El fractal llamado hexacopo o curva de Koch o copo de nieve es un fractal que sirve como modelo para explicar las unidades didácticas de este blog. Es un mandala que representa los estilos del APC.
lunes, 13 de julio de 2015
miércoles, 15 de abril de 2015
UNIDAD DIDÁCTICA: PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA
ORIENTACIÓN
En el tratamiento de imágenes es frecuente la necesidad de hacer un zoom de las mismas aumentando o disminuyendo su tamaño de manera que se mantenga la forma (por ejemplo las fotocopias ampliadas o reduccidas). La figura que se obtiene se dice que es semejante a la original.
Observa en la imagen las figuras semejantes obtenidas por ampliación o por reducción
Si tenemos una fotografía de forma rectangular, si un lado aumenta en una proporción el otro también debe de aumentar en la misma proporción, sino la figura resultante no mantiene la forma.
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CONCEPTUALIZACIÓN
De forma más simple consideremos que las figuras son triángulos. Supongamos que dos triángulos son semejantes entonces los lados de uno se han transformado en los correspondientes homólogos del otro. Se tiene que cumplir que la razón de aumento o disminución de cada uno con su homólogo tiene que ser la misma (fig.1). Es decir, en los dos triángulos semejantes los tres lados son proporcionales.
Hay una propiedad geométrica que cumplen los triángulos semejantes: si se superponen los triángulos adquieren una configuración, denominada, de Thales, en la que dos lados están en linea y el tercero es paralelo (fig.2). Esto significa que dos triángulos semejantes tienen los tres ángulos iguales.
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| fig. 1 |
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| fig. 2 |
PROCESAMIENTO
Vamos a fijar estas ideas para lograr llegar a ver los triángulos semejantes en determinados casos. Haz un esfuerzo por visualizar la semejanza.
1) Indica, explicando el motivo,
si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. A) El triángulo de lados 3, 5 y 7 cm es
semejante a otro de lados 7,5; 12,5 y 16,8 cm.
B) Dos triángulos rectángulos son siempre semejantes. C) Dos triángulos
rectángulos isósceles son siempre semejantes. D) En dos
triángulos semejantes, la
razón de dos
alturas correspondientes es
igual a la
razón de semejanza. E) Dos triángulos
equiláteros son siempre semejantes.
MECANIZACIÓN
Entonces
cuando tenemos triángulos semejantes la razón entre lados homólogos es la misma. Se puede comprobar también geométricamente si son semejantes viendo si los ángulos son iguales.
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En la práctica la semejanza también se utiliza en
las escalas de los mapas y planos. Un mapa es semejante a la realidad y la
escala es la razón de semejanza. Si
un mapa está en escala 1:1000 significa que una longitud L entre dos puntos
representa en la realidad una longitud L’ , cumpliéndose que L/L’=1/1000, o
sea, L’=1000·L
Con ayuda de la semejanza de triángulos se pueden hacer medidas de longitudes a las que no podemos acceder. Se trata de encontrar triángulos semejantes comprobando la igualdad de los ángulos y utilizar la igualdad de la razón de semejanza de los lados homólogos.
1) Entre Sergio, de 152 cm de altura, y un árbol, hay un pequeño charco en el que se refleja su copa. Calcula la altura de dicho árbol sabiendo que las distancias que separan a Sergio del lugar de reflejo en el charco y del árbol son de 3,2 m y 10,7 m, respectivamente.
2) Una torre mide 100 m de altura. En un determinado momento del día, una vara vertical de 40 cm arroja una sombra de 60 cm. ¿Cuánto medirá la sombra proyectada en ese instante por la torre?
1)
Lorena presenta este
plano de su
cocina junto con
el tendedero a
una empresa de reformas. ¿De qué superficie dispondrá si
decide unir la cocina y el tendedero?
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2) En un mapa, de escala 1:250
000, la distancia entre dos pueblos es de 1,3 cm. A) ¿Cuál es la distancia real entre ambos
pueblos? B) ¿Cuál sería la distancia en
ese mapa, entre otros dos pueblos que en la realidad distan 15 km?
CONSOLIDACIÓN
El nivel siguiente es la proporcionalidad entre áreas de figuras planas semejantes y volúmenes de figuras tridimensionales semejantes. Es fácil ver que cuando las figuras planas son semejantes la razón de proporcionalidad entre las áreas es el cuadrado de la razón de proporcionalidad entre longitudes. Si se trata de comparar volúmenes de figuras tridimensionales semejantes, la razón ahora es el cubo de la razón lineal.
El nivel siguiente es la proporcionalidad entre áreas de figuras planas semejantes y volúmenes de figuras tridimensionales semejantes. Es fácil ver que cuando las figuras planas son semejantes la razón de proporcionalidad entre las áreas es el cuadrado de la razón de proporcionalidad entre longitudes. Si se trata de comparar volúmenes de figuras tridimensionales semejantes, la razón ahora es el cubo de la razón lineal.
