La base del APC

Las operaciones básicas del aprendizaje según el APC son:
1) Relacionar (lo que acerca)-REALIZAR-Motiva a emprender una acción para hacer realidad un deseo. Conseguir que algo exista.REALIDAD
2) Asociar (lo que pega)-RAZONAR-Fundamenta en lo experimentado anteriormente, los recuerdos, la posibilidad de conseguirlo, la evolución. Conseguir manifestar la existencia. PASADO
3) Comparar parecidos (lo que es común)-SINTETIZAR-Profundiza el conocimiento hasta encontrar el origen del mismo, para conseguir la generación. Conseguir verbalizar a la existencia. INTERIOR
4) Comparar diferencias (lo que cambia)-MADURAR-Trabaja madurando con el esfuerzo hasta conseguir el objetivo. Conseguir objetivizar la existencia.CIELO
5) Dividir (lo que separa)-ANALIZAR-Mecaniza la producción con ayuda de herramientas. Conseguir exteriorizar la existencia.EXTERIOR
6) Completar (lo que falta)-PROCEDIMENTAR-Normaliza con métodos para que se pueda repetir indefinidamente la obtención de resultados. Conseguir aportar la existencia.TIERRA
7) Unir (lo que sobra)-EVALUAR- Juzga con criterio y decide lo que tiene peso y lo que no. Conseguir hacer cosas con la existencia. FUTURO

Por ejemplo:
1) Encuentra la relación entre el precio "y" y el peso de "x" kilos de papas, si el precio de un kilo es 2 euros.
[Se plantea establecer una relación entre dos magnitudes, el peso y el precio, esto sirve para cobrar o para que una báscula electrónica se pueda programar para que dé al cliente, cuando este ponga en la bandeja las papas, el tique del peso y el precio] 
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿Y ESTO PARA QUÉ SIRVE?
ES UNA SITUACIÓN REAL QUE EXISTE
2) Asocia a cada peso su precio en los casos de x=1 kilo, x=3 kilos y de x=6 kilos
[Recordando las operaciones aritméticas se puede asociar cada peso, x, con su precio, y. Así para 3 kilos, a 2 euros cada kilo, son 2+2+2=2·3=6 euros. Basta con multiplicar por 2 el peso para obtener el precio.]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿Y ESTO QUÉ SIGNIFICA?
YA SE HA EXPERIMENTADO ANTERIORMENTE CON LAS OPERACIONES DE SUMAR
3) Compara la razón entre el precio y el peso ¿Qué propiedad deduces?
[Los pares (x,y) tienen en común que la razón y/x es constante, siendo esta igual a 2, son magnitudes directamente proporcionales, las fracciones son equivalentes. En cualquier caso y/x=2, entonces y=2x]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿Y QUE SENTIDO TIENE?
CONCEPTUALMENTE HAY PROPORCIONALIDAD
4) Comprueba si la relación y=2x se ajusta a los cálculos anteriores.
[Si la relación la escribimos como y=2x, se prueba con los datos anteriores, sustituyendo x e y por sus valores, que en cada caso se cumple la  igualdad, no hay ninguna diferencia]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿CÓMO FUNCIONA?¿DE QUÉ DEPENDE?
LA FUNCIÓN ASIGNA A CADA VALOR DE X UN VALOR DE Y
5) Recoge en una tabla los resultados anteriores, represéntalos en el plano coordenado analizando como va creciendo el precio conforme aumenta el peso.
[La característica de esta función es que si se representan los puntos en el plano éstos están alineados en crecimiento, y esta es su singularidad] 
EL ALUMNO PREGUNTA:¿CUÁL ES LA MECÁNICA?¿CÓMO SE DEFINE?
LA IMAGEN DE ESTA FUNCIÓN UNA SERIE DE PUNTOS ALINEADOS POR EL TEOREMA DE THALES
6) Completa la tabla con distintos valores según otro precio del kilo ¿Cuál es el primer punto?
[Falta comprender dónde empieza esta alineación y hacia donde vá, y que esto siempre ocurre así]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿Y ESTO SIEMPRE ES ASÍ?¿CUÁLES SON LOS PASOS?
SE EMPIEZA POR EL PRECIO DE UNA UNIDAD Y EN CADA CASO SE VA MULTIPLICANDO POR EL NÚMERO DE KILOS INDEFINIDAMENTE. SI NO HAY KILOS EL PRECIO ES CERO.
7) ¿Tiene sentido unir los puntos del plano?¿Qué gráfica sale?
[Es posible que x tome cualquier valor, es una magnitud continua, las papas van creciendo en peso de forma seguida, luego si todos los puntos son posibles y están alineados, se pueden unir con un trazo seguido, empezando en el (0,0), la gráfica es una semirrecta, es una función lineal]
EL ALUMNO PREGUNTA: ¿Y ÉSTO DE DÓNDE SALE?¿CÓMO SE EXPLICA?
LOS KILOS SON NÚMEROS REALES POR TANTO LA GRÁFICA ES UNA SEMIRECTA RECTA CONTINUA. ES UNA RELACIÓN ENTRE NÚMEROS REALES. FUNCIONA EN CUALQUIER CASO.

El inquietante caso de la niña que ahorraba para comprar un juguete y sabía resolver ecuaciones de primer grado

En el post anterior nos hemos encontrado con este problema:
Una niña tiene 4 euros y recibe una paga semanal de 5 euros, gastando cada semana x euros. Quiere comprar un juguete que cuesta 16 euros. Piensa juntar el dinero para dentro de 6 semanas que es su cumple. ¿Cuánto puede gastar fijo cada semana?

La ecuación es: 4+6(5-x)=16
Su resolución es:
4+30-6x=16
34-6x=16
-6x=-18
x=3
Puede gastar 3 euros todas las semanas, con lo que ahorra 2 euros, en total 12 euros, que sumados con los 4 que tenía hacen los 16.

Hasta aquí no hay problema, pero ¿que pasa si su abuela le dice que lo que gaste ella semanalmente se lo ingresa ella?.

Ahora la ecuación es :4+6(5-x)+6x=16
Su resolución:
4+30-6x+6x=16
0x=-18
0=-18
Esto significa que no hay solución. Pero no quiere decir que no pueda gastar nada, todo lo contrario puede gastar todo lo que quiera porque al final tiene 34 euros, mas de lo que necesita.

