos de un mapa, y los lados, a, b y c, son carreteras rectas entre los pueblos, comprendemos que ir de A a B recorriendo c km es más corto que ir primero de A a C, recorriendo b km, y, luego, de C a B, recorriendo a km.

Es un criterio porque sirve para comprobar si es posible tener un triángulo con determinadas dimensiones de sus lados. Por ejemplo, un triángulo cuyos lados sean a=6, b=3, c=2, no puede existir porque 3+2<6. Sin embargo un triángulo con a=7, b=5, c=10, sí existe porque en cualquier combinación que hagamos se cumple la desigualdad triangular:

7+5>=10; 7+10>=5; 5+10>=7

Un viaje algebraico en guagua

Suponemos la linea 1 de guaguas de la ciudad que va de A a E, parando en B, C y D (simplificando). La línea es de ida y vuelta, cuando llega a E vuelve hacia A parando en los mismos puntos. Un pasajero no tiene por qué bajarse en el principio o final de línea, puede continuar. Tenemos las siguientes operaciones que puede hacer un pasajero que sube a la guagua:

1. Subir en una parada y bajar en otra. Si x son las paradas que recorre, entonces está garantizado que acaba en una parada
2. También puede no subir cuando llega la guagua. Sería la operación nula.
3. Si va de un punto a otro, puede tomar la de vuelta y retornar al punto de partida. Si recorre x paradas, al recorrer las mismas en sentido opuesto, -x, vuelve al mismo sitio.
4. Puede asociar de distintas formas tres trayectos consecutivos llegando siempre al mismo punto. Si recorre primero x paradas, después y, y después z, el resultado final es el mismo contabilizado como (x+y)+z=x+(y+z)
5. El recorrido es conmutativo. Si recorre primero x paradas y luego y paradas, es lo mismo que si recorre primero y paradas y después x, x+y=y+x.

Estamos ante una estructura de grupo conmutativo.

Una estructura algebraica

Un conjunto con una operación interna que cumple una serie de propiedades tiene una estructura algebraica. 

Pongamos por caso que Luis tiene un cerdito en el que añade monedas de un euro (por simplicidad) aunque algunas veces quita algunas monedas. Cuando no tiene que quitar recurre a su padre aunque adquiere una deuda.

Veamos el estado en que se encuentran las finanzas de Luis según su cerdito:
Necesitamos los números enteros para llevar la contabilidad. La operación que hace es echar monedas de un euro, la suma de positivos, pero también quita monedas, la suma con negativos. Esta operación siempre tiene sentido si suponemos que el cerdito puede llegar a contener ingentes cantidades de dinero, y también, que él puede quitar aunque no haya nada pidiendo dinero a su padre contrayendo una deuda todo lo grande que se quiera (al menos en teoría). La operación también es conmutativa, es lo mismo echar cuatro euros y después siete, que echar siete y después cuatro. La operación nula es ver el cerdito sin sacar ni meter nada. Y puede echar tres y cuatro monedas juntas y, más tarde, cinco, obteniendo el mismo resultado que si echa tres y, más tarde, cuatro y cinco, conjuntamente.

Las finanzas de Luis en su cerdito siguen una estructura algebraica, que podemos llamar "grupo conmutativo"

Supongamos ahora que Luis ya es mayor y tiene una cuenta corriente en el banco haciendo las operaciones de meter o sacar dinero por un cajero automático. Este debe de operar con las imposiciones o extracciones siguiendo la estructura de grupo conmutativo:

• Cada imposición o extracción queda reflejada con un saldo en positivo o en negativo.
• Puede operar en el cajero para ver el estado sin por ello modificar su saldo total.
• Lo que ingresa lo puede sacar y queda igual, o viceversa.
• Las operaciones se pueden asociar de distinta manera importando solamente el resultado neto final.
• El orden de las operaciones no influye en el saldo final.

La propiedad conmutativa

Consideremos los números reales y sus siete operaciones. Una operación es conmutativa cuando da el mismo resultado si la realizamos en orden inverso sean cuales sean los números empleados.

• La suma es conmutativa: a+b=b+a, por ejemplo, 3+5=5+3
• La resta no es conmutativa: 6-5<>5-6. Sólo se cumple la conmutatividad cuando el número es el mismo, por ejemplo 4-4=4-4.
• El producto es conmutativo: a*b=b*a, por ejemplo, 6*9=9*6
• La división no es conmutativa: 6/4<>4/6. Sólo se cumple cuando los números son iguales, 8/8=8/8, o son opuestos, 5/(-5)=(-5)/5.
• La potencia no es conmutativa: 5²<>2⁵. Pero, ¿qué pares de números cumplen esa propiedad? Si son iguales se cumple. Sabemos, por ejemplo, que el 2 y el 4 la cumplen también, 2⁴=4².
• La raíz y el logaritmo tampoco son conmutativas. ¿Existen pares de números no iguales que sean conmutativos para esa propiedad?