1) Un arquitecto ha hecho una maqueta a escala 1:100 de un edificio destinado a oficinas, con forma de cubo cuya arista mide 70 m. Calcula la superficie de la planta y el volumen que el edificio tendrá en la maqueta.
2) Los lados de dos pentágonos regulares miden 7 cm y 5 cm, respectivamente. ¿Son semejantes? En caso afirmativo calcula la razón de semejanza entre sus áreas.
3) Un rectángulo tiene dimensiones 3 cm x 6 cm. Calcula el área y las dimensiones de otro rectángulo semejante a él, sabiendo que la razón entre sus áreas es de 9/4.
4) Una lata cilíndrica de fabada, que se anuncia para dos raciones, tiene un radio de 5 cm y una al tura de 15 cm. Otra lata de tamaño familiar, semejante a la anterior se anuncia para 6 personas. ¿Qué volumen y qué dimensiones deberá tener? ¿Qué relación existe entre las superficies de hojalata de una y otra lata?
5) En los muelles del Sena, en París, venden reproducciones de la Torre Eiffel que pesan 1,5 Kg y están elaboradas con el mismo material que la auténtica. Un folleto turístico indica que la Torre tiene 321 m de altura y pesa 7 millones de kilos. ¿Cuánto medirá la altura de la reproducción?
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1) En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene Fernando en la realidad?
2) Marcos ha realizado este plano de su habitación a escala 1:50. Calcula el área de la habitación y las dimensiones de la cama.
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3) En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 7,5 cm. ¿Cuál será la escala de ese mapa si la distancia real entre ambas poblaciones es de 153 km? En ese mismo mapa, ¿cuál sería la distancia real entre dos poblaciones que distan 12,25 cm?
4) Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene la piscina?
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5) Calcula la altura de una casa sabiendo que en un determinado momento del día proyecta una sombra de 3,5 m y una persona que mide 1,87 m tiene, en ese mismo instante, una sombra de 85 cm.
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6) En un triángulo rectángulo se inscribe un rectángulo cuya base es dos veces su altura. Los catetos del triángulo miden 5 cm y 7 cm, respectivamente. Calcula las dimensiones del rectángulo.
7) Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en el punto O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.
2) Los lados de dos pentágonos regulares miden 7 cm y 5 cm, respectivamente. ¿Son semejantes? En caso afirmativo calcula la razón de semejanza entre sus áreas.
3) Un rectángulo tiene dimensiones 3 cm x 6 cm. Calcula el área y las dimensiones de otro rectángulo semejante a él, sabiendo que la razón entre sus áreas es de 9/4.
4) Una lata cilíndrica de fabada, que se anuncia para dos raciones, tiene un radio de 5 cm y una al tura de 15 cm. Otra lata de tamaño familiar, semejante a la anterior se anuncia para 6 personas. ¿Qué volumen y qué dimensiones deberá tener? ¿Qué relación existe entre las superficies de hojalata de una y otra lata?
5) En los muelles del Sena, en París, venden reproducciones de la Torre Eiffel que pesan 1,5 Kg y están elaboradas con el mismo material que la auténtica. Un folleto turístico indica que la Torre tiene 321 m de altura y pesa 7 millones de kilos. ¿Cuánto medirá la altura de la reproducción?
EVALUACIÓN
La clave está en utilizar dos figuras semejantes y establecer la proporción entre longitudes homólogas. Ahora con ayuda de los
ejercicios anteriores ya te has formado un criterio de cómo abordar los
siguientes problemas.
1) En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene Fernando en la realidad?2) Marcos ha realizado este plano de su habitación a escala 1:50. Calcula el área de la habitación y las dimensiones de la cama.
3) En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 7,5 cm. ¿Cuál será la escala de ese mapa si la distancia real entre ambas poblaciones es de 153 km? En ese mismo mapa, ¿cuál sería la distancia real entre dos poblaciones que distan 12,25 cm?4) Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene la piscina?
5) Calcula la altura de una casa sabiendo que en un determinado momento del día proyecta una sombra de 3,5 m y una persona que mide 1,87 m tiene, en ese mismo instante, una sombra de 85 cm.6) En un triángulo rectángulo se inscribe un rectángulo cuya base es dos veces su altura. Los catetos del triángulo miden 5 cm y 7 cm, respectivamente. Calcula las dimensiones del rectángulo.viernes, 27 de marzo de 2015
UNIDAD DIDÁCTICA: La distribución binomial
Orientación
Se va a empezar por el juego de los palitos.
El juego es para dos jugadores, cada uno con seis palitos decorados de forma similar a como se muestra en el gráfico:
Por una cara están en blanco y por la otra decorados con motivos diversos y coloreados. También, deben de existir diez monedas o botones que forman la banca.