Pero si en lugar de tener una paga semanal de 5 euros fuera de 2 euros, con la ayuda de la abuela, ¿qué pasaría?

Ahora la ecuación es: 4+6(2-x)-6x=16
Su resolución:
4+12-6x-2x=16
16-6x+6x=16
0x=0
0=0
Esto significa que hay infinitas soluciones, dentro del rango. Puede gastar lo que quiera porque llega justo a los 16 euros, en 6 semanas.

¿Y si la paga es de 1 euro?
4+6(1-x)+6x=16
4+6-6x+6x=16
0x=6
0=6
No tiene solución. Pero ahora es cierto que gaste lo que gaste no consigue juntar los 16 euros, sólo consigue 10 euros.

La conclusión es que la información que nos da la solución de una ecuación, en el caso de que no exista, no nos dice por si sola si realmente el problema que intenta resolver tiene otra solución posible o no. Tal vez se pueda interpretar el signo del número que queda en el segundo miembro. Tal vez la ecuación no es el modelo adecuado y tenga que usar una inecuación. Al final, las matemáticas hay que usarlas con criterio porque sino los resultados pueden llevar a equívocos.

UNIDAD DIDÁCTICA: Resolver ecuaciones de primer grado

Motivación
Una ecuación de primer grado es una igualdad entre dos expresiones algebraicas con la variable x sólo con potencia uno. La solución de la ecuación es el valor de x que hace que la igualdad sea cierta.

Si digo, fui a la tienda de ropa, me compré tres pantalones de igual precio y una falda que cuesta 15 euros. No recuerdo el precio de cada pantalón, pero sí recuerdo que pagué con un billete de 50 euros y me devolvieron 5 euros, ¿puedo deducir el precio de cada pantalón?

Esto es una ecuación porque plantea una igualdad, el precio detallado de las prendas y el pago final con dinero en mano. La incógnita es el precio de un pantalón. Es de primer grado puesto que es el precio tal cual, no es al cuadrado ni al cubo. Las expresiones algebraicas que se igualan son: tres por el precio de un pantalón más 15 euros del precio de la falda (3x+15); el billete de 50 euros menos la devolución de 5 euros (50-5). La ecuación es 3x+15=50-5

La solución se puede deducir llevando las cuentas mentalmente: El pago fue de 50-5=45 euros. Si descontamos el precio de la falda se tiene lo que costaron los tres pantalones, 45-15=30 euros, y como eran tres, cada uno costó 30/3=10 euros. Se puede comprobar la solución: 3·10+15=50-5.

A veces las expresiones algebraicas pueden ser más complejas y no se puede hacer mentalmente, por lo que es necesario llevar al papel la ecuación para, con ayuda del cálculo algebraico, obtener la solución.

Experimentación
Cuando se plantea una ecuación se hace llevando una contabilidad donde alguna partida no sabemos su valor y se deja indicada. La resolución de la ecuación sería deshacer la contabilidad, poco a poco, hasta llegar a aislar esa partida desconocida.

Veamos un ejemplo:
Un mago le pide a un niño que piense un número entre 0 y 9. Y le dice que lo va a adivinar.
   a) Para el mago ese número se llama x.
A continuación le dice al niño que le sume 3 a ese número, en su cabeza.
   b) Para el mago, que lleva la contabilidad, van x+3.
Ahora le dice al niño que el resultado lo multiplique por 2.
   c) Para el mago van 2(x+3).
Ahora le dice que al resultado le sume 5.
  d) Para el mago van 2(x+3)+5.
Finalmente le pide el resultado al niño, y este le dice que sus cuentas dan 13.
En primer lugar la ecuación a resolver es: 2(x+3)+5=13
La solución la obtiene el mago deshaciendo el camino. De atrás para adelante.
El último paso fue sumar 5, pues ahora resta 5
  d) Para el mago su contabilidad vuelve a 2(x+3) y para el niño a 13-5=8
El penúltimo paso fue multiplicar por 2, pues ahora hay que dividir por 2.
  c) Para el mago le queda x+3, para el niño 8/2=4
En el anterior paso el mago pidió sumar 3, ahora hay que restar 3.
  b) Para el mago le queda x, y para el niño 4-3=1
Ya solo queda lo que dijo el mago, que pensara un número
  a) Para el mago era x, para el niño el 1
La solución es que el niño pensó en el 1

Conceptualización
Una ecuación tiene dos miembros, la expresión de la izquierda de la igualdad, el primer miembro, y la expresión de la derecha de la igualdad, el segundo miembro.
MIEMBRO 1= MIEMBRO 2
Durante la resolución se hacen operaciones sobre la ecuación de forma que se pasa de una ecuación a otra, equivalente, que mantiene la solución, pero más cercana a la última, x=a.
MIEMBRO' 1= MIEMBRO' 2
MIEMBRO'' 1= MIEMBRO '' 2
..................................................
x=a
Las operaciones permitidas que simplifican y mantienen la solución son:
1) Se pueden hacer las operaciones ordinarias siguiendo la jerarquía en cada miembro de la ecuación para simplificarlos.
2) Se puede sumar o restar el mismo número en ambos miembros de la ecuación.
3) Se puede multiplicar o dividir por el mismo número en ambos miembros de la ecuación (no se puede dividir por 0).

Por ejemplo:
Sea la ecuación 3(x-3)-7-x=4
Primero se quita el paréntesis (1):
3x-9-7-x=4
Ahora se simplifica el primer miembro (1)
2x-16=4
Ahora se suma 16 en ambos miembros (2)
2x=20
Ahora se divide por 2 ambos miembros (3)
x=10
Como la solución se mantiene en todos los pasos, resulta que x=10 es la solución del último paso, luego es la misma que la de la ecuación.

Procesamiento
Puede ocurrir que haya expresiones con x en ambos miembros. Las operaciones que se hacen en las ecuaciones para transformarlas en ecuaciones equivalentes más simples van aislando la x en el primer miembro y dejando un número en el segundo. La táctica es dejar los términos con x agrupados en el primer miembro y los términos numéricos en el segundo.

