馃挕1) Un aprendizaje parte de una situaci贸n real que identificamos como algo que debemos controlar y no lo podemos hacer de momento. Tiene que ser motivadora la situaci贸n para que nos ponga en marcha.
馃挧2) Nos tiene que hacer recordar otras situaciones anteriores que ya hemos intentado resolver. O al menos que nos lleve a experimentar desde lo aprendido previamente. Estos recursos nos llevaran a la expectativa de poder resolver la situaci贸n.
馃尦3) Tenemos que encontrar en el conflicto una direcci贸n que seguir que nos de confianza de que al final est谩 la soluci贸n.
⌚4) El esfuerzo en trabajar los objetivos se recompensar谩 con obtener los primeros logros.
馃敤5) Se obtendr谩n las leyes que permitan obtener resultados sin esfuerzo por medio de herramientas y mec谩nicas. Esto ser谩 el apoyo necesario para economizar esfuerzos.
馃憺6) Lo aprendido se generalizar谩 para que se pueda repetir en cualquier situaci贸n. Esto consolidar谩 el aprendizaje y lo normalizar谩.
馃尯7) Se evaluar谩 el nuevo aprendizaje para comprobar si se puede emplear en el futuro para situaciones reales similares a las que han llevado al proceso de aprendizaje. Esto har谩 que el aprendizaje no sea una carga y sea ligero de llevar.
martes, 21 de febrero de 2017
viernes, 1 de julio de 2016
La base del APC
Las operaciones b谩sicas del aprendizaje seg煤n el APC son:
1) Relacionar (lo que acerca)-REALIZAR-Motiva a emprender una acci贸n para hacer realidad un deseo. Conseguir que algo exista.REALIDAD
2) Asociar (lo que pega)-RAZONAR-Fundamenta en lo experimentado anteriormente, los recuerdos, la posibilidad de conseguirlo, la evoluci贸n. Conseguir manifestar la existencia. PASADO
3) Comparar parecidos (lo que es com煤n)-SINTETIZAR-Profundiza el conocimiento hasta encontrar el origen del mismo, para conseguir la generaci贸n. Conseguir verbalizar a la existencia. INTERIOR
4) Comparar diferencias (lo que cambia)-MADURAR-Trabaja madurando con el esfuerzo hasta conseguir el objetivo. Conseguir objetivizar la existencia.CIELO
5) Dividir (lo que separa)-ANALIZAR-Mecaniza la producci贸n con ayuda de herramientas. Conseguir exteriorizar la existencia.EXTERIOR
6) Completar (lo que falta)-PROCEDIMENTAR-Normaliza con m茅todos para que se pueda repetir indefinidamente la obtenci贸n de resultados. Conseguir aportar la existencia.TIERRA
7) Unir (lo que sobra)-EVALUAR- Juzga con criterio y decide lo que tiene peso y lo que no. Conseguir hacer cosas con la existencia. FUTURO
Por ejemplo:
1) Encuentra la relaci贸n entre el precio "y" y el peso de "x" kilos de papas, si el precio de un kilo es 2 euros.
[Se plantea establecer una relaci贸n entre dos magnitudes, el peso y el precio, esto sirve para cobrar o para que una b谩scula electr贸nica se pueda programar para que d茅 al cliente, cuando este ponga en la bandeja las papas, el tique del peso y el precio]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿Y ESTO PARA QU脡 SIRVE?
ES UNA SITUACI脫N REAL QUE EXISTE
2) Asocia a cada peso su precio en los casos de x=1 kilo, x=3 kilos y de x=6 kilos
[Recordando las operaciones aritm茅ticas se puede asociar cada peso, x, con su precio, y. As铆 para 3 kilos, a 2 euros cada kilo, son 2+2+2=2·3=6 euros. Basta con multiplicar por 2 el peso para obtener el precio.]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿Y ESTO QU脡 SIGNIFICA?
YA SE HA EXPERIMENTADO ANTERIORMENTE CON LAS OPERACIONES DE SUMAR
3) Compara la raz贸n entre el precio y el peso ¿Qu茅 propiedad deduces?
[Los pares (x,y) tienen en com煤n que la raz贸n y/x es constante, siendo esta igual a 2, son magnitudes directamente proporcionales, las fracciones son equivalentes. En cualquier caso y/x=2, entonces y=2x]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿Y QUE SENTIDO TIENE?
CONCEPTUALMENTE HAY PROPORCIONALIDAD
4) Comprueba si la relaci贸n y=2x se ajusta a los c谩lculos anteriores.
[Si la relaci贸n la escribimos como y=2x, se prueba con los datos anteriores, sustituyendo x e y por sus valores, que en cada caso se cumple la igualdad, no hay ninguna diferencia]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿C脫MO FUNCIONA?¿DE QU脡 DEPENDE?
LA FUNCI脫N ASIGNA A CADA VALOR DE X UN VALOR DE Y
5) Recoge en una tabla los resultados anteriores, repres茅ntalos en el plano coordenado analizando como va creciendo el precio conforme aumenta el peso.
[La caracter铆stica de esta funci贸n es que si se representan los puntos en el plano 茅stos est谩n alineados en crecimiento, y esta es su singularidad]
EL ALUMNO PREGUNTA:¿CU脕L ES LA MEC脕NICA?¿C脫MO SE DEFINE?
LA IMAGEN DE ESTA FUNCI脫N UNA SERIE DE PUNTOS ALINEADOS POR EL TEOREMA DE THALES
6) Completa la tabla con distintos valores seg煤n otro precio del kilo ¿Cu谩l es el primer punto?
[Falta comprender d贸nde empieza esta alineaci贸n y hacia donde v谩, y que esto siempre ocurre as铆]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿Y ESTO SIEMPRE ES AS脥?¿CU脕LES SON LOS PASOS?
SE EMPIEZA POR EL PRECIO DE UNA UNIDAD Y EN CADA CASO SE VA MULTIPLICANDO POR EL N脷MERO DE KILOS INDEFINIDAMENTE. SI NO HAY KILOS EL PRECIO ES CERO.
7) ¿Tiene sentido unir los puntos del plano?¿Qu茅 gr谩fica sale?
[Es posible que x tome cualquier valor, es una magnitud continua, las papas van creciendo en peso de forma seguida, luego si todos los puntos son posibles y est谩n alineados, se pueden unir con un trazo seguido, empezando en el (0,0), la gr谩fica es una semirrecta, es una funci贸n lineal]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿Y 脡STO DE D脫NDE SALE?¿C脫MO SE EXPLICA?
LOS KILOS SON N脷MEROS REALES POR TANTO LA GR脕FICA ES UNA SEMIRECTA RECTA CONTINUA. ES UNA RELACI脫N ENTRE N脷MEROS REALES. FUNCIONA EN CUALQUIER CASO.
1) Relacionar (lo que acerca)-REALIZAR-Motiva a emprender una acci贸n para hacer realidad un deseo. Conseguir que algo exista.REALIDAD
2) Asociar (lo que pega)-RAZONAR-Fundamenta en lo experimentado anteriormente, los recuerdos, la posibilidad de conseguirlo, la evoluci贸n. Conseguir manifestar la existencia. PASADO
3) Comparar parecidos (lo que es com煤n)-SINTETIZAR-Profundiza el conocimiento hasta encontrar el origen del mismo, para conseguir la generaci贸n. Conseguir verbalizar a la existencia. INTERIOR
4) Comparar diferencias (lo que cambia)-MADURAR-Trabaja madurando con el esfuerzo hasta conseguir el objetivo. Conseguir objetivizar la existencia.CIELO
5) Dividir (lo que separa)-ANALIZAR-Mecaniza la producci贸n con ayuda de herramientas. Conseguir exteriorizar la existencia.EXTERIOR
6) Completar (lo que falta)-PROCEDIMENTAR-Normaliza con m茅todos para que se pueda repetir indefinidamente la obtenci贸n de resultados. Conseguir aportar la existencia.TIERRA
7) Unir (lo que sobra)-EVALUAR- Juzga con criterio y decide lo que tiene peso y lo que no. Conseguir hacer cosas con la existencia. FUTURO
Por ejemplo:
1) Encuentra la relaci贸n entre el precio "y" y el peso de "x" kilos de papas, si el precio de un kilo es 2 euros.
[Se plantea establecer una relaci贸n entre dos magnitudes, el peso y el precio, esto sirve para cobrar o para que una b谩scula electr贸nica se pueda programar para que d茅 al cliente, cuando este ponga en la bandeja las papas, el tique del peso y el precio]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿Y ESTO PARA QU脡 SIRVE?
ES UNA SITUACI脫N REAL QUE EXISTE
2) Asocia a cada peso su precio en los casos de x=1 kilo, x=3 kilos y de x=6 kilos
[Recordando las operaciones aritm茅ticas se puede asociar cada peso, x, con su precio, y. As铆 para 3 kilos, a 2 euros cada kilo, son 2+2+2=2·3=6 euros. Basta con multiplicar por 2 el peso para obtener el precio.]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿Y ESTO QU脡 SIGNIFICA?
YA SE HA EXPERIMENTADO ANTERIORMENTE CON LAS OPERACIONES DE SUMAR
3) Compara la raz贸n entre el precio y el peso ¿Qu茅 propiedad deduces?
[Los pares (x,y) tienen en com煤n que la raz贸n y/x es constante, siendo esta igual a 2, son magnitudes directamente proporcionales, las fracciones son equivalentes. En cualquier caso y/x=2, entonces y=2x]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿Y QUE SENTIDO TIENE?
CONCEPTUALMENTE HAY PROPORCIONALIDAD
4) Comprueba si la relaci贸n y=2x se ajusta a los c谩lculos anteriores.
[Si la relaci贸n la escribimos como y=2x, se prueba con los datos anteriores, sustituyendo x e y por sus valores, que en cada caso se cumple la igualdad, no hay ninguna diferencia]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿C脫MO FUNCIONA?¿DE QU脡 DEPENDE?
LA FUNCI脫N ASIGNA A CADA VALOR DE X UN VALOR DE Y
5) Recoge en una tabla los resultados anteriores, repres茅ntalos en el plano coordenado analizando como va creciendo el precio conforme aumenta el peso.
[La caracter铆stica de esta funci贸n es que si se representan los puntos en el plano 茅stos est谩n alineados en crecimiento, y esta es su singularidad]
EL ALUMNO PREGUNTA:¿CU脕L ES LA MEC脕NICA?¿C脫MO SE DEFINE?
LA IMAGEN DE ESTA FUNCI脫N UNA SERIE DE PUNTOS ALINEADOS POR EL TEOREMA DE THALES
6) Completa la tabla con distintos valores seg煤n otro precio del kilo ¿Cu谩l es el primer punto?
[Falta comprender d贸nde empieza esta alineaci贸n y hacia donde v谩, y que esto siempre ocurre as铆]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿Y ESTO SIEMPRE ES AS脥?¿CU脕LES SON LOS PASOS?
SE EMPIEZA POR EL PRECIO DE UNA UNIDAD Y EN CADA CASO SE VA MULTIPLICANDO POR EL N脷MERO DE KILOS INDEFINIDAMENTE. SI NO HAY KILOS EL PRECIO ES CERO.