Los palitos se pueden construir con materiales de madera tipo soporte de helado o instrumento del médico para observar la garganta. Los pueden decorar los propios alumnos.
Cada jugador tira los seis palitos alternativamente.
Sólo hay tres jugadas ganadoras en cada tirada:
1) Salen todos los palitos con la cara decorada hacia arriba: gana tres monedas.
2) Todos salen con la cara sin decorar hacia arriba: gana dos monedas.
3) Tres salen con la cara decorada y tres sin ella: gana una moneda.
En cualquier otro caso no se gana nada.
Cuando se acaben las monedas de la banca se cobra del las monedas que tenga ganadas el contrario.
Gana el jugador que consiga las diez monedas.
Después de jugar varias partidas se pide a los alumnos que analicen el modelo matemático de probabilidades que subyace en el juego.
Experimentación
Se va a llamar X a la variable aleatoria discreta que cuenta el número de palitos que salen con la cara decorada hacia arriba. X puede tomar varios valores en cada lanzamiento: {0,1,2,3,4,5,6}
{X=2} representa el suceso que salieron 2 con la cara decorada hacia arriba y 4 con la cara sin decorar.
{X=0} representa el suceso que no salió ninguna con la cara decorada hacia arriba.
Los sucesos ganadores son:
{X=6} con 3 monedas
{X=0} con 2 monedas
{X=3} con una moneda
Sea p la probabilidad de que un palito salga con la cara decorada hacia arriba y q hacia abajo (p+q=1). En principio se puede suponer a priori que p=50%=0'5 y q=50%=0'5. Siempre se puede hacer un estudio de frecuencias relativas para cada palito y ver la tendencia para usar una probabilidad a posteriori.
También podemos suponer que cada palito sale con una u otra cara independientemente de cómo salgan los otros palitos.
Supongamos que tenemos numerados los palitos del 1 al 6 por necesidad de notación. Si el 4 sale decorado escribiremos d4, y sino, nd4. Así un lanzamiento de los 6 puede salir: d1-nd2-d3-d4-nd5-nd6
El suceso {X=6} es igual a d1-d2-d3-d4-d5-d6
El suceso {X=0} es igual a nd1-nd2-nd3-nd4-nd5-nd6
Y el suceso {X=3} tiene varias opciones, todas aquellas en las que salgan 3 decorados, como por ejemplo: d1-d2-d3-nd4-nd5-nd6
La probabilidad del suceso es igual al producto de probabilidades de los sucesos elementales cuando estos son independientes (teoremas de probabilidades compuestas), por ejemplo para d1-d2-nd3-d4-nd5-nd6 será p(d1)·p(d2)·p(nd3)·p(d4)·p(nd5)·p(nd6).
Por lo tanto, se tiene como probabilidad para los dos primeros sucesos ganadores:
p{X=6}=p(d1)·p(d2)·p(d3)·p(d4)·p(d5)·p(d6)=p·p·p·p·p·p=p6 (0'56=0'015625=1/64)
p{X=0}=p(nd1)·p(nd2)·p(nd3)·p(nd4)·p(nd5)·p(nd6)=q·q·q·q·q·q=q6 (0'56=0'015625=1/64)
Falta ver los casos que entran en el suceso {X=3}
Conceptualización
Todos los sucesos elementales que pueden ocurrir se pueden contabilizar con ayuda de un árbol binario, donde la primera opción es lo que puede ocurrir con el primer palito, salir d1 o nd1. A continuación, para cada una de las dos opciones, se pone lo que ocurre con el segundo palito, salir d2 o nd2, Desde estas cuatro opciones se ponen las dos opciones del tercer palito, d3 o nd3, y así sucesivamente hasta los seis palitos. Sale un árbol de 6 niveles con 64 nodos hoja. En el siguiente gráfico se muestra el árbol hasta el nivel 4:
El suceso {X=6} corresponde al caso de seguir siempre hacia arriba (el borde superior), y el suceso {X=0} al caso de seguir siempre hacia abajo (el borde inferior). El suceso {X=3} corresponde a varios itinerarios intermedios, todos aquellos que tengan 3 decorados con 3 no decorados. Por lo tanto cada camino se encuentra eligiendo tres posiciones de las seis para poner los decorados, el resto serán no decorados. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 3 lugares en un conjunto de 6 posibles? Son tantas como combinaciones de 6 elementos tomadas de 3 en 3: C6,3=20. La probabilidad de cada camino es un producto de tres probabilidades para los decorados por tres probabilidades para los no decorados, p3q3 (0'53·0'53=0'15625=1/64. Los distintos caminos son sucesos incompatibles, por lo que, en conjunto se suman para obtener la probabilidad conjunta.
Para el suceso {X=3}, p{X=3}=20·p3q3 (20·0'53·0'53=20·0'15625=0'3125=5/16=20/64)
Es decir, suponiendo la probabilidad 0'5, sacar tres monedas ocurre 1 vez de cada 64 lanzamientos. Sacar dos monedas, también. Y sacar una moneda ocurre 20 de cada 64 lanzamientos.