Por ejemplo,:
Sea la ecuación: 5(2x+6)=-2(x-3)+72
La primera tarea será quitar todos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva:
10x+30=-2x+6+72
La siguiente tarea es restar 30. Ya se ve que desaparece el 30 del primer miembro y lo que aparece es -30 en el segundo. Es como si el +30 del primer miembro se desplazara al segundo como -30.
10x=-2x+72-30+6
Se simplifica el segundo miembro:
10x=-2x+48
Para pasar el -2x al primer miembro, se hace como con los números, se suma en ambos miembros +2x, con lo que desaparece el -2x del segundo miembro y aparece en el primero. Hay que pasar juntos el -2 y la x, no se puede pasar el-2 dividiendo porque el -2x está en una expresión que suma al 48.
10x+2x=48
Se agrupan las x en el primer miembro:
12x=48
Ahora hay que dividir por 12 ambos miembros, pero es como si el 12 que está en el primer miembro multiplicando pasara dividiendo al segundo.
x=48/12
Simplificando el segundo:
x=4

Entonces se pueden hacer cambios en las transformaciones permitidas sobre las ecuaciones:
2') Si un número o expresión algebraica está sumando o restando en un miembro puede pasar al otro cambiado de signo.
3') Si un número o expresión algebraica (no cero) está en un miembro multiplicando o dividiendo y no hay términos sumando o restando, puede pasar al otro dividiendo o multiplicando, respectivamente.

Mecanización
De forma automática hay que resolver las ecuaciones de primer grado.

Por ejemplo, resolver 3(2x+2)-4=5(x+2)+2
Primero, quitar paréntesis: 6x+6-4=5x+10+2
Segundo, pasar los términos o agrupar los semejantes. Si se toma la segunda opción queda, 6x+2=5x+12
Tercero, pasar los terminos en x al primer miembro y los otros al segundo, cambiando los signos:
6x-5x=12-2
Cuarto, agrupar términos semejantes: x=10

En este caso ya se llega a la solución.

Otro ejemplo, resolver 2(x+3)-4=2x+3
Primero, quitar paréntesis: 2x+6-4=2x+3
Segundo, agrupar términos semejantes: 2x+2=2x+3
pasar los términos en x al primer miembro y los otros al segundo, cambiando los signos:
2x-2x=3-6+4
Tercero, agrupar: 0x=1
En este caso queda 0=1, lo cual es absurdo.

La última igualdad es falsa, luego todas las igualdades anteriores lo son. La ecuación es la primera igualdad y es falsa para cualquier valor de x, eso significa que no hay ningún valor que haga

Otro ejemplo, resolver 4(x+2)-2=6x-2(x-3)
4x+8-2=6x-2x+6
4x+6=4x+6
4x-4x=6-6
0x=0
0=0

Esto significa que la ultima igualdad es siempre cierta independiente de la x, entonces la primera igualdad se cumple siempre par todo valor de x. La ecuación es una identidad y tiene infinitas soluciones.

Consolidación
De esta forma ya se puede resolver cualquier ecuación de primer grado.
Puede tener una, ninguna o infinitas soluciones, la forma de concluir es llegando a una ecuación equivalente de la forma x=a, 0=a ó 0=0, respectivamente.

• Se empieza por eliminar paréntesis,
• se agrupan términos semejantes que se estén sumando o restando,
• se pasan los términos en x al primer miembro y los que no la tienen al segundo, cambiando el signo
• se vuelven a agrupar términos semejantes,
• y se despeja x pasando su coeficiente al otro lado dividiendo si está multiplicando o multiplicando si está dividiendo.
• Si la última ecuación es una de los tres casos anteriores se concluye como se indica.

Ejemplo: -5(x+6)+4(x-2)=2x+1
-5x-30+4x-8=2x+1
-x-38=2x+1
-x-2x=38+1
-3x=39
x=39/-3
x=-13
solución única

Evaluación
Una niña tiene 4 euros, cada semana recibe 5 euros de paga y gasta una cantidad fija x. Quiere ahorrar para comprar un juguete que cuesta 16 euros. ¿Cuánto puede gastar si quiere tener el dinero dentro de 6 semanas?
Variable: x es lo que gasta fijo por semana
Ecuación: 4+6(5-x)=16
Resolución:
4+30-6x=16
34-6x=16
-6x=16-34
-6x=-18
x=-18/(-6)
x=3 euros semanales

Supongamos que quiere tener el dinero en 2 semanas
Ecuación: 4+2(5-x)=16
Resolución:
4+10-2x=16
14-2x=16
-2x=16-14
-2x=2
x=2/(-2)
x=-1
en lugar de gastar tiene que ingresar 1 euros a la semana aparte de los 5 euros

Supongamos que quiere gastar los 5 euros, ¿cuántas semanas tiene que estar ahorrando?
Variable: y es el número de semanas
Ecuación: 4+y(5-5)=16
4+0y=16
0y=12
0=12
no hay solución

Supongamos que sólo recibe de paga 2 euros
Variable: x es lo que gasta fijo por semana
Ecuación: 4+6(2-x)=16
4+12-6x=16
16-6x=16
-6x=-16+16
-6x=0
x=0/(-6)
x=0
no puede gastar nada

Supongamos que lo que gasta semanalmente lo puede volver a ahorrar porque se lo financian
Ecuación: 4+6(5-x)+6x=16
4+30-6x+6x=16
34+0x=16
0x=16-34
0x=-18
0=-18
no hay solución
En 6 semanas tiene 34 euros, no 16. Evidentemente junta más dinero de lo que necesita, lo que dice la ecuación es que exactamente 16 euros no los puede conseguir con este plan.

Averigua la operación

Supongamos que tenemos una operación entre dos números llamada O y queremos averiguar qué operación es, de las aritméticas, a partir de los operandos y el resultado, por ejemplo:
3O4=7
Parece obvio que O=+, pero, ¿puede haber otra operación que cumpla la igualdad?
Las opciones son:
3+4=7
3-4=-1
3·4=12
3:4=0'75
 =1'587....
3^4=81
log3(4)=1'262....

¿Existe un método más simple para averiguar la solución sin recurrir a probar todas las operaciones?

Otro ejemplo, averiguar la operación que cumple 2O2=4.
En este caso puede ser, 2·2=4, ó 2^2=4, ó 2+2=4, tres soluciones posibles.

Otro ejemplo, averiguar la operación que cumple 2O3=4.
En este caso no hay solución.

Otro ejemplo, averiguar la operación que cumple 3O4=4O3.
La solución puede ser, 3+4=4+3, ó 3*4=4*3.