7) ¿Tiene sentido unir los puntos del plano?¿Qu茅 gr谩fica sale?
[Es posible que x tome cualquier valor, es una magnitud continua, las papas van creciendo en peso de forma seguida, luego si todos los puntos son posibles y est谩n alineados, se pueden unir con un trazo seguido, empezando en el (0,0), la gr谩fica es una semirrecta, es una funci贸n lineal]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿Y 脡STO DE D脫NDE SALE?¿C脫MO SE EXPLICA?
LOS KILOS SON N脷MEROS REALES POR TANTO LA GR脕FICA ES UNA SEMIRECTA RECTA CONTINUA. ES UNA RELACI脫N ENTRE N脷MEROS REALES. FUNCIONA EN CUALQUIER CASO.
martes, 22 de marzo de 2016
El inquietante caso de la ni帽a que ahorraba para comprar un juguete y sab铆a resolver ecuaciones de primer grado
En el post anterior nos hemos encontrado con este problema:
Una ni帽a tiene 4 euros y recibe una paga semanal de 5 euros, gastando cada semana x euros. Quiere comprar un juguete que cuesta 16 euros. Piensa juntar el dinero para dentro de 6 semanas que es su cumple. ¿Cu谩nto puede gastar fijo cada semana?
La ecuaci贸n es: 4+6(5-x)=16
Su resoluci贸n es:
4+30-6x=16
34-6x=16
-6x=-18
x=3
Puede gastar 3 euros todas las semanas, con lo que ahorra 2 euros, en total 12 euros, que sumados con los 4 que ten铆a hacen los 16.
Hasta aqu铆 no hay problema, pero ¿que pasa si su abuela le dice que lo que gaste ella semanalmente se lo ingresa ella?.
Ahora la ecuaci贸n es :4+6(5-x)+6x=16
Su resoluci贸n:
4+30-6x+6x=16
0x=-18
0=-18
Esto significa que no hay soluci贸n. Pero no quiere decir que no pueda gastar nada, todo lo contrario puede gastar todo lo que quiera porque al final tiene 34 euros, mas de lo que necesita.
Pero si en lugar de tener una paga semanal de 5 euros fuera de 2 euros, con la ayuda de la abuela, ¿qu茅 pasar铆a?
Ahora la ecuaci贸n es: 4+6(2-x)-6x=16
Su resoluci贸n:
4+12-6x-2x=16
16-6x+6x=16
0x=0
0=0
Esto significa que hay infinitas soluciones, dentro del rango. Puede gastar lo que quiera porque llega justo a los 16 euros, en 6 semanas.
¿Y si la paga es de 1 euro?
4+6(1-x)+6x=16
4+6-6x+6x=16
0x=6
0=6
No tiene soluci贸n. Pero ahora es cierto que gaste lo que gaste no consigue juntar los 16 euros, s贸lo consigue 10 euros.
La conclusi贸n es que la informaci贸n que nos da la soluci贸n de una ecuaci贸n, en el caso de que no exista, no nos dice por si sola si realmente el problema que intenta resolver tiene otra soluci贸n posible o no. Tal vez se pueda interpretar el signo del n煤mero que queda en el segundo miembro. Tal vez la ecuaci贸n no es el modelo adecuado y tenga que usar una inecuaci贸n. Al final, las matem谩ticas hay que usarlas con criterio porque sino los resultados pueden llevar a equ铆vocos.
Una ni帽a tiene 4 euros y recibe una paga semanal de 5 euros, gastando cada semana x euros. Quiere comprar un juguete que cuesta 16 euros. Piensa juntar el dinero para dentro de 6 semanas que es su cumple. ¿Cu谩nto puede gastar fijo cada semana?
La ecuaci贸n es: 4+6(5-x)=16
Su resoluci贸n es:
4+30-6x=16
34-6x=16
-6x=-18
x=3
Puede gastar 3 euros todas las semanas, con lo que ahorra 2 euros, en total 12 euros, que sumados con los 4 que ten铆a hacen los 16.
Hasta aqu铆 no hay problema, pero ¿que pasa si su abuela le dice que lo que gaste ella semanalmente se lo ingresa ella?.
Ahora la ecuaci贸n es :4+6(5-x)+6x=16
Su resoluci贸n:
4+30-6x+6x=16
0x=-18
0=-18
Esto significa que no hay soluci贸n. Pero no quiere decir que no pueda gastar nada, todo lo contrario puede gastar todo lo que quiera porque al final tiene 34 euros, mas de lo que necesita.
Pero si en lugar de tener una paga semanal de 5 euros fuera de 2 euros, con la ayuda de la abuela, ¿qu茅 pasar铆a?
Ahora la ecuaci贸n es: 4+6(2-x)-6x=16
Su resoluci贸n:
4+12-6x-2x=16
16-6x+6x=16
0x=0
0=0
Esto significa que hay infinitas soluciones, dentro del rango. Puede gastar lo que quiera porque llega justo a los 16 euros, en 6 semanas.
¿Y si la paga es de 1 euro?
4+6(1-x)+6x=16
4+6-6x+6x=16
0x=6
0=6
No tiene soluci贸n. Pero ahora es cierto que gaste lo que gaste no consigue juntar los 16 euros, s贸lo consigue 10 euros.
La conclusi贸n es que la informaci贸n que nos da la soluci贸n de una ecuaci贸n, en el caso de que no exista, no nos dice por si sola si realmente el problema que intenta resolver tiene otra soluci贸n posible o no. Tal vez se pueda interpretar el signo del n煤mero que queda en el segundo miembro. Tal vez la ecuaci贸n no es el modelo adecuado y tenga que usar una inecuaci贸n. Al final, las matem谩ticas hay que usarlas con criterio porque sino los resultados pueden llevar a equ铆vocos.
lunes, 21 de marzo de 2016
UNIDAD DID脕CTICA: Resolver ecuaciones de primer grado
Motivaci贸n
Una ecuaci贸n de primer grado es una igualdad entre dos expresiones algebraicas con la variable x s贸lo con potencia uno. La soluci贸n de la ecuaci贸n es el valor de x que hace que la igualdad sea cierta.
Si digo, fui a la tienda de ropa, me compr茅 tres pantalones de igual precio y una falda que cuesta 15 euros. No recuerdo el precio de cada pantal贸n, pero s铆 recuerdo que pagu茅 con un billete de 50 euros y me devolvieron 5 euros, ¿puedo deducir el precio de cada pantal贸n?
Esto es una ecuaci贸n porque plantea una igualdad, el precio detallado de las prendas y el pago final con dinero en mano. La inc贸gnita es el precio de un pantal贸n. Es de primer grado puesto que es el precio tal cual, no es al cuadrado ni al cubo. Las expresiones algebraicas que se igualan son: tres por el precio de un pantal贸n m谩s 15 euros del precio de la falda (3x+15); el billete de 50 euros menos la devoluci贸n de 5 euros (50-5). La ecuaci贸n es 3x+15=50-5
La soluci贸n se puede deducir llevando las cuentas mentalmente: El pago fue de 50-5=45 euros. Si descontamos el precio de la falda se tiene lo que costaron los tres pantalones, 45-15=30 euros, y como eran tres, cada uno cost贸 30/3=10 euros. Se puede comprobar la soluci贸n: 3·10+15=50-5.
A veces las expresiones algebraicas pueden ser m谩s complejas y no se puede hacer mentalmente, por lo que es necesario llevar al papel la ecuaci贸n para, con ayuda del c谩lculo algebraico, obtener la soluci贸n.
Experimentaci贸n
Cuando se plantea una ecuaci贸n se hace llevando una contabilidad donde alguna partida no sabemos su valor y se deja indicada. La resoluci贸n de la ecuaci贸n ser铆a deshacer la contabilidad, poco a poco, hasta llegar a aislar esa partida desconocida.
Veamos un ejemplo:
Un mago le pide a un ni帽o que piense un n煤mero entre 0 y 9. Y le dice que lo va a adivinar.
a) Para el mago ese n煤mero se llama x.
A continuaci贸n le dice al ni帽o que le sume 3 a ese n煤mero, en su cabeza.
b) Para el mago, que lleva la contabilidad, van x+3.
Ahora le dice al ni帽o que el resultado lo multiplique por 2.
c) Para el mago van 2(x+3).
Ahora le dice que al resultado le sume 5.
d) Para el mago van 2(x+3)+5.
Finalmente le pide el resultado al ni帽o, y este le dice que sus cuentas dan 13.
En primer lugar la ecuaci贸n a resolver es: 2(x+3)+5=13
La soluci贸n la obtiene el mago deshaciendo el camino. De atr谩s para adelante.
El 煤ltimo paso fue sumar 5, pues ahora resta 5
d) Para el mago su contabilidad vuelve a 2(x+3) y para el ni帽o a 13-5=8
El pen煤ltimo paso fue multiplicar por 2, pues ahora hay que dividir por 2.
c) Para el mago le queda x+3, para el ni帽o 8/2=4
En el anterior paso el mago pidi贸 sumar 3, ahora hay que restar 3.
b) Para el mago le queda x, y para el ni帽o 4-3=1
Ya solo queda lo que dijo el mago, que pensara un n煤mero
a) Para el mago era x, para el ni帽o el 1
La soluci贸n es que el ni帽o pens贸 en el 1
Conceptualizaci贸n
Una ecuaci贸n tiene dos miembros, la expresi贸n de la izquierda de la igualdad, el primer miembro, y la expresi贸n de la derecha de la igualdad, el segundo miembro.
MIEMBRO 1= MIEMBRO 2
Durante la resoluci贸n se hacen operaciones sobre la ecuaci贸n de forma que se pasa de una ecuaci贸n a otra, equivalente, que mantiene la soluci贸n, pero m谩s cercana a la 煤ltima, x=a.
MIEMBRO' 1= MIEMBRO' 2
MIEMBRO'' 1= MIEMBRO '' 2
..................................................
x=a
Las operaciones permitidas que simplifican y mantienen la soluci贸n son:
1) Se pueden hacer las operaciones ordinarias siguiendo la jerarqu铆a en cada miembro de la ecuaci贸n para simplificarlos.
2) Se puede sumar o restar el mismo n煤mero en ambos miembros de la ecuaci贸n.
3) Se puede multiplicar o dividir por el mismo n煤mero en ambos miembros de la ecuaci贸n (no se puede dividir por 0).
Por ejemplo:
Sea la ecuaci贸n 3(x-3)-7-x=4
Primero se quita el par茅ntesis (1):
3x-9-7-x=4
Ahora se simplifica el primer miembro (1)
2x-16=4
Ahora se suma 16 en ambos miembros (2)
2x=20
Ahora se divide por 2 ambos miembros (3)
x=10
Como la soluci贸n se mantiene en todos los pasos, resulta que x=10 es la soluci贸n del 煤ltimo paso, luego es la misma que la de la ecuaci贸n.