Procesamiento
Para averiguar todas las combinaciones de 6 tomados de 3 en 3 siguiendo el árbol se empieza por la parte superior y se van descendiendo por los ramales:
d1-d2-d3-nd4-nd5-nd6
d1-d2-nd3-d4-nd5-nd6
d1-d2-nd3-nd4-d5-nd6
d1-d2-nd3-nd4-nd5-d6
d1-nd2-d3-d4-nd5-nd6
d1-nd2-d3-nd4-d5-dn6
d1-nd2-d3-nd4-nd5-d6
d1-nd2-nd3-d4-d5-nd6
d1-nd2-nd3-d4-nd5-d6
d1-nd2-nd3-nd4-d5-d6
nd1-d2-d3-d4-nd5-nd6
nd1-d2-d3-nd4-d5-nd6
nd1-d2-d3-nd4-nd5-d6
nd1-d2-nd3-d4-d5-nd6
nd1-d2-nd3-d4-nd5-d6
nd1-d2-nd3.nd4-d5-d6
nd1-nd2-d3-d4-d5-nd6
nd1-nd2-d3-d4-nd5-d6
nd1-nd2-d3-nd4-d5-d6
nd1-nd2-nd3-d4-d5-d6
La cantidad de C6,3=20. Cada unos de estos sucesos elementales tiene la misma probabilidad de suceder p3q3 porque en todos aparecen 3 decorados y 3 no decorados. Por lo tanto:
P{X=3}=C6,3p3q3
y para los otros dos casos:
P{X=6}=C6,6p6q0
P{X=0}=C6,0p0q6
Mecanización
¿Cómo calcular cualquier la probabilidad de otro suceso? Por ejemplo {X=2}. Los sucesos elementales que conforman este suceso sólo tienen 2 palitos decorados y 4 no decorados. El número de sucesos elementales es C6,2 y cada uno de ellos tiene de probabilidad p2q4, por lo tanto:
P{X=2}=C6,2 p2q4
En general si hay r palitos decorados:
P{X=r}=C6,r prqn-r
Que es la fórmula general para calcular la probabilidad de casa suceso, siendo r={0,1,2,3,4,5,6}
Para el caso en que el número de palitos sea n
P{X=r}=Cn,r prqn-r
Los resultados están ya calculados para distintos valores de n, r, p y q en las tablas de distribuciones binomiales.
Consolidación
Un experimento aleatorio cuyos sucesos elementales están constituidos por n sucesos individuales , como puede ser lanzar los seis palitos, es un experimento Binomial si:
1) Los sucesos individuales son del tipo éxito (salir decorado) o fracaso (no salir decorado)
2) Las probabilidades de éxito y fracaso se mantienen constantes para todos
P(éxito)=p, P(fracaso)=q, p+q=1
3) Los sucesos individuales son independientes, es decir lo que ocurre en un suceso individual no influye en los otros.
La variable aleatoria que cuenta el número de éxitos, X, se dice que es una variable aleatoria binomial y esto se expresa diciendo que X es B(n,p). En el juego de los palitos X es B(6,0'5). La función de probabilidad es P{X=r}=Cn,r prqn-r , y se puede demostrar que la media=n·p y la varianza=n·p·q. Cualquier suceso que defina en la distribución binomial se puede estudiar su probabilidad a través de la función de probabilidad.
Evaluación
Para que un problema aleatorio sea del tipo binomial debemos de comprobar que es un experimento compuesto donde los n sucesos individuales, ocurre A (éxito), son independientes con la misma probabilidad de ocurrir, p, o no, q. La variable asociada X es la que cuenta el número de veces que ocurre A. Se tiene la función de probabilidad con la fórmula anterior. Ahora, todo esto, se puede aplicar para resolver los siguientes problemas:
Se va a empezar por el juego de los palitos.
El juego es para dos jugadores, cada uno con seis palitos decorados de forma similar a como se muestra en el gráfico:
 |
| Haz y envés |
Los palitos se pueden construir con materiales de madera tipo soporte de helado o instrumento del médico para observar la garganta. Los pueden decorar los propios alumnos.
Cada jugador tira los seis palitos alternativamente.
Sólo hay tres jugadas ganadoras en cada tirada:
1) Salen todos los palitos con la cara decorada hacia arriba: gana tres monedas.
2) Todos salen con la cara sin decorar hacia arriba: gana dos monedas.
3) Tres salen con la cara decorada y tres sin ella: gana una moneda.
En cualquier otro caso no se gana nada.
Cuando se acaben las monedas de la banca se cobra del las monedas que tenga ganadas el contrario.
Gana el jugador que consiga las diez monedas.
Después de jugar varias partidas se pide a los alumnos que analicen el modelo matemático de probabilidades que subyace en el juego.