El estudio de las operaciones lleva al álgebra moderna.

Poner, quitar y repetir, en el espacio y en el tiempo

En el origen de las matemáticas está el poner, quitar y repetir. Si tenemos una naranja y ponemos otra, tenemos dos naranjas, Si tenemos dos naranjas y quitamos una, tenemos una. Si ponemos tres naranjas repetidamente hasta cinco veces, tenemos quince naranjas. Si tenemos diez naranjas y quitamos dos repetidamente hasta cinco veces, no queda ninguna. Si ponemos las naranjas en una caja en su base en filas de tres, hasta un total de tres filas, y podemos repetir tres niveles iguales tendremos una disposición en forma de cubo con tres por tres por tres naranjas, o sea, veintisiete naranjas.  Si tenemos una disposición en forma de cubo de ciento veinticinco naranjas, es que son cinco filas de cinco naranjas en cinco niveles. Si quiero saber si puedo poner una disposición cúbica de ocho naranjas lo puedo hacer porque es posible hacer un cubo de dos por dos por dos naranjas.

El álgebra inicialmente correspondía a los términos de "reponer" o "reintegrar", eso significa que si tenemos un número indeterminado de naranjas y le añadimos dos y comprobamos que hay cinco, es que inicialmente había tres. Para ello quitamos a las cinco las dos que le añadimos y reintegramos la situación al principio. Pero también hay un hecho fundamental, ponemos, quitamos y repetimos en el tiempo.  El análisis estudia las relaciones. Si empezamos con dos naranjas y todos los días repetimos poniendo tres nuevas naranjas, podemos contar el número de naranjas acumuladas al cabo de cinco días, un total de diecisiete. Y al cabo de siete días, veintitrés. Y al cabo de diez, treinta y dos.

Lo curioso del caso es que también se pueden hacer matemáticas sin necesidad de poner, quitar o repetir nada físico, puede hacerse mentalmente. Incluso imaginar situaciones imposibles de llevar a la práctica en principio. ¿Qué decir de tener cuarenta mil billones de naranjas y poner ciento veinte mil trillones de naranjas? Matemáticamente es posible, en la realidad cualquiera diría que no. Esto es debido al instrumento que es nuestro cerebro, la potencialidad de las matemáticas es la propia potencialidad del cerebro humano.

Horarios y ecuaciones.

• Sofía camina todos los días 3/4 de hora. Si quiere acumular 6 horas, ¿cuántos días tiene que caminar?

Si x es el número de días, 3/4*x=6, 3*x=4*6, 3*x=24, x=24/3=8

• Joel ve la tele todos los días, aproximadamente 2 horas y media cada día, ¿Cuántos días tienen que pasar para que acumule un día entero de ver televisión?

Si x es el número de días, 2'5*x=24, x=24/2'5=9'6

• Gisella tiene que preparar un examen para dentro de 3 días. Si quiere dedicarle 5 horas como mucho, ¿cuánto tiene que estudiar cada día?

Si x es el tiempo diario, 5=3*x, x=5/3=1+2/3=1h 40m

• Eric va a hacer un curso de formación, tiene que hacer 60 horas, 30 no presenciales y el resto presenciales. Los días que tiene que asistir son de 5 horas, ¿cuántos días tiene que estar presente recibiendo el curso?

Si x es el número de días, 60=30+5*x, 60-30=5*x, 30=5*x, x=30/5=6

• Noelia tiene que elegir entre ponerse en la cola A o en la B. En la A hay 30 personas y en la B hay 20. En la A van más rápido, atienden a 2 personas cada 5 minutos y en la B más lentos, 1 persona por cada 5 minutos. ¿En que cola debe ponerse?

Si x es el tiempo que tardan las dos colas en igualarse, 30-(x/5)*2=20-(x/5)*1, 30*5-2*x=20*5-1*x, 150-2*x=100-x, 150-100=2*x-x, x=50 min, quedan 10 personas, luego debe ponerse en la cola A.

El trabajo y el sueldo, y las ecuaciones

• Un trabajador cobra por un trabajo por horas 550 euros. El primer día trabajó 2 horas y media, y el segundo 3 horas. ¿A cuánto le pagan la hora?

Si x es lo que le pagan por hora, 550=(2+1/2+3)*x, 550=(11/2)*x, x=2*550/11, x=100

• Un trabajador cobra por un trabajo 300 euros, le pagan a razón de 20 euros la hora. Trabajó dos días, el primero hizo 8 horas y el segundo no se acuerda. ¿Cuántas horas trabajó el segundo día?

Si x son las horas trabajadas el segundo día, 300=20*8+20*x, 300=160+20*x, 300-160=20*x, 1400=20*x, x=140/20=7

• Un trabajador cobra por su trabajo 500 euros en bruto, pero le entregan 480 euros porque el resto es lo que contribuye al fisco. ¿Qué porcentaje del bruto le aplican para el descuento fiscal?

Si x es el porcentaje, 500=480+500*x, 500-480=500*x, 20=500*x, x=20/500=0'04=4%

• Un trabajador puede elegir entre dos empleos, en el primero le pagan 700 euros al mes y una gratificación de 300 euros en Navidad, y en el otro le pagan 650 euros al mes y una gratificación de 550 euros en Navidad. ¿En qué momento se igualará lo que cobra en una empresa y en la otra?

Si x es el número de meses trabajados, y suponemos que cobra una vez la gratificación, 700*x+300=650*x+550, 700*x-650*x=550-300, 50*x=250, x=5

Los ingresos y gastos, y las ecuaciones

• Tenemos 300 euros y hay que pagar una mensualidad de 12 euros, ¿para cuántos meses da?. 

Si x es el número de meses, 300=12*x, x=300/12=25.

• Tenemos 300 euros y hay que pagar una mensualidad de 12 euros con una fianza de 70 euros, ¿para cuantos meses da?

Si x es el número de meses, 300=12*x+70, 300-70=12*x, 230=12*x, x=288/12=19'17, da para 19 meses.

• Tenemos 300 euros y todos los meses nos van a ingresar de un alquiler 20 euros, ¿cuántos meses tardaremos en juntar 5000 euros?

Si x es el número de meses, 5000=300+20*x, 4700=30*x, x=4700/20=235.