Propiedades que generan propiedades

La notación normativa o estándar de un polinomio de segundo grado es ax²+bx+c. Aunque un polinomio de segundo grado puede escribirse como a(x-r)(x-s), donde r y s son las  llamadas raíces del polinomio, que por la propiedad distributiva se puede expandir como ax²-asx-arx+ars, que se puede contraer en parte aplicando la distributiva de forma inversa como: ax²+a(-r-s)x+ars. Comparando ambas expresiones se tiene que:
r+s=-b/a; rs=c/a.,
que son las propiedades de la suma y el producto de las raíces de un polinomio.

Reglas vs fórmulas

La solución de una ecuación de segundo grado, ¿fórmula o regla?
Bueno, x=(-b+-raiz(b^2-4ac))/(2a), parece más bien una fórmula porque:

• En primer lugar tiene carácter práctico, da las soluciones de la ecuación, la fórmula se demuestra una sola vez y ya se puede aplicar.
• Hay que sustituir las letras por los coeficientes a, b y c de la ecuación, de forma constructiva.
• Permite separar las ecuaciones con solución de las que no la tienen según el discriminante.

El cuadrado del binomio, ¿regla o fórmula?

Bueno, (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, parece más bien una regla porque:

• Tiene una letanía para acordarse, "el cuadrado del primero, más doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo"
• Nos aligera de tener que hacer el producto (a+b)(a+b).
• Se usa para expandir la expresión.

Propiedades vs reglas

¿La propiedad conmutativa o la regla conmutativa?
Bueno, parece que es más propiedad que regla: a(op)b=b(op)a.

• En primer lugar es general para muchas operaciones, como la suma o el producto de reales. (compara parecidos)
• En segundo lugar es opcional el uso y depende de la conveniencia del momento.
• En tercer lugar indica lo que podemos o no podemos hacer. Por ejemplo no podemos aplicarla en el producto de matrices.

¿La regla del producto de derivadas o la propiedad del producto de derivadas?
Bueno, parece más la regla del producto: f=g·h==>f'=g'·h+g·h'

• En primer lugar es particular, indica como hacer la derivada de un producto, es expansiva.
• En segundo lugar aligera la operatoria puesto que nos evita estar con límites.
• En tercer lugar se memoriza con una frase: la derivada del primero por el segundo sin derivar, más, el primero sin derivar por la derivada del segundo.

Funciones elementales

Las funciones elementales son los objetos más simples del análisis. La primera función que se considera como tal es la función constante, f(x)=k, siendo k un número. Por ejemplo f(x)=6. La siguiente función elemental es la identidad f(x)=x. A partir de aquí se pueden operar estas funciones para obtener nuevas funciones. Por ejemplo, la suma repetida de funciones identidad da otra función elemental, la función afín: f(x)=x+x+x+x=4x. La suma de la función afín con la función constante da la función lineal, por ejemplo f(x)=4x+6. La multiplicación repetida de la función identidad da la función potencia, f(x)=x*x*x=x³. La suma repetida de funciones potencia o la multiplicación de la función constante por la potencia da una función monomio, por ejemplo f(x)=6x³. Finalmente, la suma de funciones monomio da la función polinomio, por ejemplo f(x)=4x²-5x+6.

Funciones encadenadas

Una función tiene una entrada y una salida, a la entrada la llamamos x y la salida y. La función efectúa operaciones con los valores de entrada para obtener los de salida, a esas operaciones las denotamos por f, siendo la función representada como y=f(x).

Por ejemplo si entran números reales y les hacemos su cuadrado, la función devuelve números reales que son el cuadrado de la entrada. La función es y=f(x)=x²

Supongamos otra función que a cada valor de entrada le suma un 4, y=f(x)=x+4. Una tercera función puede hacer que a cada valor de entrada le calcule su coseno, y=f(x)=cos(x). Ahora podemos encadenar las tres funciones en el orden que se dieron haciendo que cada valor de salida sirva como entrada para la siguiente, entonces el valor de entrada sufre tres cálculos, primero se eleva al cuadrado, luego al resultado se le suma 4, y por último, al resultado se le calcula el coseno, por tanto la función encadenada es: y=f(x)=cos(x²+4)

El orden de encadenamiento es fundamental, así puede salir y=f(x)=cos(x²)+4, o y=f(x)=[cos(x)]²+4, o bien y=f(x)=cos(x+4)². Podemos intentar buscar pares de funciones que al encadenarse en distinto orden dan la misma función. También podemos buscar pares de funciones que al encadenarse devuelven la x de entrada.