Experimentación
Se va a llamar X a la variable aleatoria discreta que cuenta el número de palitos que salen con la cara decorada hacia arriba. X puede tomar varios valores en cada lanzamiento: {0,1,2,3,4,5,6}
{X=2} representa el suceso que salieron 2 con la cara decorada hacia arriba y 4 con la cara sin decorar.
{X=0} representa el suceso que no salió ninguna con la cara decorada hacia arriba.
Los sucesos ganadores son:
{X=6} con 3 monedas
{X=0} con 2 monedas
{X=3} con una moneda
Sea p la probabilidad de que un palito salga con la cara decorada hacia arriba y q hacia abajo (p+q=1). En principio se puede suponer a priori que p=50%=0'5 y q=50%=0'5. Siempre se puede hacer un estudio de frecuencias relativas para cada palito y ver la tendencia para usar una probabilidad a posteriori.
También podemos suponer que cada palito sale con una u otra cara independientemente de cómo salgan los otros palitos.
Supongamos que tenemos numerados los palitos del 1 al 6 por necesidad de notación. Si el 4 sale decorado escribiremos d4, y sino, nd4. Así un lanzamiento de los 6 puede salir: d1-nd2-d3-d4-nd5-nd6
El suceso {X=6} es igual a d1-d2-d3-d4-d5-d6
El suceso {X=0} es igual a nd1-nd2-nd3-nd4-nd5-nd6
Y el suceso {X=3} tiene varias opciones, todas aquellas en las que salgan 3 decorados, como por ejemplo: d1-d2-d3-nd4-nd5-nd6
La probabilidad del suceso es igual al producto de probabilidades de los sucesos elementales cuando estos son independientes (teoremas de probabilidades compuestas), por ejemplo para d1-d2-nd3-d4-nd5-nd6 será p(d1)·p(d2)·p(nd3)·p(d4)·p(nd5)·p(nd6).
Por lo tanto, se tiene como probabilidad para los dos primeros sucesos ganadores:
p{X=6}=p(d1)·p(d2)·p(d3)·p(d4)·p(d5)·p(d6)=p·p·p·p·p·p=p6 (0'56=0'015625=1/64)
p{X=0}=p(nd1)·p(nd2)·p(nd3)·p(nd4)·p(nd5)·p(nd6)=q·q·q·q·q·q=q6 (0'56=0'015625=1/64)
Falta ver los casos que entran en el suceso {X=3}
Conceptualización
Todos los sucesos elementales que pueden ocurrir se pueden contabilizar con ayuda de un árbol binario, donde la primera opción es lo que puede ocurrir con el primer palito, salir d1 o nd1. A continuación, para cada una de las dos opciones, se pone lo que ocurre con el segundo palito, salir d2 o nd2, Desde estas cuatro opciones se ponen las dos opciones del tercer palito, d3 o nd3, y así sucesivamente hasta los seis palitos. Sale un árbol de 6 niveles con 64 nodos hoja. En el siguiente gráfico se muestra el árbol hasta el nivel 4:
El suceso {X=6} corresponde al caso de seguir siempre hacia arriba (el borde superior), y el suceso {X=0} al caso de seguir siempre hacia abajo (el borde inferior). El suceso {X=3} corresponde a varios itinerarios intermedios, todos aquellos que tengan 3 decorados con 3 no decorados. Por lo tanto cada camino se encuentra eligiendo tres posiciones de las seis para poner los decorados, el resto serán no decorados. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 3 lugares en un conjunto de 6 posibles? Son tantas como combinaciones de 6 elementos tomadas de 3 en 3: C6,3=20. La probabilidad de cada camino es un producto de tres probabilidades para los decorados por tres probabilidades para los no decorados, p3q3 (0'53·0'53=0'15625=1/64. Los distintos caminos son sucesos incompatibles, por lo que, en conjunto se suman para obtener la probabilidad conjunta.
Para el suceso {X=3}, p{X=3}=20·p3q3 (20·0'53·0'53=20·0'15625=0'3125=5/16=20/64)
Es decir, suponiendo la probabilidad 0'5, sacar tres monedas ocurre 1 vez de cada 64 lanzamientos. Sacar dos monedas, también. Y sacar una moneda ocurre 20 de cada 64 lanzamientos.