Procesamiento
Puede ocurrir que haya expresiones con x en ambos miembros. Las operaciones que se hacen en las ecuaciones para transformarlas en ecuaciones equivalentes m谩s simples van aislando la x en el primer miembro y dejando un n煤mero en el segundo. La t谩ctica es dejar los t茅rminos con x agrupados en el primer miembro y los t茅rminos num茅ricos en el segundo.
Por ejemplo,:
Sea la ecuaci贸n: 5(2x+6)=-2(x-3)+72
La primera tarea ser谩 quitar todos los par茅ntesis aplicando la propiedad distributiva:
10x+30=-2x+6+72
La siguiente tarea es restar 30. Ya se ve que desaparece el 30 del primer miembro y lo que aparece es -30 en el segundo. Es como si el +30 del primer miembro se desplazara al segundo como -30.
10x=-2x+72-30+6
Se simplifica el segundo miembro:
10x=-2x+48
Para pasar el -2x al primer miembro, se hace como con los n煤meros, se suma en ambos miembros +2x, con lo que desaparece el -2x del segundo miembro y aparece en el primero. Hay que pasar juntos el -2 y la x, no se puede pasar el-2 dividiendo porque el -2x est谩 en una expresi贸n que suma al 48.
10x+2x=48
Se agrupan las x en el primer miembro:
12x=48
Ahora hay que dividir por 12 ambos miembros, pero es como si el 12 que est谩 en el primer miembro multiplicando pasara dividiendo al segundo.
x=48/12
Simplificando el segundo:
x=4
Entonces se pueden hacer cambios en las transformaciones permitidas sobre las ecuaciones:
2') Si un n煤mero o expresi贸n algebraica est谩 sumando o restando en un miembro puede pasar al otro cambiado de signo.
3') Si un n煤mero o expresi贸n algebraica (no cero) est谩 en un miembro multiplicando o dividiendo y no hay t茅rminos sumando o restando, puede pasar al otro dividiendo o multiplicando, respectivamente.
Mecanizaci贸n
De forma autom谩tica hay que resolver las ecuaciones de primer grado.
Por ejemplo, resolver 3(2x+2)-4=5(x+2)+2
Primero, quitar par茅ntesis: 6x+6-4=5x+10+2
Segundo, pasar los t茅rminos o agrupar los semejantes. Si se toma la segunda opci贸n queda, 6x+2=5x+12
Tercero, pasar los terminos en x al primer miembro y los otros al segundo, cambiando los signos:
6x-5x=12-2
Cuarto, agrupar t茅rminos semejantes: x=10
En este caso ya se llega a la soluci贸n.
Otro ejemplo, resolver 2(x+3)-4=2x+3
Primero, quitar par茅ntesis: 2x+6-4=2x+3
Segundo, agrupar t茅rminos semejantes: 2x+2=2x+3
pasar los t茅rminos en x al primer miembro y los otros al segundo, cambiando los signos:
2x-2x=3-6+4
Tercero, agrupar: 0x=1
En este caso queda 0=1, lo cual es absurdo.
La 煤ltima igualdad es falsa, luego todas las igualdades anteriores lo son. La ecuaci贸n es la primera igualdad y es falsa para cualquier valor de x, eso significa que no hay ning煤n valor que haga
Otro ejemplo, resolver 4(x+2)-2=6x-2(x-3)
4x+8-2=6x-2x+6
4x+6=4x+6
4x-4x=6-6
0x=0
0=0
Esto significa que la ultima igualdad es siempre cierta independiente de la x, entonces la primera igualdad se cumple siempre par todo valor de x. La ecuaci贸n es una identidad y tiene infinitas soluciones.
Consolidaci贸n
De esta forma ya se puede resolver cualquier ecuaci贸n de primer grado.
Puede tener una, ninguna o infinitas soluciones, la forma de concluir es llegando a una ecuaci贸n equivalente de la forma x=a, 0=a 贸 0=0, respectivamente.
Ejemplo: -5(x+6)+4(x-2)=2x+1
-5x-30+4x-8=2x+1
-x-38=2x+1
-x-2x=38+1
-3x=39
x=39/-3
x=-13
soluci贸n 煤nica
Evaluaci贸n
Una ni帽a tiene 4 euros, cada semana recibe 5 euros de paga y gasta una cantidad fija x. Quiere ahorrar para comprar un juguete que cuesta 16 euros. ¿Cu谩nto puede gastar si quiere tener el dinero dentro de 6 semanas?
Variable: x es lo que gasta fijo por semana
Ecuaci贸n: 4+6(5-x)=16
Resoluci贸n:
4+30-6x=16
34-6x=16
-6x=16-34
-6x=-18
x=-18/(-6)
x=3 euros semanales
Supongamos que quiere tener el dinero en 2 semanas
Ecuaci贸n: 4+2(5-x)=16
Resoluci贸n:
4+10-2x=16
14-2x=16
-2x=16-14
-2x=2
x=2/(-2)
x=-1
en lugar de gastar tiene que ingresar 1 euros a la semana aparte de los 5 euros
Supongamos que quiere gastar los 5 euros, ¿cu谩ntas semanas tiene que estar ahorrando?
Variable: y es el n煤mero de semanas
Ecuaci贸n: 4+y(5-5)=16
4+0y=16
0y=12
0=12
no hay soluci贸n
Supongamos que s贸lo recibe de paga 2 euros
Variable: x es lo que gasta fijo por semana
Ecuaci贸n: 4+6(2-x)=16
4+12-6x=16
16-6x=16
-6x=-16+16
-6x=0
x=0/(-6)
x=0
no puede gastar nada
Supongamos que lo que gasta semanalmente lo puede volver a ahorrar porque se lo financian
Ecuaci贸n: 4+6(5-x)+6x=16
4+30-6x+6x=16
34+0x=16
0x=16-34
0x=-18
0=-18
no hay soluci贸n
En 6 semanas tiene 34 euros, no 16. Evidentemente junta m谩s dinero de lo que necesita, lo que dice la ecuaci贸n es que exactamente 16 euros no los puede conseguir con este plan.
Una ecuaci贸n de primer grado es una igualdad entre dos expresiones algebraicas con la variable x s贸lo con potencia uno. La soluci贸n de la ecuaci贸n es el valor de x que hace que la igualdad sea cierta.
Si digo, fui a la tienda de ropa, me compr茅 tres pantalones de igual precio y una falda que cuesta 15 euros. No recuerdo el precio de cada pantal贸n, pero s铆 recuerdo que pagu茅 con un billete de 50 euros y me devolvieron 5 euros, ¿puedo deducir el precio de cada pantal贸n?
Esto es una ecuaci贸n porque plantea una igualdad, el precio detallado de las prendas y el pago final con dinero en mano. La inc贸gnita es el precio de un pantal贸n. Es de primer grado puesto que es el precio tal cual, no es al cuadrado ni al cubo. Las expresiones algebraicas que se igualan son: tres por el precio de un pantal贸n m谩s 15 euros del precio de la falda (3x+15); el billete de 50 euros menos la devoluci贸n de 5 euros (50-5). La ecuaci贸n es 3x+15=50-5
La soluci贸n se puede deducir llevando las cuentas mentalmente: El pago fue de 50-5=45 euros. Si descontamos el precio de la falda se tiene lo que costaron los tres pantalones, 45-15=30 euros, y como eran tres, cada uno cost贸 30/3=10 euros. Se puede comprobar la soluci贸n: 3·10+15=50-5.
A veces las expresiones algebraicas pueden ser m谩s complejas y no se puede hacer mentalmente, por lo que es necesario llevar al papel la ecuaci贸n para, con ayuda del c谩lculo algebraico, obtener la soluci贸n.
Experimentaci贸n
Cuando se plantea una ecuaci贸n se hace llevando una contabilidad donde alguna partida no sabemos su valor y se deja indicada. La resoluci贸n de la ecuaci贸n ser铆a deshacer la contabilidad, poco a poco, hasta llegar a aislar esa partida desconocida.
Veamos un ejemplo:
Un mago le pide a un ni帽o que piense un n煤mero entre 0 y 9. Y le dice que lo va a adivinar.
a) Para el mago ese n煤mero se llama x.
A continuaci贸n le dice al ni帽o que le sume 3 a ese n煤mero, en su cabeza.
b) Para el mago, que lleva la contabilidad, van x+3.
Ahora le dice al ni帽o que el resultado lo multiplique por 2.
c) Para el mago van 2(x+3).
Ahora le dice que al resultado le sume 5.
d) Para el mago van 2(x+3)+5.
Finalmente le pide el resultado al ni帽o, y este le dice que sus cuentas dan 13.
En primer lugar la ecuaci贸n a resolver es: 2(x+3)+5=13
La soluci贸n la obtiene el mago deshaciendo el camino. De atr谩s para adelante.
El 煤ltimo paso fue sumar 5, pues ahora resta 5
d) Para el mago su contabilidad vuelve a 2(x+3) y para el ni帽o a 13-5=8
El pen煤ltimo paso fue multiplicar por 2, pues ahora hay que dividir por 2.
c) Para el mago le queda x+3, para el ni帽o 8/2=4
En el anterior paso el mago pidi贸 sumar 3, ahora hay que restar 3.
b) Para el mago le queda x, y para el ni帽o 4-3=1
Ya solo queda lo que dijo el mago, que pensara un n煤mero
a) Para el mago era x, para el ni帽o el 1
La soluci贸n es que el ni帽o pens贸 en el 1
Conceptualizaci贸n
Una ecuaci贸n tiene dos miembros, la expresi贸n de la izquierda de la igualdad, el primer miembro, y la expresi贸n de la derecha de la igualdad, el segundo miembro.
MIEMBRO 1= MIEMBRO 2
Durante la resoluci贸n se hacen operaciones sobre la ecuaci贸n de forma que se pasa de una ecuaci贸n a otra, equivalente, que mantiene la soluci贸n, pero m谩s cercana a la 煤ltima, x=a.
MIEMBRO' 1= MIEMBRO' 2
MIEMBRO'' 1= MIEMBRO '' 2
..................................................
x=a
Las operaciones permitidas que simplifican y mantienen la soluci贸n son:
1) Se pueden hacer las operaciones ordinarias siguiendo la jerarqu铆a en cada miembro de la ecuaci贸n para simplificarlos.
2) Se puede sumar o restar el mismo n煤mero en ambos miembros de la ecuaci贸n.
3) Se puede multiplicar o dividir por el mismo n煤mero en ambos miembros de la ecuaci贸n (no se puede dividir por 0).
Por ejemplo:
Sea la ecuaci贸n 3(x-3)-7-x=4
Primero se quita el par茅ntesis (1):
3x-9-7-x=4
Ahora se simplifica el primer miembro (1)
2x-16=4
Ahora se suma 16 en ambos miembros (2)
2x=20
Ahora se divide por 2 ambos miembros (3)
x=10
Como la soluci贸n se mantiene en todos los pasos, resulta que x=10 es la soluci贸n del 煤ltimo paso, luego es la misma que la de la ecuaci贸n.
Procesamiento
Puede ocurrir que haya expresiones con x en ambos miembros. Las operaciones que se hacen en las ecuaciones para transformarlas en ecuaciones equivalentes m谩s simples van aislando la x en el primer miembro y dejando un n煤mero en el segundo. La t谩ctica es dejar los t茅rminos con x agrupados en el primer miembro y los t茅rminos num茅ricos en el segundo.