• Tenemos 300 euros y cada mes nos ingresan 30 euros de alquiler, pero por otro lado pagamos un alquiler de 40 euros, ¿cuántos meses se podrá mantener el sistema?

Si x es el número de meses, 300+30*x=40*x, 300=40*x-30*x, 300=10*x, x=300/10=30.

• Tenemos 300 euros, ingresamos un fijo mensual de 50 euros y tenemos un gasto mensual de 40 euros, además, tenemos que hacer un gasto fijo de 1000 euros, ¿en que mes se puede hacer ese gasto fijo?

Si x es el mes en que se puede hacer el gasto, 1000=(300+50*x)-40*x, 1000-300=50*x-40*x, 700=10*x, x=700/10=70.

Ecuaciones: El reino del pensamiento inverso

Si tenemos 100 euros y le añadimos 200 euros, entonces juntamos 100+200=300 euros. Pensemos al revés. Si tenemos 100 euros y queremos sumar una cantidad x para juntar 300 euros, ¿cuánto vale esa cantidad?. En notación algebraica, la ecuación es 10+x=300. La operación que hay que hacer es la inversa de la suma, la resta, x=300-100=200.
Si juntamos durante 5 meses 40 euros todos los meses, al final, tendremos 5·40=200 euros. Al revés, ¿cuantos meses hay que poner 40 euros mensualmente para tener 200 euros? La ecuación es 40x=200, la operación que hay que hacer para despejar x es la inversa de la multiplicación, x=200/40=5 meses.
Supongamos que tenemos 100 euros y durante 5 meses vamos acumulando 40 euros, al final habremos juntado 100+5·40=100+200=300. Si pensamos al revés, partimos de 100 euros y vamos acumulando durante varios meses 40 euros mensuales, ¿cuántos meses hay que acumular para tener al final 300 euros? En lenguaje algebraico, 100+40x=300. Como ya se parte de 100 euros, entonces hay que ahorrar 300-100=200 euros, es la operación inversa de la suma, y la ecuación simplificada es, 40x=200. ¿Qué cantidad hay que multiplicar por 40 para que de 200? Pues es la operación inversa de la multiplicación, x=200/40=5 meses.

Pensamiento matemático: El prime-time

Se lee en un blog: "El Prime-Time es el horario televisivo de máxima audiencia, que se ubica entre las 21:00 y las 00:00 horas, siendo España uno de los países de Europa y del mundo con el prime time más tardío".
No es difícil comprender que detrás de esta frase está un pensamiento matemático. Y no sólo en los números, si uno se fija en lo que significa el Prime-Time, el concepto que se transmite es el de la hora de máxima audiencia de TV.
Cualquier persona puede comprender este concepto sin mucho esfuerzo y es en sí un concepto matemático importante. La cuestión es, ¿hasta que punto se quiere ir en el intento de desentrañar este pensamiento matemático? Si una persona tuviera que explicar qué sentido matemático tiene tendría que hablar de las dos variables que se manejan en la frase: t=el tiempo y S=nº de televidentes. T corresponde al tiempo en que se emite la TV, se puede suponer 24 h. Se supone S>0. Se asume que hay una relación entre t y S, la S "crece" con el tiempo y después "decrece" , alternativamente a lo largo del tiempo de emisión, alcanzando un instante t en el que hay máximo valor de S, que está entre las 21:00 y las 00:00 horas. 
Si se consiguiese establecer una relación funcional entre S y t, S(t), en cada país, se podría intentar encontrar ese instante a partir las técnicas de derivación y comprobar que la afirmación es correcta. 
A las televisiones les interesa esta función porque con ella establecen la tarifación de publicidad.

Una aproximación funcional la da el siguiente problema:

Una cadena local de TV ha determinado, por medio de encuestas, que el porcentaje de ciudadanos que la ven entre las 6 de la tarde y las 12 de la noche viene dado por la función:
s(t) = 660 - 231t + 27t² - t³  
donde t indica las horas transcurridas desde las 12 en punto de la mañana. 
Calcular a qué hora tiene la televisión su máxima audiencia y cuándo tiene su mínima audiencia. 

s'(t)=-231+54t-3t² 
s'(t)=0, t=7, t=11
s''(t)=54-6t
s''(7)=12, mínimo
s''(11)=-12, máximo

¿Cómo se determina la función por medio de encuestas? Pués a través de la inferencia estadística, del estudio de la regresión. Se muestrean una serie de puntos, pares de valores (t, s(t)), obteniéndose así una nube de puntos y a partir de ahí se estudia el tipo de dependencia entre las dos variables y su grado, y la regresión a un modelo de curva, y se halla esa función.

Hexacopo

El fractal llamado hexacopo o curva de Koch o copo de nieve es un fractal que sirve como modelo para explicar las unidades didácticas de este blog. Es un mandala que representa los estilos del APC.

UNIDAD DIDÁCTICA: PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA

ORIENTACIÓN

En el tratamiento de imágenes es frecuente la necesidad de hacer un zoom de las mismas aumentando o disminuyendo su tamaño de manera que se mantenga la forma (por ejemplo las fotocopias ampliadas o reduccidas). La figura que se obtiene se dice que es semejante a la original.

Observa en la imagen las figuras semejantes obtenidas por ampliación o por reducción

EXPERIMENTACIÓN

Si tenemos una fotografía de forma rectangular, si un lado aumenta en una proporción el otro también debe de aumentar en la misma proporción, sino la figura resultante no mantiene la forma.

CONCEPTUALIZACIÓN

De forma más simple consideremos que las figuras son triángulos. Supongamos que dos triángulos son semejantes entonces los lados de uno se han transformado en los correspondientes homólogos del otro. Se tiene que cumplir que la razón de aumento o disminución de cada uno con su homólogo tiene que ser la misma (fig.1). Es decir, en los dos triángulos semejantes los tres lados son proporcionales.

Hay una propiedad geométrica que cumplen los triángulos semejantes: si se superponen los triángulos adquieren una configuración, denominada, de Thales, en la que dos lados están en linea y el tercero es paralelo (fig.2). Esto significa que dos triángulos semejantes tienen los tres ángulos iguales.

fig. 1

fig. 2

PROCESAMIENTO

Vamos a fijar estas ideas para lograr llegar a ver los triángulos semejantes en determinados casos. Haz un esfuerzo por visualizar la semejanza.