Procesamiento
Para averiguar todas las combinaciones de 6 tomados de 3 en 3 siguiendo el árbol se empieza por la parte superior y se van descendiendo por los ramales:
d1-d2-d3-nd4-nd5-nd6
d1-d2-nd3-d4-nd5-nd6
d1-d2-nd3-nd4-d5-nd6
d1-d2-nd3-nd4-nd5-d6
d1-nd2-d3-d4-nd5-nd6
d1-nd2-d3-nd4-d5-dn6
d1-nd2-d3-nd4-nd5-d6
d1-nd2-nd3-d4-d5-nd6
d1-nd2-nd3-d4-nd5-d6
d1-nd2-nd3-nd4-d5-d6
nd1-d2-d3-d4-nd5-nd6
nd1-d2-d3-nd4-d5-nd6
nd1-d2-d3-nd4-nd5-d6
nd1-d2-nd3-d4-d5-nd6
nd1-d2-nd3-d4-nd5-d6
nd1-d2-nd3.nd4-d5-d6
nd1-nd2-d3-d4-d5-nd6
nd1-nd2-d3-d4-nd5-d6
nd1-nd2-d3-nd4-d5-d6
nd1-nd2-nd3-d4-d5-d6
La cantidad de C6,3=20. Cada unos de estos sucesos elementales tiene la misma probabilidad de suceder p3q3 porque en todos aparecen 3 decorados y 3 no decorados. Por lo tanto:
P{X=3}=C6,3p3q3
y para los otros dos casos:
P{X=6}=C6,6p6q0
P{X=0}=C6,0p0q6
Mecanización
¿Cómo calcular cualquier la probabilidad de otro suceso? Por ejemplo {X=2}. Los sucesos elementales que conforman este suceso sólo tienen 2 palitos decorados y 4 no decorados. El número de sucesos elementales es C6,2 y cada uno de ellos tiene de probabilidad p2q4, por lo tanto:
P{X=2}=C6,2 p2q4
En general si hay r palitos decorados:
P{X=r}=C6,r prqn-r
Que es la fórmula general para calcular la probabilidad de casa suceso, siendo r={0,1,2,3,4,5,6}
Para el caso en que el número de palitos sea n
P{X=r}=Cn,r prqn-r
Los resultados están ya calculados para distintos valores de n, r, p y q en las tablas de distribuciones binomiales.
Consolidación
Un experimento aleatorio cuyos sucesos elementales están constituidos por n sucesos individuales , como puede ser lanzar los seis palitos, es un experimento Binomial si:
1) Los sucesos individuales son del tipo éxito (salir decorado) o fracaso (no salir decorado)
2) Las probabilidades de éxito y fracaso se mantienen constantes para todos
P(éxito)=p, P(fracaso)=q, p+q=1
3) Los sucesos individuales son independientes, es decir lo que ocurre en un suceso individual no influye en los otros.
La variable aleatoria que cuenta el número de éxitos, X, se dice que es una variable aleatoria binomial y esto se expresa diciendo que X es B(n,p). En el juego de los palitos X es B(6,0'5). La función de probabilidad es P{X=r}=Cn,r prqn-r , y se puede demostrar que la media=n·p y la varianza=n·p·q. Cualquier suceso que defina en la distribución binomial se puede estudiar su probabilidad a través de la función de probabilidad.
Evaluación
Para que un problema aleatorio sea del tipo binomial debemos de comprobar que es un experimento compuesto donde los n sucesos individuales, ocurre A (éxito), son independientes con la misma probabilidad de ocurrir, p, o no, q. La variable asociada X es la que cuenta el número de veces que ocurre A. Se tiene la función de probabilidad con la fórmula anterior. Ahora, todo esto, se puede aplicar para resolver los siguientes problemas:
1) Los
resultados de una encuesta sobre el nivel de aceptación de un determinado
partido político han revelado que el 30% de la población es favorable a dicho
partido, siendo desfavorable el resto.
En una encuesta realizada
telefónicamente sobre 8 personas elegidas al azar, se desea saber la
probabilidad de que:
a) Únicamente
tres sean favorables al partido.
b) Al
menos una persona sea favorable.
c) A
lo sumo dos sean desfavorables.
2) Cierto
medicamento contra una enfermedad provoca mejoría en el 60% de los casos. Si se
receta a un grupo de 5 pacientes, cuál es la probabilidad de que:
a) Los
5 pacientes mejoren.
b) Al
menos 4 mejoren.
c) A
lo sumo 2 no experimenten mejoría.
3) Se
analizan 10 empresas para decidir cuántas están en quiebra. La probabilidad de
que una empresa esté en quiebra es 0’12.
a) Calcula
la probabilidad de que exactamente 2 de ellas estén en quiebra.
b) ¿Cuál
es el número esperado de empresas en quiebra?
c) Halla
la media y la desviación típica de la variable utilizada.
jueves, 5 de marzo de 2015
Infinito versus cero
Supongamos que tenemos 1Kg de azucar y lo vamos a repartir entre 2 personas, ¿cuánto le toca a cada una? Pues la operación es fácil, 1Kg/2p=0.5Kg/1p. Si el reparto fuera entre 4 personas la solución sería, 1Kg/4p=0.25Kg/1p. Si continuamos haciendo divisiones del kilo entre más personas, cada vez la cantidad por persona se hace más pequeña, acercándose cada vez más a cero.
1/2=0.5, 1/4=0.25, 1/8=0.125,....,1/100=0.01,......, 1/1000=0.001,.....