Por ejemplo,:
Sea la ecuaci贸n: 5(2x+6)=-2(x-3)+72
La primera tarea ser谩 quitar todos los par茅ntesis aplicando la propiedad distributiva:
10x+30=-2x+6+72
La siguiente tarea es restar 30. Ya se ve que desaparece el 30 del primer miembro y lo que aparece es -30 en el segundo. Es como si el +30 del primer miembro se desplazara al segundo como -30.
10x=-2x+72-30+6
Se simplifica el segundo miembro:
10x=-2x+48
Para pasar el -2x al primer miembro, se hace como con los n煤meros, se suma en ambos miembros +2x, con lo que desaparece el -2x del segundo miembro y aparece en el primero. Hay que pasar juntos el -2 y la x, no se puede pasar el-2 dividiendo porque el -2x est谩 en una expresi贸n que suma al 48.
10x+2x=48
Se agrupan las x en el primer miembro:
12x=48
Ahora hay que dividir por 12 ambos miembros, pero es como si el 12 que est谩 en el primer miembro multiplicando pasara dividiendo al segundo.
x=48/12
Simplificando el segundo:
x=4
Entonces se pueden hacer cambios en las transformaciones permitidas sobre las ecuaciones:
2') Si un n煤mero o expresi贸n algebraica est谩 sumando o restando en un miembro puede pasar al otro cambiado de signo.
3') Si un n煤mero o expresi贸n algebraica (no cero) est谩 en un miembro multiplicando o dividiendo y no hay t茅rminos sumando o restando, puede pasar al otro dividiendo o multiplicando, respectivamente.
Mecanizaci贸n
De forma autom谩tica hay que resolver las ecuaciones de primer grado.
Por ejemplo, resolver 3(2x+2)-4=5(x+2)+2
Primero, quitar par茅ntesis: 6x+6-4=5x+10+2
Segundo, pasar los t茅rminos o agrupar los semejantes. Si se toma la segunda opci贸n queda, 6x+2=5x+12
Tercero, pasar los terminos en x al primer miembro y los otros al segundo, cambiando los signos:
6x-5x=12-2
Cuarto, agrupar t茅rminos semejantes: x=10
En este caso ya se llega a la soluci贸n.
Otro ejemplo, resolver 2(x+3)-4=2x+3
Primero, quitar par茅ntesis: 2x+6-4=2x+3
Segundo, agrupar t茅rminos semejantes: 2x+2=2x+3
pasar los t茅rminos en x al primer miembro y los otros al segundo, cambiando los signos:
2x-2x=3-6+4
Tercero, agrupar: 0x=1
En este caso queda 0=1, lo cual es absurdo.
La 煤ltima igualdad es falsa, luego todas las igualdades anteriores lo son. La ecuaci贸n es la primera igualdad y es falsa para cualquier valor de x, eso significa que no hay ning煤n valor que haga
Otro ejemplo, resolver 4(x+2)-2=6x-2(x-3)
4x+8-2=6x-2x+6
4x+6=4x+6
4x-4x=6-6
0x=0
0=0
Esto significa que la ultima igualdad es siempre cierta independiente de la x, entonces la primera igualdad se cumple siempre par todo valor de x. La ecuaci贸n es una identidad y tiene infinitas soluciones.
Consolidaci贸n
De esta forma ya se puede resolver cualquier ecuaci贸n de primer grado.
Puede tener una, ninguna o infinitas soluciones, la forma de concluir es llegando a una ecuaci贸n equivalente de la forma x=a, 0=a 贸 0=0, respectivamente.
- Se empieza por eliminar par茅ntesis,
- se agrupan t茅rminos semejantes que se est茅n sumando o restando,
- se pasan los t茅rminos en x al primer miembro y los que no la tienen al segundo, cambiando el signo
- se vuelven a agrupar t茅rminos semejantes,
- y se despeja x pasando su coeficiente al otro lado dividiendo si est谩 multiplicando o multiplicando si est谩 dividiendo.
- Si la 煤ltima ecuaci贸n es una de los tres casos anteriores se concluye como se indica.
Ejemplo: -5(x+6)+4(x-2)=2x+1
-5x-30+4x-8=2x+1
-x-38=2x+1
-x-2x=38+1
-3x=39
x=39/-3
x=-13
soluci贸n 煤nica
Evaluaci贸n
Una ni帽a tiene 4 euros, cada semana recibe 5 euros de paga y gasta una cantidad fija x. Quiere ahorrar para comprar un juguete que cuesta 16 euros. ¿Cu谩nto puede gastar si quiere tener el dinero dentro de 6 semanas?
Variable: x es lo que gasta fijo por semana
Ecuaci贸n: 4+6(5-x)=16
Resoluci贸n:
4+30-6x=16
34-6x=16
-6x=16-34
-6x=-18
x=-18/(-6)
x=3 euros semanales
Supongamos que quiere tener el dinero en 2 semanas
Ecuaci贸n: 4+2(5-x)=16
Resoluci贸n:
4+10-2x=16
14-2x=16
-2x=16-14
-2x=2
x=2/(-2)
x=-1
en lugar de gastar tiene que ingresar 1 euros a la semana aparte de los 5 euros
Supongamos que quiere gastar los 5 euros, ¿cu谩ntas semanas tiene que estar ahorrando?
Variable: y es el n煤mero de semanas
Ecuaci贸n: 4+y(5-5)=16
4+0y=16
0y=12
0=12
no hay soluci贸n
Supongamos que s贸lo recibe de paga 2 euros
Variable: x es lo que gasta fijo por semana
Ecuaci贸n: 4+6(2-x)=16
4+12-6x=16
16-6x=16
-6x=-16+16
-6x=0
x=0/(-6)
x=0
no puede gastar nada
Supongamos que lo que gasta semanalmente lo puede volver a ahorrar porque se lo financian
Ecuaci贸n: 4+6(5-x)+6x=16
4+30-6x+6x=16
34+0x=16
0x=16-34
0x=-18
0=-18
no hay soluci贸n
En 6 semanas tiene 34 euros, no 16. Evidentemente junta m谩s dinero de lo que necesita, lo que dice la ecuaci贸n es que exactamente 16 euros no los puede conseguir con este plan.
martes, 2 de febrero de 2016
Averigua la operaci贸n
Supongamos que tenemos una operaci贸n entre dos n煤meros llamada O y queremos averiguar qu茅 operaci贸n es, de las aritm茅ticas, a partir de los operandos y el resultado, por ejemplo:
3O4=7
Parece obvio que O=+, pero, ¿puede haber otra operaci贸n que cumpla la igualdad?
Las opciones son:
3+4=7
3-4=-1
3·4=12
3:4=0'75
=1'587....
3^4=81
log3(4)=1'262....
¿Existe un m茅todo m谩s simple para averiguar la soluci贸n sin recurrir a probar todas las operaciones?
Otro ejemplo, averiguar la operaci贸n que cumple 2O2=4.
En este caso puede ser, 2·2=4, 贸 2^2=4, 贸 2+2=4, tres soluciones posibles.
Otro ejemplo, averiguar la operaci贸n que cumple 2O3=4.
En este caso no hay soluci贸n.
Otro ejemplo, averiguar la operaci贸n que cumple 3O4=4O3.
La soluci贸n puede ser, 3+4=4+3, 贸 3*4=4*3.
El estudio de las operaciones lleva al 谩lgebra moderna.
3O4=7
Parece obvio que O=+, pero, ¿puede haber otra operaci贸n que cumpla la igualdad?
Las opciones son:
3+4=7
3-4=-1
3·4=12
3:4=0'75
=1'587....3^4=81
log3(4)=1'262....
¿Existe un m茅todo m谩s simple para averiguar la soluci贸n sin recurrir a probar todas las operaciones?
Otro ejemplo, averiguar la operaci贸n que cumple 2O2=4.
En este caso puede ser, 2·2=4, 贸 2^2=4, 贸 2+2=4, tres soluciones posibles.
Otro ejemplo, averiguar la operaci贸n que cumple 2O3=4.
En este caso no hay soluci贸n.
Otro ejemplo, averiguar la operaci贸n que cumple 3O4=4O3.
La soluci贸n puede ser, 3+4=4+3, 贸 3*4=4*3.
El estudio de las operaciones lleva al 谩lgebra moderna.
viernes, 29 de enero de 2016
Poner, quitar y repetir, en el espacio y en el tiempo
En el origen de las matem谩ticas est谩 el poner, quitar y repetir. Si tenemos una naranja y ponemos otra, tenemos dos naranjas, Si tenemos dos naranjas y quitamos una, tenemos una. Si ponemos tres naranjas repetidamente hasta cinco veces, tenemos quince naranjas. Si tenemos diez naranjas y quitamos dos repetidamente hasta cinco veces, no queda ninguna. Si ponemos las naranjas en una caja en su base en filas de tres, hasta un total de tres filas, y podemos repetir tres niveles iguales tendremos una disposici贸n en forma de cubo con tres por tres por tres naranjas, o sea, veintisiete naranjas. Si tenemos una disposici贸n en forma de cubo de ciento veinticinco naranjas, es que son cinco filas de cinco naranjas en cinco niveles. Si quiero saber si puedo poner una disposici贸n c煤bica de ocho naranjas lo puedo hacer porque es posible hacer un cubo de dos por dos por dos naranjas.
El 谩lgebra inicialmente correspond铆a a los t茅rminos de "reponer" o "reintegrar", eso significa que si tenemos un n煤mero indeterminado de naranjas y le a帽adimos dos y comprobamos que hay cinco, es que inicialmente hab铆a tres. Para ello quitamos a las cinco las dos que le a帽adimos y reintegramos la situaci贸n al principio. Pero tambi茅n hay un hecho fundamental, ponemos, quitamos y repetimos en el tiempo. El an谩lisis estudia las relaciones. Si empezamos con dos naranjas y todos los d铆as repetimos poniendo tres nuevas naranjas, podemos contar el n煤mero de naranjas acumuladas al cabo de cinco d铆as, un total de diecisiete. Y al cabo de siete d铆as, veintitr茅s. Y al cabo de diez, treinta y dos.
Lo curioso del caso es que tambi茅n se pueden hacer matem谩ticas sin necesidad de poner, quitar o repetir nada f铆sico, puede hacerse mentalmente. Incluso imaginar situaciones imposibles de llevar a la pr谩ctica en principio. ¿Qu茅 decir de tener cuarenta mil billones de naranjas y poner ciento veinte mil trillones de naranjas? Matem谩ticamente es posible, en la realidad cualquiera dir铆a que no. Esto es debido al instrumento que es nuestro cerebro, la potencialidad de las matem谩ticas es la propia potencialidad del cerebro humano.
mi茅rcoles, 30 de diciembre de 2015
Horarios y ecuaciones.
- Sof铆a camina todos los d铆as 3/4 de hora. Si quiere acumular 6 horas, ¿cu谩ntos d铆as tiene que caminar?