1) Indica, explicando el motivo, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. A)  El triángulo de lados 3, 5 y 7 cm es semejante a otro de lados 7,5; 12,5 y 16,8 cm.  B) Dos triángulos rectángulos son siempre semejantes. C) Dos triángulos rectángulos isósceles son siempre semejantes. D) En  dos  triángulos  semejantes,  la  razón  de  dos  alturas  correspondientes  es  igual  a  la  razón  de semejanza. E) Dos triángulos equiláteros son siempre semejantes.

MECANIZACIÓN

Entonces cuando tenemos triángulos semejantes la razón entre lados homólogos es la misma. Se puede comprobar también geométricamente si son semejantes viendo si los ángulos son iguales.

Con ayuda de la semejanza de triángulos se pueden hacer medidas de longitudes a las que no podemos acceder. Se trata de encontrar triángulos semejantes comprobando la igualdad de los ángulos y utilizar la igualdad de la razón de semejanza de los lados homólogos.

1) Entre  Sergio,  de  152  cm  de  altura,  y  un  árbol,  hay  un  pequeño  charco  en  el  que  se refleja su copa. Calcula la altura de dicho árbol sabiendo que las distancias que separan a Sergio del lugar de reflejo en el charco y del árbol son de 3,2 m y 10,7 m, respectivamente.

2) Una  torre  mide  100  m  de  altura.  En  un  determinado  momento  del  día,  una  vara vertical de 40 cm arroja una sombra de 60 cm. ¿Cuánto medirá la sombra proyectada en ese instante por la torre?

En la práctica la semejanza también se utiliza en las escalas de los mapas y planos. Un mapa es semejante a la realidad y la escala es la razón de semejanza. Si un mapa está en escala 1:1000 significa que una longitud L entre dos puntos representa en la realidad una longitud L’ , cumpliéndose que L/L’=1/1000, o sea, L’=1000·L

1) Lorena  presenta  este  plano  de  su  cocina  junto  con  el  tendedero  a  una  empresa  de reformas. ¿De qué superficie dispondrá si decide unir la cocina y el tendedero?

2) En un mapa, de escala 1:250 000, la distancia entre dos pueblos es de 1,3 cm. A)  ¿Cuál es la distancia real entre ambos pueblos? B)  ¿Cuál sería la distancia en ese mapa, entre otros dos pueblos que en la realidad distan 15 km?

CONSOLIDACIÓN
El nivel siguiente es la proporcionalidad entre áreas de figuras planas semejantes y volúmenes de figuras tridimensionales semejantes. Es fácil ver que cuando las figuras planas son semejantes la razón de proporcionalidad entre las áreas es el cuadrado de la razón de proporcionalidad entre longitudes. Si se trata de comparar volúmenes de figuras tridimensionales semejantes, la razón ahora es el cubo de la razón lineal.

1) Un arquitecto ha hecho una maqueta a escala 1:100 de un edificio destinado a oficinas, con forma de cubo cuya arista mide 70 m. Calcula la superficie de la planta y el volumen que el edificio tendrá en la maqueta.

2) Los lados de dos pentágonos regulares miden 7 cm y 5 cm, respectivamente. ¿Son semejantes? En caso afirmativo calcula la razón de semejanza entre sus áreas.

3) Un rectángulo tiene dimensiones 3 cm x 6 cm. Calcula el área y las dimensiones de otro rectángulo semejante a él, sabiendo que la razón entre sus áreas es de 9/4.

4) Una lata cilíndrica de fabada, que se anuncia para dos raciones, tiene un radio de 5 cm y una al tura de 15 cm. Otra lata de tamaño familiar, semejante a la anterior se anuncia para 6 personas. ¿Qué volumen y qué dimensiones deberá tener? ¿Qué relación existe entre las superficies de hojalata de una y otra lata?

5) En los muelles del Sena, en París, venden reproducciones de la Torre Eiffel que pesan 1,5 Kg y están elaboradas con el mismo material que la auténtica. Un folleto turístico indica que la Torre tiene 321 m de altura y pesa 7 millones de kilos. ¿Cuánto medirá la altura de la reproducción?

EVALUACIÓN

La clave está en utilizar dos figuras semejantes y establecer la proporción entre longitudes homólogas. Ahora con ayuda de los ejercicios anteriores ya te has formado un criterio de cómo abordar los siguientes problemas.

1) En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene Fernando en la realidad?

2) Marcos ha realizado este plano de su habitación a escala 1:50. Calcula el área de la habitación y las dimensiones de la cama.

3) En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 7,5 cm. ¿Cuál será la escala de ese mapa si la distancia real entre ambas poblaciones es de 153 km? En ese mismo mapa, ¿cuál sería la distancia real entre dos poblaciones que distan 12,25 cm?

4) Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene la piscina?

5) Calcula la altura de una casa sabiendo que en un determinado momento del día proyecta una sombra de 3,5 m y una persona que mide 1,87 m tiene, en ese mismo instante, una sombra de 85 cm.

6) En un triángulo rectángulo se inscribe un rectángulo cuya base es dos veces su altura. Los catetos del triángulo miden 5 cm y 7 cm, respectivamente. Calcula las dimensiones del rectángulo.

7) Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en el punto O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.

UNIDAD DIDÁCTICA: La distribución binomial

Orientación
Se va a empezar por el juego de los palitos.
El juego es para dos jugadores, cada uno con seis palitos decorados de forma similar a como se muestra en el gráfico:

Haz y envés

Por una cara están en blanco y por la otra decorados con motivos diversos y coloreados. También, deben de existir diez monedas o botones que forman la banca.
Los palitos se pueden construir con materiales de madera tipo soporte de helado o instrumento del médico para observar la garganta. Los pueden decorar los propios alumnos.
Cada jugador tira los seis palitos alternativamente.
Sólo hay tres jugadas ganadoras en cada tirada:
1) Salen todos los palitos con la cara decorada hacia arriba: gana tres monedas.
2) Todos salen con la cara sin decorar hacia arriba: gana dos monedas.
3) Tres salen con la cara decorada y tres sin ella: gana una moneda.
En cualquier otro caso no se gana nada.
Cuando se acaben las monedas de la banca se cobra del las monedas que tenga ganadas el contrario.
Gana el jugador que consiga las diez monedas.