La sucesión numérica converge hacia cero.
Se dice que 1/n tiende a 0 cuando n tiende a infinito
Vamos a plantear la división al revés. Si tenemos 1Kg de azucar y queremos repartir entre varias personas a razón de 0.5Kg de azucar, para cada una, ¿a cuántas personas se lo puedo dar? Pues la solución es, 1Kg/0.5Kg/1p=2p. Si lo que reparto es 0.25Kg por persona, lo puedo repartir entre 1Kg/0.25Kg/1p=4p. Si continuamos bajando la cantidad de azucar a repartir por persona se puede repartir entre más personas, haciéndose el número de estas tan alto como queramos.
1/0.5=2, 1/0.25=4, 1/0.125=8,....,1/0.01=100,.....,1/0.001=1000,.......
En este caso vemos que la sucesión numérica se va hacia infinito.
Se dice que 1/n tiende a infinito cuando n tiende a 0
miércoles, 18 de febrero de 2015
Tres relojes de arena acoplados
En cualquier tienda de té venden unos relojes de arena para tener el saquito con las hojas en la infusión el tiempo preciso antes de retirarlo. Suelen ser tres relojes de arena acoplados en una estructura que funcionan en conjunto: uno de 3 min, otro de 4 min y el último de 5 min.
La primera cuestión que surge es si con esos tres relojes se puede medir cualquier tiempo, al menos de 1 a 10 min. La respuesta es claramente que sí se puede:
La primera cuestión que surge es si con esos tres relojes se puede medir cualquier tiempo, al menos de 1 a 10 min. La respuesta es claramente que sí se puede:
- 1 min: Poner el de 3 min y cuando se acabe empieza a contar el minuto hasta que acabe el de 4 min
- 2 min: Poner el de 3 min y cuando acabe empiezan los 2 min que acaban cuando acaba el de 5 min
- 3 min: Poner el de 3 min.
- 4 min: Poner el de 4 min.
- 5 min: Poner el de 5 min.
- 6 min: Poner el de 3 min y cuando acabe dar la vuelta y volver a ponerlo
- 7 min: Poner el de 4 min y cuando acabe dar la vuelta y contar el tiempo con el de 3 min
- 8 min: Poner el de 4 min y cuando acabe dar la vuelta y poner otra vez el de 4 min.
- 9 min: Poner el de 5 min y cuando acabe dar la vuelta y contar con el de 4 min
- 10 min: Poner el de 5 min y cuando acabe dar la vuelta y poner otra vez el de 5 min
Las operaciones que se hacen en cada caso son:
- 1=-3+4
- 2=-3+5
- 3=3
- 4=4
- 5=5
- 6=3+3
- 7=4+3 (no es conmutativo)
- 8=4+4
- 9=5+4 (no es conmutativo)
- 10=5+5
También se podían contar los primeros 10 min con un reloj de 2 min y otro de 3 min, el coste estaría en que habría que dar más de dos vueltas al reloj acoplado en algunos casos.
viernes, 30 de enero de 2015
¿Qué tienen en común la temperatura que hace, el ascensor de mi casa y mi cuenta en el banco?
Pues, que se rigen por el modelo matemático de los números enteros, {...,-4,-3,-2,-1,-0,+1,+2,+3,+4,...}.
Los enteros positivos {+1,+1,+3,...} se usan para medir la temperatura cuando hace calor (de grado en grado), los pisos que están por encima del bajo (de piso en piso), o cuando tengo superávit (de euro en euro) en mi cuenta corriente. Así digo que hace 12ºC, que subo al 4º piso o que tengo 200 euros de saldo en mi cuenta corriente. El punto frontera entre los positivos y negativos lo marca el 0. A 0ºC cambia el agua de estado de líquido a sólido. El piso 0 es la planta baja. Y tener 0 euros en el banco es no tener nada. Los negativos {...-3,-2-1} sirven para representar valores por debajo del cero. Si está nevando probablemente estemos a -3ºC o menos. Si voy al sótano a coger el coche pulso en los botones negativos del panel del ascensor, el -1, el -2, o los que haya. Si debo dinero al banco figura en mi cuenta con valores negativos, -100 euros, -300 euros, etc.
Es muy útil tener representados en una linea con intervalos idénticos a los números enteros. Así podemos ver la temperatura en un termómetro, los pisos en un panel lineal dentro del ascensor, y aunque el banco no tiene un instrumento específico para tal fin nos lo imaginamos en forma de línea debe-haber.
Podemos encontrar muchas más situaciones cotidianas que emplean el modelo matemático de los números enteros para situar el nivel en que se encuentran las cosas. Es importante fijar el cero, lo que significa ser positivo y lo que significa ser negativo.