- Joel ve la tele todos los d铆as, aproximadamente 2 horas y media cada d铆a, ¿Cu谩ntos d铆as tienen que pasar para que acumule un d铆a entero de ver televisi贸n?
- Gisella tiene que preparar un examen para dentro de 3 d铆as. Si quiere dedicarle 5 horas como mucho, ¿cu谩nto tiene que estudiar cada d铆a?
- Eric va a hacer un curso de formaci贸n, tiene que hacer 60 horas, 30 no presenciales y el resto presenciales. Los d铆as que tiene que asistir son de 5 horas, ¿cu谩ntos d铆as tiene que estar presente recibiendo el curso?
- Noelia tiene que elegir entre ponerse en la cola A o en la B. En la A hay 30 personas y en la B hay 20. En la A van m谩s r谩pido, atienden a 2 personas cada 5 minutos y en la B m谩s lentos, 1 persona por cada 5 minutos. ¿En que cola debe ponerse?
Si x es el tiempo que tardan las dos colas en igualarse, 30-(x/5)*2=20-(x/5)*1, 30*5-2*x=20*5-1*x, 150-2*x=100-x, 150-100=2*x-x, x=50 min, quedan 10 personas, luego debe ponerse en la cola A.
martes, 29 de diciembre de 2015
El trabajo y el sueldo, y las ecuaciones
- Un trabajador cobra por un trabajo por horas 550 euros. El primer d铆a trabaj贸 2 horas y media, y el segundo 3 horas. ¿A cu谩nto le pagan la hora?
Si x es lo que le pagan por hora, 550=(2+1/2+3)*x, 550=(11/2)*x, x=2*550/11, x=100
- Un trabajador cobra por un trabajo 300 euros, le pagan a raz贸n de 20 euros la hora. Trabaj贸 dos d铆as, el primero hizo 8 horas y el segundo no se acuerda. ¿Cu谩ntas horas trabaj贸 el segundo d铆a?
Si x son las horas trabajadas el segundo d铆a, 300=20*8+20*x, 300=160+20*x, 300-160=20*x, 1400=20*x, x=140/20=7
- Un trabajador cobra por su trabajo 500 euros en bruto, pero le entregan 480 euros porque el resto es lo que contribuye al fisco. ¿Qu茅 porcentaje del bruto le aplican para el descuento fiscal?
Si x es el porcentaje, 500=480+500*x, 500-480=500*x, 20=500*x, x=20/500=0'04=4%
- Un trabajador puede elegir entre dos empleos, en el primero le pagan 700 euros al mes y una gratificaci贸n de 300 euros en Navidad, y en el otro le pagan 650 euros al mes y una gratificaci贸n de 550 euros en Navidad. ¿En qu茅 momento se igualar谩 lo que cobra en una empresa y en la otra?
lunes, 28 de diciembre de 2015
Los ingresos y gastos, y las ecuaciones
- Tenemos 300 euros y hay que pagar una mensualidad de 12 euros, ¿para cu谩ntos meses da?.
- Tenemos 300 euros y hay que pagar una mensualidad de 12 euros con una fianza de 70 euros, ¿para cuantos meses da?
- Tenemos 300 euros y todos los meses nos van a ingresar de un alquiler 20 euros, ¿cu谩ntos meses tardaremos en juntar 5000 euros?
- Tenemos 300 euros y cada mes nos ingresan 30 euros de alquiler, pero por otro lado pagamos un alquiler de 40 euros, ¿cu谩ntos meses se podr谩 mantener el sistema?
- Tenemos 300 euros, ingresamos un fijo mensual de 50 euros y tenemos un gasto mensual de 40 euros, adem谩s, tenemos que hacer un gasto fijo de 1000 euros, ¿en que mes se puede hacer ese gasto fijo?
mi茅rcoles, 23 de diciembre de 2015
Ecuaciones: El reino del pensamiento inverso
Si tenemos 100 euros y le a帽adimos 200 euros, entonces juntamos 100+200=300 euros. Pensemos al rev茅s. Si tenemos 100 euros y queremos sumar una cantidad x para juntar 300 euros, ¿cu谩nto vale esa cantidad?. En notaci贸n algebraica, la ecuaci贸n es 10+x=300. La operaci贸n que hay que hacer es la inversa de la suma, la resta, x=300-100=200.
Si juntamos durante 5 meses 40 euros todos los meses, al final, tendremos 5·40=200 euros. Al rev茅s, ¿cuantos meses hay que poner 40 euros mensualmente para tener 200 euros? La ecuaci贸n es 40x=200, la operaci贸n que hay que hacer para despejar x es la inversa de la multiplicaci贸n, x=200/40=5 meses.
Supongamos que tenemos 100 euros y durante 5 meses vamos acumulando 40 euros, al final habremos juntado 100+5·40=100+200=300. Si pensamos al rev茅s, partimos de 100 euros y vamos acumulando durante varios meses 40 euros mensuales, ¿cu谩ntos meses hay que acumular para tener al final 300 euros? En lenguaje algebraico, 100+40x=300. Como ya se parte de 100 euros, entonces hay que ahorrar 300-100=200 euros, es la operaci贸n inversa de la suma, y la ecuaci贸n simplificada es, 40x=200. ¿Qu茅 cantidad hay que multiplicar por 40 para que de 200? Pues es la operaci贸n inversa de la multiplicaci贸n, x=200/40=5 meses.
Si juntamos durante 5 meses 40 euros todos los meses, al final, tendremos 5·40=200 euros. Al rev茅s, ¿cuantos meses hay que poner 40 euros mensualmente para tener 200 euros? La ecuaci贸n es 40x=200, la operaci贸n que hay que hacer para despejar x es la inversa de la multiplicaci贸n, x=200/40=5 meses.
Supongamos que tenemos 100 euros y durante 5 meses vamos acumulando 40 euros, al final habremos juntado 100+5·40=100+200=300. Si pensamos al rev茅s, partimos de 100 euros y vamos acumulando durante varios meses 40 euros mensuales, ¿cu谩ntos meses hay que acumular para tener al final 300 euros? En lenguaje algebraico, 100+40x=300. Como ya se parte de 100 euros, entonces hay que ahorrar 300-100=200 euros, es la operaci贸n inversa de la suma, y la ecuaci贸n simplificada es, 40x=200. ¿Qu茅 cantidad hay que multiplicar por 40 para que de 200? Pues es la operaci贸n inversa de la multiplicaci贸n, x=200/40=5 meses.
martes, 15 de diciembre de 2015
Pensamiento matem谩tico: El prime-time
Se lee en un blog: "El Prime-Time es el horario televisivo de m谩xima audiencia, que se ubica entre las 21:00 y las 00:00 horas, siendo Espa帽a uno de los pa铆ses de Europa y del mundo con el prime time m谩s tard铆o".
No es dif铆cil comprender que detr谩s de esta frase est谩 un pensamiento matem谩tico. Y no s贸lo en los n煤meros, si uno se fija en lo que significa el Prime-Time, el concepto que se transmite es el de la hora de m谩xima audiencia de TV.
Cualquier persona puede comprender este concepto sin mucho esfuerzo y es en s铆 un concepto matem谩tico importante. La cuesti贸n es, ¿hasta que punto se quiere ir en el intento de desentra帽ar este pensamiento matem谩tico? Si una persona tuviera que explicar qu茅 sentido matem谩tico tiene tendr铆a que hablar de las dos variables que se manejan en la frase: t=el tiempo y S=n潞 de televidentes. T corresponde al tiempo en que se emite la TV, se puede suponer 24 h. Se supone S>0. Se asume que hay una relaci贸n entre t y S, la S "crece" con el tiempo y despu茅s "decrece" , alternativamente a lo largo del tiempo de emisi贸n, alcanzando un instante t en el que hay m谩ximo valor de S, que est谩 entre las 21:00 y las 00:00 horas.
Si se consiguiese establecer una relaci贸n funcional entre S y t, S(t), en cada pa铆s, se podr铆a intentar encontrar ese instante a partir las t茅cnicas de derivaci贸n y comprobar que la afirmaci贸n es correcta.
A las televisiones les interesa esta funci贸n porque con ella establecen la tarifaci贸n de publicidad.
Una aproximaci贸n funcional la da el siguiente problema:
Una cadena local de TV ha determinado, por medio de encuestas, que el porcentaje de ciudadanos que la ven entre las 6 de la tarde y las 12 de la noche viene dado por la funci贸n:
s(t) = 660 - 231t + 27t2 - t3
donde t indica las horas transcurridas desde las 12 en punto de la ma帽ana.
Calcular a qu茅 hora tiene la televisi贸n su m谩xima audiencia y cu谩ndo tiene su m铆nima audiencia.
s'(t)=-231+54t-3t2
s'(t)=0, t=7, t=11
s''(t)=54-6t
s''(7)=12, m铆nimo
s''(11)=-12, m谩ximo
¿C贸mo se determina la funci贸n por medio de encuestas? Pu茅s a trav茅s de la inferencia estad铆stica, del estudio de la regresi贸n. Se muestrean una serie de puntos, pares de valores (t, s(t)), obteni茅ndose as铆 una nube de puntos y a partir de ah铆 se estudia el tipo de dependencia entre las dos variables y su grado, y la regresi贸n a un modelo de curva, y se halla esa funci贸n.
No es dif铆cil comprender que detr谩s de esta frase est谩 un pensamiento matem谩tico. Y no s贸lo en los n煤meros, si uno se fija en lo que significa el Prime-Time, el concepto que se transmite es el de la hora de m谩xima audiencia de TV.
Cualquier persona puede comprender este concepto sin mucho esfuerzo y es en s铆 un concepto matem谩tico importante. La cuesti贸n es, ¿hasta que punto se quiere ir en el intento de desentra帽ar este pensamiento matem谩tico? Si una persona tuviera que explicar qu茅 sentido matem谩tico tiene tendr铆a que hablar de las dos variables que se manejan en la frase: t=el tiempo y S=n潞 de televidentes. T corresponde al tiempo en que se emite la TV, se puede suponer 24 h. Se supone S>0. Se asume que hay una relaci贸n entre t y S, la S "crece" con el tiempo y despu茅s "decrece" , alternativamente a lo largo del tiempo de emisi贸n, alcanzando un instante t en el que hay m谩ximo valor de S, que est谩 entre las 21:00 y las 00:00 horas.
Si se consiguiese establecer una relaci贸n funcional entre S y t, S(t), en cada pa铆s, se podr铆a intentar encontrar ese instante a partir las t茅cnicas de derivaci贸n y comprobar que la afirmaci贸n es correcta.
A las televisiones les interesa esta funci贸n porque con ella establecen la tarifaci贸n de publicidad.
Una aproximaci贸n funcional la da el siguiente problema:
Una cadena local de TV ha determinado, por medio de encuestas, que el porcentaje de ciudadanos que la ven entre las 6 de la tarde y las 12 de la noche viene dado por la funci贸n:
s(t) = 660 - 231t + 27t2 - t3
donde t indica las horas transcurridas desde las 12 en punto de la ma帽ana.