Después de jugar varias partidas se pide a los alumnos que analicen el modelo matemático de probabilidades que subyace en el juego.

Experimentación
Se va a llamar X a la variable aleatoria discreta que cuenta el número de palitos que salen con la cara decorada hacia arriba. X puede tomar varios valores en cada lanzamiento: {0,1,2,3,4,5,6}

{X=2} representa el suceso que salieron 2 con la cara decorada hacia arriba y 4 con la cara sin decorar.
{X=0} representa el suceso que no salió ninguna con la cara decorada hacia arriba.

Los sucesos ganadores son:
{X=6} con 3 monedas
{X=0} con 2 monedas
{X=3} con una moneda

Sea p la probabilidad de que un palito salga con la cara decorada hacia arriba y q hacia abajo (p+q=1). En principio se puede suponer a priori que p=50%=0'5 y q=50%=0'5. Siempre se puede hacer un estudio de frecuencias relativas para cada palito y ver la tendencia para usar una probabilidad a posteriori.
También podemos suponer que cada palito sale con una u otra cara independientemente de cómo salgan los otros palitos.

Supongamos que tenemos numerados los palitos del 1 al 6 por necesidad de notación. Si el 4 sale decorado escribiremos d4, y sino, nd4. Así un lanzamiento de los 6 puede salir: d1-nd2-d3-d4-nd5-nd6
El suceso {X=6} es igual a d1-d2-d3-d4-d5-d6
El suceso {X=0} es igual a nd1-nd2-nd3-nd4-nd5-nd6
Y el suceso {X=3} tiene varias opciones, todas aquellas en las que salgan 3 decorados, como por ejemplo: d1-d2-d3-nd4-nd5-nd6

La probabilidad del suceso es igual al producto de probabilidades de los sucesos elementales cuando estos son independientes (teoremas de probabilidades compuestas), por ejemplo para  d1-d2-nd3-d4-nd5-nd6 será p(d1)·p(d2)·p(nd3)·p(d4)·p(nd5)·p(nd6).
Por lo tanto, se tiene como probabilidad para los dos primeros sucesos ganadores:
p{X=6}=p(d1)·p(d2)·p(d3)·p(d4)·p(d5)·p(d6)=p·p·p·p·p·p=p⁶ (0'5⁶=0'015625=1/64)
p{X=0}=p(nd1)·p(nd2)·p(nd3)·p(nd4)·p(nd5)·p(nd6)=q·q·q·q·q·q=q⁶ (0'5⁶=0'015625=1/64)

Falta ver los casos que entran en el suceso {X=3}

Conceptualización 
Todos los sucesos elementales que pueden ocurrir se pueden contabilizar con ayuda de un árbol binario, donde la primera opción es lo que puede ocurrir con el primer palito, salir d1 o nd1. A continuación, para cada una de las dos opciones, se pone lo que ocurre con el segundo palito, salir d2 o nd2, Desde estas cuatro opciones se ponen las dos opciones del tercer palito, d3 o nd3, y así sucesivamente hasta los seis palitos. Sale un árbol de 6 niveles con 64 nodos hoja. En el siguiente gráfico se muestra el árbol hasta el nivel 4:

El suceso {X=6} corresponde al caso de seguir siempre hacia arriba (el borde superior), y el suceso {X=0} al caso de seguir siempre hacia abajo (el borde inferior). El suceso {X=3} corresponde a varios itinerarios intermedios, todos aquellos que tengan 3 decorados con 3 no decorados. Por lo tanto cada camino se encuentra eligiendo tres posiciones de las seis para poner los decorados, el resto serán no decorados. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 3 lugares en un conjunto de 6 posibles? Son tantas como combinaciones de 6 elementos tomadas de 3 en 3: C_6,3=20. La probabilidad de cada camino es un producto de tres probabilidades para los decorados por tres probabilidades para los no decorados, p³q³ (0'5³·0'5³=0'15625=1/64. Los distintos caminos son sucesos incompatibles, por lo que, en conjunto se suman para obtener la probabilidad conjunta.

Para el suceso {X=3}, p{X=3}=20·p³q³  (20·0'5³·0'5³=20·0'15625=0'3125=5/16=20/64)

Es decir, suponiendo la probabilidad 0'5, sacar tres monedas ocurre 1 vez de cada 64 lanzamientos. Sacar dos monedas, también. Y sacar una moneda ocurre 20 de cada 64 lanzamientos.

Procesamiento
Para averiguar todas las combinaciones de 6 tomados de 3 en 3 siguiendo el árbol se empieza por la parte superior y se van descendiendo por los ramales:
d1-d2-d3-nd4-nd5-nd6
d1-d2-nd3-d4-nd5-nd6
d1-d2-nd3-nd4-d5-nd6
d1-d2-nd3-nd4-nd5-d6
d1-nd2-d3-d4-nd5-nd6
d1-nd2-d3-nd4-d5-dn6
d1-nd2-d3-nd4-nd5-d6
d1-nd2-nd3-d4-d5-nd6
d1-nd2-nd3-d4-nd5-d6
d1-nd2-nd3-nd4-d5-d6
nd1-d2-d3-d4-nd5-nd6
nd1-d2-d3-nd4-d5-nd6
nd1-d2-d3-nd4-nd5-d6
nd1-d2-nd3-d4-d5-nd6
nd1-d2-nd3-d4-nd5-d6
nd1-d2-nd3.nd4-d5-d6
nd1-nd2-d3-d4-d5-nd6
nd1-nd2-d3-d4-nd5-d6
nd1-nd2-d3-nd4-d5-d6
nd1-nd2-nd3-d4-d5-d6

La cantidad de C_6,3=20. Cada unos de estos sucesos elementales tiene la misma probabilidad de suceder p³q³ porque en todos aparecen 3 decorados y 3 no decorados. Por lo tanto:
P{X=3}=C_6,3p³q³
y para los otros dos casos:
P{X=6}=C_6,6p⁶q⁰
P{X=0}=C_6,0p⁰q⁶

Mecanización
¿Cómo calcular cualquier la probabilidad  de otro suceso? Por ejemplo {X=2}. Los sucesos elementales que conforman este suceso sólo tienen 2 palitos decorados y 4 no decorados. El número de sucesos elementales es  C_6,2 y cada uno de ellos tiene de probabilidad p²q⁴, por lo tanto:
P{X=2}=C_6,2 p²q⁴
En general si hay r palitos decorados:
P{X=r}=C_6,r p^rq^n-r
Que es la fórmula general para calcular la probabilidad de casa suceso, siendo r={0,1,2,3,4,5,6}
Para el caso en que el número de palitos sea n
P{X=r}=C_n,r p^rq^n-r
Los resultados están ya calculados para distintos valores de n, r, p y q en las tablas de distribuciones binomiales.