Calcular a qu茅 hora tiene la televisi贸n su m谩xima audiencia y cu谩ndo tiene su m铆nima audiencia.
s'(t)=0, t=7, t=11
s''(t)=54-6t
s''(7)=12, m铆nimo
s''(11)=-12, m谩ximo
¿C贸mo se determina la funci贸n por medio de encuestas? Pu茅s a trav茅s de la inferencia estad铆stica, del estudio de la regresi贸n. Se muestrean una serie de puntos, pares de valores (t, s(t)), obteni茅ndose as铆 una nube de puntos y a partir de ah铆 se estudia el tipo de dependencia entre las dos variables y su grado, y la regresi贸n a un modelo de curva, y se halla esa funci贸n.
lunes, 13 de julio de 2015
Hexacopo
El fractal llamado hexacopo o curva de Koch o copo de nieve es un fractal que sirve como modelo para explicar las unidades did谩cticas de este blog. Es un mandala que representa los estilos del APC.
mi茅rcoles, 15 de abril de 2015
UNIDAD DID脕CTICA: PROPORCIONALIDAD GEOM脡TRICA
ORIENTACI脫N
En el tratamiento de im谩genes es frecuente la necesidad de hacer un zoom de las mismas aumentando o disminuyendo su tama帽o de manera que se mantenga la forma (por ejemplo las fotocopias ampliadas o reduccidas). La figura que se obtiene se dice que es semejante a la original.
Observa en la imagen las figuras semejantes obtenidas por ampliaci贸n o por reducci贸n
Si tenemos una fotograf铆a de forma rectangular, si un lado aumenta en una proporci贸n el otro tambi茅n debe de aumentar en la misma proporci贸n, sino la figura resultante no mantiene la forma.
.jpg)
CONCEPTUALIZACI脫N
De forma m谩s simple consideremos que las figuras son tri谩ngulos. Supongamos que dos tri谩ngulos son semejantes entonces los lados de uno se han transformado en los correspondientes hom贸logos del otro. Se tiene que cumplir que la raz贸n de aumento o disminuci贸n de cada uno con su hom贸logo tiene que ser la misma (fig.1). Es decir, en los dos tri谩ngulos semejantes los tres lados son proporcionales.
Hay una propiedad geom茅trica que cumplen los tri谩ngulos semejantes: si se superponen los tri谩ngulos adquieren una configuraci贸n, denominada, de Thales, en la que dos lados est谩n en linea y el tercero es paralelo (fig.2). Esto significa que dos tri谩ngulos semejantes tienen los tres 谩ngulos iguales.
.jpg) |
| fig. 1 |
.jpg) |
| fig. 2 |
PROCESAMIENTO
Vamos a fijar estas ideas para lograr llegar a ver los tri谩ngulos semejantes en determinados casos. Haz un esfuerzo por visualizar la semejanza.
1) Indica, explicando el motivo,
si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. A) El tri谩ngulo de lados 3, 5 y 7 cm es
semejante a otro de lados 7,5; 12,5 y 16,8 cm.
B) Dos tri谩ngulos rect谩ngulos son siempre semejantes. C) Dos tri谩ngulos
rect谩ngulos is贸sceles son siempre semejantes. D) En dos
tri谩ngulos semejantes, la
raz贸n de dos
alturas correspondientes es
igual a la
raz贸n de semejanza. E) Dos tri谩ngulos
equil谩teros son siempre semejantes.
MECANIZACI脫N
Entonces
cuando tenemos tri谩ngulos semejantes la raz贸n entre lados hom贸logos es la misma. Se puede comprobar tambi茅n geom茅tricamente si son semejantes viendo si los 谩ngulos son iguales.
.jpg)
En la pr谩ctica la semejanza tambi茅n se utiliza en
las escalas de los mapas y planos. Un mapa es semejante a la realidad y la
escala es la raz贸n de semejanza. Si
un mapa est谩 en escala 1:1000 significa que una longitud L entre dos puntos
representa en la realidad una longitud L’ , cumpli茅ndose que L/L’=1/1000, o
sea, L’=1000·L
Con ayuda de la semejanza de tri谩ngulos se pueden hacer medidas de longitudes a las que no podemos acceder. Se trata de encontrar tri谩ngulos semejantes comprobando la igualdad de los 谩ngulos y utilizar la igualdad de la raz贸n de semejanza de los lados hom贸logos.
1) Entre Sergio, de 152 cm de altura, y un 谩rbol, hay un peque帽o charco en el que se refleja su copa. Calcula la altura de dicho 谩rbol sabiendo que las distancias que separan a Sergio del lugar de reflejo en el charco y del 谩rbol son de 3,2 m y 10,7 m, respectivamente.
2) Una torre mide 100 m de altura. En un determinado momento del d铆a, una vara vertical de 40 cm arroja una sombra de 60 cm. ¿Cu谩nto medir谩 la sombra proyectada en ese instante por la torre?
1)
Lorena presenta este
plano de su
cocina junto con
el tendedero a
una empresa de reformas. ¿De qu茅 superficie dispondr谩 si
decide unir la cocina y el tendedero?
.jpg)
2) En un mapa, de escala 1:250
000, la distancia entre dos pueblos es de 1,3 cm. A) ¿Cu谩l es la distancia real entre ambos
pueblos? B) ¿Cu谩l ser铆a la distancia en
ese mapa, entre otros dos pueblos que en la realidad distan 15 km?
CONSOLIDACI脫N
El nivel siguiente es la proporcionalidad entre 谩reas de figuras planas semejantes y vol煤menes de figuras tridimensionales semejantes. Es f谩cil ver que cuando las figuras planas son semejantes la raz贸n de proporcionalidad entre las 谩reas es el cuadrado de la raz贸n de proporcionalidad entre longitudes. Si se trata de comparar vol煤menes de figuras tridimensionales semejantes, la raz贸n ahora es el cubo de la raz贸n lineal.
El nivel siguiente es la proporcionalidad entre 谩reas de figuras planas semejantes y vol煤menes de figuras tridimensionales semejantes. Es f谩cil ver que cuando las figuras planas son semejantes la raz贸n de proporcionalidad entre las 谩reas es el cuadrado de la raz贸n de proporcionalidad entre longitudes. Si se trata de comparar vol煤menes de figuras tridimensionales semejantes, la raz贸n ahora es el cubo de la raz贸n lineal.
1) Un arquitecto ha hecho una maqueta a escala 1:100 de un edificio destinado a oficinas, con forma de cubo cuya arista mide 70 m. Calcula la superficie de la planta y el volumen que el edificio tendr谩 en la maqueta.
2) Los lados de dos pent谩gonos regulares miden 7 cm y 5 cm, respectivamente. ¿Son semejantes? En caso afirmativo calcula la raz贸n de semejanza entre sus 谩reas.
3) Un rect谩ngulo tiene dimensiones 3 cm x 6 cm. Calcula el 谩rea y las dimensiones de otro rect谩ngulo semejante a 茅l, sabiendo que la raz贸n entre sus 谩reas es de 9/4.
4) Una lata cil铆ndrica de fabada, que se anuncia para dos raciones, tiene un radio de 5 cm y una al tura de 15 cm. Otra lata de tama帽o familiar, semejante a la anterior se anuncia para 6 personas. ¿Qu茅 volumen y qu茅 dimensiones deber谩 tener? ¿Qu茅 relaci贸n existe entre las superficies de hojalata de una y otra lata?
5) En los muelles del Sena, en Par铆s, venden reproducciones de la Torre Eiffel que pesan 1,5 Kg y est谩n elaboradas con el mismo material que la aut茅ntica. Un folleto tur铆stico indica que la Torre tiene 321 m de altura y pesa 7 millones de kilos. ¿Cu谩nto medir谩 la altura de la reproducci贸n?
.jpg)
1) En una fotograf铆a, Mar铆a y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad, Mar铆a tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qu茅 escala est谩 hecha la foto? ¿Qu茅 altura tiene Fernando en la realidad?
2) Marcos ha realizado este plano de su habitaci贸n a escala 1:50. Calcula el 谩rea de la habitaci贸n y las dimensiones de la cama.
.jpg)
3) En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 7,5 cm. ¿Cu谩l ser谩 la escala de ese mapa si la distancia real entre ambas poblaciones es de 153 km? En ese mismo mapa, ¿cu谩l ser铆a la distancia real entre dos poblaciones que distan 12,25 cm?
4) Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situ谩ndonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la l铆nea del fondo. ¿Qu茅 profundidad tiene la piscina?
.jpg)
5) Calcula la altura de una casa sabiendo que en un determinado momento del d铆a proyecta una sombra de 3,5 m y una persona que mide 1,87 m tiene, en ese mismo instante, una sombra de 85 cm.
.jpg)
6) En un tri谩ngulo rect谩ngulo se inscribe un rect谩ngulo cuya base es dos veces su altura. Los catetos del tri谩ngulo miden 5 cm y 7 cm, respectivamente. Calcula las dimensiones del rect谩ngulo.
7) Dos caminos paralelos se unen entre s铆 por dos puentes, que a su vez se cortan en el punto O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.
2) Los lados de dos pent谩gonos regulares miden 7 cm y 5 cm, respectivamente. ¿Son semejantes? En caso afirmativo calcula la raz贸n de semejanza entre sus 谩reas.
3) Un rect谩ngulo tiene dimensiones 3 cm x 6 cm. Calcula el 谩rea y las dimensiones de otro rect谩ngulo semejante a 茅l, sabiendo que la raz贸n entre sus 谩reas es de 9/4.
4) Una lata cil铆ndrica de fabada, que se anuncia para dos raciones, tiene un radio de 5 cm y una al tura de 15 cm. Otra lata de tama帽o familiar, semejante a la anterior se anuncia para 6 personas. ¿Qu茅 volumen y qu茅 dimensiones deber谩 tener? ¿Qu茅 relaci贸n existe entre las superficies de hojalata de una y otra lata?
5) En los muelles del Sena, en Par铆s, venden reproducciones de la Torre Eiffel que pesan 1,5 Kg y est谩n elaboradas con el mismo material que la aut茅ntica. Un folleto tur铆stico indica que la Torre tiene 321 m de altura y pesa 7 millones de kilos. ¿Cu谩nto medir谩 la altura de la reproducci贸n?
EVALUACI脫N
La clave est谩 en utilizar dos figuras semejantes y establecer la proporci贸n entre longitudes hom贸logas. Ahora con ayuda de los
ejercicios anteriores ya te has formado un criterio de c贸mo abordar los
siguientes problemas.
1) En una fotograf铆a, Mar铆a y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad, Mar铆a tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qu茅 escala est谩 hecha la foto? ¿Qu茅 altura tiene Fernando en la realidad?2) Marcos ha realizado este plano de su habitaci贸n a escala 1:50. Calcula el 谩rea de la habitaci贸n y las dimensiones de la cama.
3) En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 7,5 cm. ¿Cu谩l ser谩 la escala de ese mapa si la distancia real entre ambas poblaciones es de 153 km? En ese mismo mapa, ¿cu谩l ser铆a la distancia real entre dos poblaciones que distan 12,25 cm?4) Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situ谩ndonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la l铆nea del fondo. ¿Qu茅 profundidad tiene la piscina?
5) Calcula la altura de una casa sabiendo que en un determinado momento del d铆a proyecta una sombra de 3,5 m y una persona que mide 1,87 m tiene, en ese mismo instante, una sombra de 85 cm.6) En un tri谩ngulo rect谩ngulo se inscribe un rect谩ngulo cuya base es dos veces su altura. Los catetos del tri谩ngulo miden 5 cm y 7 cm, respectivamente. Calcula las dimensiones del rect谩ngulo.viernes, 27 de marzo de 2015
UNIDAD DID脕CTICA: La distribuci贸n binomial
Orientaci贸n
Se va a empezar por el juego de los palitos.
El juego es para dos jugadores, cada uno con seis palitos decorados de forma similar a como se muestra en el gr谩fico:
Por una cara est谩n en blanco y por la otra decorados con motivos diversos y coloreados. Tambi茅n, deben de existir diez monedas o botones que forman la banca.
Los palitos se pueden construir con materiales de madera tipo soporte de helado o instrumento del m茅dico para observar la garganta. Los pueden decorar los propios alumnos.
Cada jugador tira los seis palitos alternativamente.
S贸lo hay tres jugadas ganadoras en cada tirada:
1) Salen todos los palitos con la cara decorada hacia arriba: gana tres monedas.
2) Todos salen con la cara sin decorar hacia arriba: gana dos monedas.
3) Tres salen con la cara decorada y tres sin ella: gana una moneda.
En cualquier otro caso no se gana nada.
Cuando se acaben las monedas de la banca se cobra del las monedas que tenga ganadas el contrario.
Gana el jugador que consiga las diez monedas.
Despu茅s de jugar varias partidas se pide a los alumnos que analicen el modelo matem谩tico de probabilidades que subyace en el juego.
Experimentaci贸n
Se va a llamar X a la variable aleatoria discreta que cuenta el n煤mero de palitos que salen con la cara decorada hacia arriba. X puede tomar varios valores en cada lanzamiento: {0,1,2,3,4,5,6}
{X=2} representa el suceso que salieron 2 con la cara decorada hacia arriba y 4 con la cara sin decorar.
{X=0} representa el suceso que no sali贸 ninguna con la cara decorada hacia arriba.
Los sucesos ganadores son:
{X=6} con 3 monedas
{X=0} con 2 monedas
{X=3} con una moneda
Sea p la probabilidad de que un palito salga con la cara decorada hacia arriba y q hacia abajo (p+q=1). En principio se puede suponer a priori que p=50%=0'5 y q=50%=0'5. Siempre se puede hacer un estudio de frecuencias relativas para cada palito y ver la tendencia para usar una probabilidad a posteriori.
Tambi茅n podemos suponer que cada palito sale con una u otra cara independientemente de c贸mo salgan los otros palitos.
Supongamos que tenemos numerados los palitos del 1 al 6 por necesidad de notaci贸n. Si el 4 sale decorado escribiremos d4, y sino, nd4. As铆 un lanzamiento de los 6 puede salir: d1-nd2-d3-d4-nd5-nd6
El suceso {X=6} es igual a d1-d2-d3-d4-d5-d6
El suceso {X=0} es igual a nd1-nd2-nd3-nd4-nd5-nd6
Y el suceso {X=3} tiene varias opciones, todas aquellas en las que salgan 3 decorados, como por ejemplo: d1-d2-d3-nd4-nd5-nd6
La probabilidad del suceso es igual al producto de probabilidades de los sucesos elementales cuando estos son independientes (teoremas de probabilidades compuestas), por ejemplo para d1-d2-nd3-d4-nd5-nd6 ser谩 p(d1)·p(d2)·p(nd3)·p(d4)·p(nd5)·p(nd6).
Por lo tanto, se tiene como probabilidad para los dos primeros sucesos ganadores:
p{X=6}=p(d1)·p(d2)·p(d3)·p(d4)·p(d5)·p(d6)=p·p·p·p·p·p=p6 (0'56=0'015625=1/64)
p{X=0}=p(nd1)·p(nd2)·p(nd3)·p(nd4)·p(nd5)·p(nd6)=q·q·q·q·q·q=q6 (0'56=0'015625=1/64)
Falta ver los casos que entran en el suceso {X=3}
Conceptualizaci贸n
Todos los sucesos elementales que pueden ocurrir se pueden contabilizar con ayuda de un 谩rbol binario, donde la primera opci贸n es lo que puede ocurrir con el primer palito, salir d1 o nd1. A continuaci贸n, para cada una de las dos opciones, se pone lo que ocurre con el segundo palito, salir d2 o nd2, Desde estas cuatro opciones se ponen las dos opciones del tercer palito, d3 o nd3, y as铆 sucesivamente hasta los seis palitos. Sale un 谩rbol de 6 niveles con 64 nodos hoja. En el siguiente gr谩fico se muestra el 谩rbol hasta el nivel 4:
El suceso {X=6} corresponde al caso de seguir siempre hacia arriba (el borde superior), y el suceso {X=0} al caso de seguir siempre hacia abajo (el borde inferior). El suceso {X=3} corresponde a varios itinerarios intermedios, todos aquellos que tengan 3 decorados con 3 no decorados. Por lo tanto cada camino se encuentra eligiendo tres posiciones de las seis para poner los decorados, el resto ser谩n no decorados. ¿De cu谩ntas maneras se pueden elegir 3 lugares en un conjunto de 6 posibles? Son tantas como combinaciones de 6 elementos tomadas de 3 en 3: C6,3=20. La probabilidad de cada camino es un producto de tres probabilidades para los decorados por tres probabilidades para los no decorados, p3q3 (0'53·0'53=0'15625=1/64. Los distintos caminos son sucesos incompatibles, por lo que, en conjunto se suman para obtener la probabilidad conjunta.
Para el suceso {X=3}, p{X=3}=20·p3q3 (20·0'53·0'53=20·0'15625=0'3125=5/16=20/64)
Es decir, suponiendo la probabilidad 0'5, sacar tres monedas ocurre 1 vez de cada 64 lanzamientos. Sacar dos monedas, tambi茅n. Y sacar una moneda ocurre 20 de cada 64 lanzamientos.
Procesamiento
Para averiguar todas las combinaciones de 6 tomados de 3 en 3 siguiendo el 谩rbol se empieza por la parte superior y se van descendiendo por los ramales:
d1-d2-d3-nd4-nd5-nd6
d1-d2-nd3-d4-nd5-nd6
d1-d2-nd3-nd4-d5-nd6
d1-d2-nd3-nd4-nd5-d6
d1-nd2-d3-d4-nd5-nd6
d1-nd2-d3-nd4-d5-dn6
d1-nd2-d3-nd4-nd5-d6
d1-nd2-nd3-d4-d5-nd6
d1-nd2-nd3-d4-nd5-d6
d1-nd2-nd3-nd4-d5-d6
nd1-d2-d3-d4-nd5-nd6
nd1-d2-d3-nd4-d5-nd6
nd1-d2-d3-nd4-nd5-d6
nd1-d2-nd3-d4-d5-nd6
nd1-d2-nd3-d4-nd5-d6
nd1-d2-nd3.nd4-d5-d6
nd1-nd2-d3-d4-d5-nd6
nd1-nd2-d3-d4-nd5-d6
nd1-nd2-d3-nd4-d5-d6
nd1-nd2-nd3-d4-d5-d6
La cantidad de C6,3=20. Cada unos de estos sucesos elementales tiene la misma probabilidad de suceder p3q3 porque en todos aparecen 3 decorados y 3 no decorados. Por lo tanto:
P{X=3}=C6,3p3q3
y para los otros dos casos:
P{X=6}=C6,6p6q0
P{X=0}=C6,0p0q6
Mecanizaci贸n
¿C贸mo calcular cualquier la probabilidad de otro suceso? Por ejemplo {X=2}. Los sucesos elementales que conforman este suceso s贸lo tienen 2 palitos decorados y 4 no decorados. El n煤mero de sucesos elementales es C6,2 y cada uno de ellos tiene de probabilidad p2q4, por lo tanto:
P{X=2}=C6,2 p2q4
En general si hay r palitos decorados:
P{X=r}=C6,r prqn-r
Que es la f贸rmula general para calcular la probabilidad de casa suceso, siendo r={0,1,2,3,4,5,6}
Para el caso en que el n煤mero de palitos sea n
P{X=r}=Cn,r prqn-r
Los resultados est谩n ya calculados para distintos valores de n, r, p y q en las tablas de distribuciones binomiales.
Consolidaci贸n
Un experimento aleatorio cuyos sucesos elementales est谩n constituidos por n sucesos individuales , como puede ser lanzar los seis palitos, es un experimento Binomial si:
1) Los sucesos individuales son del tipo 茅xito (salir decorado) o fracaso (no salir decorado)
2) Las probabilidades de 茅xito y fracaso se mantienen constantes para todos
P(茅xito)=p, P(fracaso)=q, p+q=1
3) Los sucesos individuales son independientes, es decir lo que ocurre en un suceso individual no influye en los otros.
La variable aleatoria que cuenta el n煤mero de 茅xitos, X, se dice que es una variable aleatoria binomial y esto se expresa diciendo que X es B(n,p). En el juego de los palitos X es B(6,0'5). La funci贸n de probabilidad es P{X=r}=Cn,r prqn-r , y se puede demostrar que la media=n·p y la varianza=n·p·q. Cualquier suceso que defina en la distribuci贸n binomial se puede estudiar su probabilidad a trav茅s de la funci贸n de probabilidad.
Evaluaci贸n
Para que un problema aleatorio sea del tipo binomial debemos de comprobar que es un experimento compuesto donde los n sucesos individuales, ocurre A (茅xito), son independientes con la misma probabilidad de ocurrir, p, o no, q. La variable asociada X es la que cuenta el n煤mero de veces que ocurre A. Se tiene la funci贸n de probabilidad con la f贸rmula anterior. Ahora, todo esto, se puede aplicar para resolver los siguientes problemas:
Se va a empezar por el juego de los palitos.
El juego es para dos jugadores, cada uno con seis palitos decorados de forma similar a como se muestra en el gr谩fico:
 |
| Haz y env茅s |
Los palitos se pueden construir con materiales de madera tipo soporte de helado o instrumento del m茅dico para observar la garganta. Los pueden decorar los propios alumnos.
Cada jugador tira los seis palitos alternativamente.
S贸lo hay tres jugadas ganadoras en cada tirada:
1) Salen todos los palitos con la cara decorada hacia arriba: gana tres monedas.
2) Todos salen con la cara sin decorar hacia arriba: gana dos monedas.
3) Tres salen con la cara decorada y tres sin ella: gana una moneda.
En cualquier otro caso no se gana nada.
Cuando se acaben las monedas de la banca se cobra del las monedas que tenga ganadas el contrario.
Gana el jugador que consiga las diez monedas.
Despu茅s de jugar varias partidas se pide a los alumnos que analicen el modelo matem谩tico de probabilidades que subyace en el juego.