Consolidación
Un experimento aleatorio cuyos sucesos elementales están constituidos por n sucesos individuales , como puede ser lanzar los seis palitos, es un experimento Binomial si:
1) Los sucesos individuales son del tipo éxito (salir decorado) o fracaso (no salir decorado)
2) Las probabilidades de éxito y fracaso se mantienen constantes para todos
P(éxito)=p, P(fracaso)=q, p+q=1
3) Los sucesos individuales son independientes, es decir lo que ocurre en un suceso individual no influye en los otros.

La variable aleatoria que cuenta el número de éxitos, X, se dice que es una variable aleatoria binomial y esto se expresa diciendo que X es B(n,p). En el juego de los palitos X es B(6,0'5). La función de probabilidad es  P{X=r}=C_n,r p^rq^n-r  , y se puede demostrar que la media=n·p y la varianza=n·p·q. Cualquier suceso que defina en la distribución binomial se puede estudiar su probabilidad a través de la función de probabilidad.

Evaluación
Para que un problema aleatorio sea del tipo binomial debemos de comprobar que es un experimento compuesto donde los n sucesos individuales, ocurre A (éxito), son independientes con la misma probabilidad de ocurrir, p, o no, q. La variable asociada X es la que cuenta el número de veces que ocurre A. Se tiene la función de probabilidad con la fórmula anterior. Ahora, todo esto, se puede aplicar para resolver los siguientes problemas:

1)      Los resultados de una encuesta sobre el nivel de aceptación de un determinado partido político han revelado que el 30% de la población es favorable a dicho partido, siendo desfavorable el resto.

En una encuesta realizada telefónicamente sobre 8 personas elegidas al azar, se desea saber la probabilidad de que:

a)      Únicamente tres sean favorables al partido.

b)      Al menos una persona sea favorable.

c)      A lo sumo dos sean desfavorables.

2)      Cierto medicamento contra una enfermedad provoca mejoría en el 60% de los casos. Si se receta a un grupo de 5 pacientes, cuál es la probabilidad de que:

a)      Los 5 pacientes mejoren.

b)      Al menos 4 mejoren.

c)      A lo sumo 2 no experimenten mejoría.

3)      Se analizan 10 empresas para decidir cuántas están en quiebra. La probabilidad de que una empresa esté en quiebra es 0’12.

a)      Calcula la probabilidad de que exactamente 2 de ellas estén en quiebra.

b)      ¿Cuál es el número esperado de empresas en quiebra?

c)      Halla la media y la desviación típica de la variable utilizada.

Infinito versus cero

Supongamos que tenemos 1Kg de azucar y lo vamos a repartir entre 2 personas, ¿cuánto le toca a cada una? Pues la operación es fácil, 1Kg/2p=0.5Kg/1p. Si el reparto fuera entre 4 personas la solución sería, 1Kg/4p=0.25Kg/1p. Si continuamos haciendo divisiones del kilo entre más personas, cada vez la cantidad por persona se hace más pequeña, acercándose cada vez más a cero.

1/2=0.5, 1/4=0.25, 1/8=0.125,....,1/100=0.01,......, 1/1000=0.001,.....

La sucesión numérica converge hacia cero.

Se dice que 1/n tiende a 0 cuando n tiende a infinito

Vamos a plantear la división al revés. Si tenemos 1Kg de azucar y queremos repartir entre varias personas  a razón de 0.5Kg de azucar, para cada una, ¿a cuántas personas se lo puedo dar? Pues la solución es, 1Kg/0.5Kg/1p=2p. Si lo que reparto es 0.25Kg por persona, lo puedo repartir entre 1Kg/0.25Kg/1p=4p. Si continuamos bajando la cantidad de azucar a repartir por persona se puede repartir entre más personas, haciéndose el número de estas tan alto como queramos.

1/0.5=2, 1/0.25=4, 1/0.125=8,....,1/0.01=100,.....,1/0.001=1000,.......

En este caso vemos que la sucesión numérica se va hacia infinito.

Se dice que 1/n tiende a infinito cuando n tiende a 0

Tres relojes de arena acoplados

En cualquier tienda de té venden unos relojes de arena para tener el saquito con las hojas en la infusión el tiempo preciso antes de retirarlo. Suelen ser tres relojes de arena acoplados en una estructura que funcionan en conjunto: uno de 3 min, otro de 4 min y el último de 5 min.
La primera cuestión que surge es si con esos tres relojes se puede medir cualquier tiempo, al menos de 1 a 10 min. La respuesta es claramente que sí se puede:

• 1 min: Poner el de 3 min y cuando se acabe empieza a contar el minuto hasta que acabe el de 4 min
• 2 min: Poner el de 3 min y cuando acabe empiezan los 2 min que acaban cuando acaba el de 5 min
• 3 min: Poner el de 3 min.
• 4 min: Poner el de 4 min.
• 5 min: Poner el de 5 min.
• 6 min: Poner el de 3 min y cuando acabe dar la vuelta y volver a ponerlo
• 7 min: Poner el de 4 min y cuando acabe dar la vuelta y contar el tiempo con el de 3 min
• 8 min: Poner el de 4 min y cuando acabe dar la vuelta y poner otra vez el de 4 min.
• 9 min: Poner el de 5 min y cuando acabe dar la vuelta y contar con el de 4 min
• 10 min: Poner el de 5 min y cuando acabe dar la vuelta y poner otra vez el de 5 min

Las operaciones que se hacen en cada caso son:

• 1=-3+4
• 2=-3+5
• 3=3
• 4=4
• 5=5
• 6=3+3
• 7=4+3 (no es conmutativo)
• 8=4+4
• 9=5+4 (no es conmutativo)
• 10=5+5

También se podían contar los primeros 10 min con un reloj de 2 min y otro de 3 min, el coste estaría en que habría que dar más de dos vueltas al reloj acoplado en algunos casos.