Experimentaci贸n
Se va a llamar X a la variable aleatoria discreta que cuenta el n煤mero de palitos que salen con la cara decorada hacia arriba. X puede tomar varios valores en cada lanzamiento: {0,1,2,3,4,5,6}
{X=2} representa el suceso que salieron 2 con la cara decorada hacia arriba y 4 con la cara sin decorar.
{X=0} representa el suceso que no sali贸 ninguna con la cara decorada hacia arriba.
Los sucesos ganadores son:
{X=6} con 3 monedas
{X=0} con 2 monedas
{X=3} con una moneda
Sea p la probabilidad de que un palito salga con la cara decorada hacia arriba y q hacia abajo (p+q=1). En principio se puede suponer a priori que p=50%=0'5 y q=50%=0'5. Siempre se puede hacer un estudio de frecuencias relativas para cada palito y ver la tendencia para usar una probabilidad a posteriori.
Tambi茅n podemos suponer que cada palito sale con una u otra cara independientemente de c贸mo salgan los otros palitos.
Supongamos que tenemos numerados los palitos del 1 al 6 por necesidad de notaci贸n. Si el 4 sale decorado escribiremos d4, y sino, nd4. As铆 un lanzamiento de los 6 puede salir: d1-nd2-d3-d4-nd5-nd6
El suceso {X=6} es igual a d1-d2-d3-d4-d5-d6
El suceso {X=0} es igual a nd1-nd2-nd3-nd4-nd5-nd6
Y el suceso {X=3} tiene varias opciones, todas aquellas en las que salgan 3 decorados, como por ejemplo: d1-d2-d3-nd4-nd5-nd6
La probabilidad del suceso es igual al producto de probabilidades de los sucesos elementales cuando estos son independientes (teoremas de probabilidades compuestas), por ejemplo para d1-d2-nd3-d4-nd5-nd6 ser谩 p(d1)·p(d2)·p(nd3)·p(d4)·p(nd5)·p(nd6).
Por lo tanto, se tiene como probabilidad para los dos primeros sucesos ganadores:
p{X=6}=p(d1)·p(d2)·p(d3)·p(d4)·p(d5)·p(d6)=p·p·p·p·p·p=p6 (0'56=0'015625=1/64)
p{X=0}=p(nd1)·p(nd2)·p(nd3)·p(nd4)·p(nd5)·p(nd6)=q·q·q·q·q·q=q6 (0'56=0'015625=1/64)
Falta ver los casos que entran en el suceso {X=3}
Conceptualizaci贸n
Todos los sucesos elementales que pueden ocurrir se pueden contabilizar con ayuda de un 谩rbol binario, donde la primera opci贸n es lo que puede ocurrir con el primer palito, salir d1 o nd1. A continuaci贸n, para cada una de las dos opciones, se pone lo que ocurre con el segundo palito, salir d2 o nd2, Desde estas cuatro opciones se ponen las dos opciones del tercer palito, d3 o nd3, y as铆 sucesivamente hasta los seis palitos. Sale un 谩rbol de 6 niveles con 64 nodos hoja. En el siguiente gr谩fico se muestra el 谩rbol hasta el nivel 4:
El suceso {X=6} corresponde al caso de seguir siempre hacia arriba (el borde superior), y el suceso {X=0} al caso de seguir siempre hacia abajo (el borde inferior). El suceso {X=3} corresponde a varios itinerarios intermedios, todos aquellos que tengan 3 decorados con 3 no decorados. Por lo tanto cada camino se encuentra eligiendo tres posiciones de las seis para poner los decorados, el resto ser谩n no decorados. ¿De cu谩ntas maneras se pueden elegir 3 lugares en un conjunto de 6 posibles? Son tantas como combinaciones de 6 elementos tomadas de 3 en 3: C6,3=20. La probabilidad de cada camino es un producto de tres probabilidades para los decorados por tres probabilidades para los no decorados, p3q3 (0'53·0'53=0'15625=1/64. Los distintos caminos son sucesos incompatibles, por lo que, en conjunto se suman para obtener la probabilidad conjunta.
Para el suceso {X=3}, p{X=3}=20·p3q3 (20·0'53·0'53=20·0'15625=0'3125=5/16=20/64)
Es decir, suponiendo la probabilidad 0'5, sacar tres monedas ocurre 1 vez de cada 64 lanzamientos. Sacar dos monedas, tambi茅n. Y sacar una moneda ocurre 20 de cada 64 lanzamientos.
Procesamiento
Para averiguar todas las combinaciones de 6 tomados de 3 en 3 siguiendo el 谩rbol se empieza por la parte superior y se van descendiendo por los ramales:
d1-d2-d3-nd4-nd5-nd6
d1-d2-nd3-d4-nd5-nd6
d1-d2-nd3-nd4-d5-nd6
d1-d2-nd3-nd4-nd5-d6
d1-nd2-d3-d4-nd5-nd6
d1-nd2-d3-nd4-d5-dn6
d1-nd2-d3-nd4-nd5-d6
d1-nd2-nd3-d4-d5-nd6
d1-nd2-nd3-d4-nd5-d6
d1-nd2-nd3-nd4-d5-d6
nd1-d2-d3-d4-nd5-nd6
nd1-d2-d3-nd4-d5-nd6
nd1-d2-d3-nd4-nd5-d6
nd1-d2-nd3-d4-d5-nd6
nd1-d2-nd3-d4-nd5-d6
nd1-d2-nd3.nd4-d5-d6
nd1-nd2-d3-d4-d5-nd6
nd1-nd2-d3-d4-nd5-d6
nd1-nd2-d3-nd4-d5-d6
nd1-nd2-nd3-d4-d5-d6
La cantidad de C6,3=20. Cada unos de estos sucesos elementales tiene la misma probabilidad de suceder p3q3 porque en todos aparecen 3 decorados y 3 no decorados. Por lo tanto:
P{X=3}=C6,3p3q3
y para los otros dos casos:
P{X=6}=C6,6p6q0
P{X=0}=C6,0p0q6
Mecanizaci贸n
¿C贸mo calcular cualquier la probabilidad de otro suceso? Por ejemplo {X=2}. Los sucesos elementales que conforman este suceso s贸lo tienen 2 palitos decorados y 4 no decorados. El n煤mero de sucesos elementales es C6,2 y cada uno de ellos tiene de probabilidad p2q4, por lo tanto:
P{X=2}=C6,2 p2q4
En general si hay r palitos decorados:
P{X=r}=C6,r prqn-r
Que es la f贸rmula general para calcular la probabilidad de casa suceso, siendo r={0,1,2,3,4,5,6}
Para el caso en que el n煤mero de palitos sea n
P{X=r}=Cn,r prqn-r
Los resultados est谩n ya calculados para distintos valores de n, r, p y q en las tablas de distribuciones binomiales.
Consolidaci贸n
Un experimento aleatorio cuyos sucesos elementales est谩n constituidos por n sucesos individuales , como puede ser lanzar los seis palitos, es un experimento Binomial si:
1) Los sucesos individuales son del tipo 茅xito (salir decorado) o fracaso (no salir decorado)
2) Las probabilidades de 茅xito y fracaso se mantienen constantes para todos
P(茅xito)=p, P(fracaso)=q, p+q=1
3) Los sucesos individuales son independientes, es decir lo que ocurre en un suceso individual no influye en los otros.
La variable aleatoria que cuenta el n煤mero de 茅xitos, X, se dice que es una variable aleatoria binomial y esto se expresa diciendo que X es B(n,p). En el juego de los palitos X es B(6,0'5). La funci贸n de probabilidad es P{X=r}=Cn,r prqn-r , y se puede demostrar que la media=n·p y la varianza=n·p·q. Cualquier suceso que defina en la distribuci贸n binomial se puede estudiar su probabilidad a trav茅s de la funci贸n de probabilidad.
Evaluaci贸n
Para que un problema aleatorio sea del tipo binomial debemos de comprobar que es un experimento compuesto donde los n sucesos individuales, ocurre A (茅xito), son independientes con la misma probabilidad de ocurrir, p, o no, q. La variable asociada X es la que cuenta el n煤mero de veces que ocurre A. Se tiene la funci贸n de probabilidad con la f贸rmula anterior. Ahora, todo esto, se puede aplicar para resolver los siguientes problemas:
1) Los
resultados de una encuesta sobre el nivel de aceptaci贸n de un determinado
partido pol铆tico han revelado que el 30% de la poblaci贸n es favorable a dicho
partido, siendo desfavorable el resto.
En una encuesta realizada
telef贸nicamente sobre 8 personas elegidas al azar, se desea saber la
probabilidad de que:
a) 脷nicamente
tres sean favorables al partido.
b) Al
menos una persona sea favorable.
c) A
lo sumo dos sean desfavorables.
2) Cierto
medicamento contra una enfermedad provoca mejor铆a en el 60% de los casos. Si se
receta a un grupo de 5 pacientes, cu谩l es la probabilidad de que:
a) Los
5 pacientes mejoren.
b) Al
menos 4 mejoren.
c) A
lo sumo 2 no experimenten mejor铆a.
3) Se
analizan 10 empresas para decidir cu谩ntas est谩n en quiebra. La probabilidad de
que una empresa est茅 en quiebra es 0’12.
a) Calcula
la probabilidad de que exactamente 2 de ellas est茅n en quiebra.
b) ¿Cu谩l
es el n煤mero esperado de empresas en quiebra?
c) Halla
la media y la desviaci贸n t铆pica de la variable utilizada.
jueves, 5 de marzo de 2015
Infinito versus cero
Supongamos que tenemos 1Kg de azucar y lo vamos a repartir entre 2 personas, ¿cu谩nto le toca a cada una? Pues la operaci贸n es f谩cil, 1Kg/2p=0.5Kg/1p. Si el reparto fuera entre 4 personas la soluci贸n ser铆a, 1Kg/4p=0.25Kg/1p. Si continuamos haciendo divisiones del kilo entre m谩s personas, cada vez la cantidad por persona se hace m谩s peque帽a, acerc谩ndose cada vez m谩s a cero.
1/2=0.5, 1/4=0.25, 1/8=0.125,....,1/100=0.01,......, 1/1000=0.001,.....
La sucesi贸n num茅rica converge hacia cero.
Se dice que 1/n tiende a 0 cuando n tiende a infinito
Vamos a plantear la divisi贸n al rev茅s. Si tenemos 1Kg de azucar y queremos repartir entre varias personas a raz贸n de 0.5Kg de azucar, para cada una, ¿a cu谩ntas personas se lo puedo dar? Pues la soluci贸n es, 1Kg/0.5Kg/1p=2p. Si lo que reparto es 0.25Kg por persona, lo puedo repartir entre 1Kg/0.25Kg/1p=4p. Si continuamos bajando la cantidad de azucar a repartir por persona se puede repartir entre m谩s personas, haci茅ndose el n煤mero de estas tan alto como queramos.
1/0.5=2, 1/0.25=4, 1/0.125=8,....,1/0.01=100,.....,1/0.001=1000,.......
En este caso vemos que la sucesi贸n num茅rica se va hacia infinito.
Se dice que 1/n tiende a infinito cuando n tiende a 0
Suscribirse a:
Entradas (Atom)