ACTIVIDAD: Piensa cómo se utiliza el modelo de los números enteros para medir alturas y profundidades de metro en metro.
domingo, 25 de enero de 2015
UNIDAD DIDACTICA: El teorema del resto chino (2)
ORIENTACIÓN
Una banda de 17 piratas posee un tesoro de peces de oro de igual valor. Proyectan repartirselo en partes iguales y dar el resto al cocinero chino. Este debería llevar 3 peces, pero los piratas discuten entre si y matan a 6. En un nuevo reparto igualitario le toca al cocinero el resto que son 4 peces. Tienen un naufragio y sólo se salvan, el tesoro, seis piratas y el cocinero. En el nuevo reparto le dan a este último 5 peces de oro. ¿Cuántos peces se llevaría el cocinero como mínimo si este decide envenenar al resto de los piratas?
Este es un nuevo ciclo en el que se amplia en forma de espiral el aprendizaje. En este caso no se puede resolver con los criterios de divisibilidad, hay que buscar la solución de forma general.
EXPERIMENTACIÓN
La solución s es el número de peces de oro que hay en el tesoro.
En el primer reparto, s=17x+3, s=3mod(17), en el segundo, s=11y+4, s=4mod(11), y en el tercero, s=6z+5, s=5mod(6)
Se trata por tanto de resolver un sistema de congruencias. Por ser solución de la primera congruencia pertenece al conjunto {3,20,37,...}. Por serlo de la segunda tiene que pertenecer al conjunto {4,15,26,...}, y por serlo de la tercera pertenece al conjunto {5,11,17,......}.
Con ayuda de una hoja de cálculo se pueden programar estas clases y comprobar cuál es el primer número coincidente. La solución que sale es 785.
¿La clase de las soluciones es una congruencia?¿Cuál es el paso?¿Cómo se puede averiguar la primera solución sin la hoja de cálculo?
CONCEPTUALIZACIÓN
La congruencia s=785mod(17·11·6) es una clase de soluciones del sistema. Cualquier número de la misma cumple:
s'=17·11·6·k+785
y pertenece a las congruencias del sistema puesto que:
s'/17=11·6·k+785/17=11·6·k+46+3/17
s'/11=17·6·k+785/11=17·6·k+71+4/11
s'/6=17·11·k+785/6=17·11·k+130+5/6
Luego
s={785, 1907, 2692,...}
PROCESAMIENTO
El objetivo es ver como se encuentra la primera solución.
Una banda de 17 piratas posee un tesoro de peces de oro de igual valor. Proyectan repartirselo en partes iguales y dar el resto al cocinero chino. Este debería llevar 3 peces, pero los piratas discuten entre si y matan a 6. En un nuevo reparto igualitario le toca al cocinero el resto que son 4 peces. Tienen un naufragio y sólo se salvan, el tesoro, seis piratas y el cocinero. En el nuevo reparto le dan a este último 5 peces de oro. ¿Cuántos peces se llevaría el cocinero como mínimo si este decide envenenar al resto de los piratas?
Este es un nuevo ciclo en el que se amplia en forma de espiral el aprendizaje. En este caso no se puede resolver con los criterios de divisibilidad, hay que buscar la solución de forma general.
EXPERIMENTACIÓN
La solución s es el número de peces de oro que hay en el tesoro.
En el primer reparto, s=17x+3, s=3mod(17), en el segundo, s=11y+4, s=4mod(11), y en el tercero, s=6z+5, s=5mod(6)
Se trata por tanto de resolver un sistema de congruencias. Por ser solución de la primera congruencia pertenece al conjunto {3,20,37,...}. Por serlo de la segunda tiene que pertenecer al conjunto {4,15,26,...}, y por serlo de la tercera pertenece al conjunto {5,11,17,......}.
Con ayuda de una hoja de cálculo se pueden programar estas clases y comprobar cuál es el primer número coincidente. La solución que sale es 785.
¿La clase de las soluciones es una congruencia?¿Cuál es el paso?¿Cómo se puede averiguar la primera solución sin la hoja de cálculo?
CONCEPTUALIZACIÓN
La congruencia s=785mod(17·11·6) es una clase de soluciones del sistema. Cualquier número de la misma cumple:
s'=17·11·6·k+785
y pertenece a las congruencias del sistema puesto que:
s'/17=11·6·k+785/17=11·6·k+46+3/17
s'/11=17·6·k+785/11=17·6·k+71+4/11
s'/6=17·11·k+785/6=17·11·k+130+5/6
Luego
s={785, 1907, 2692,...}
PROCESAMIENTO
El objetivo es ver como se encuentra la primera solución.
martes, 20 de enero de 2015
UNIDAD DIDÁCTICA: El teorema chino del resto
MOTIVACIÓN
¿Cuántos soldados hay en el ejército de Hang Xing si, ordenados en dos columnas, sobra un soldado, ordenados en tres columnas sobra otro soldado, y ordenados en cinco columnas sobran tres?
EXPERIMENTACIÓN
¿Se puede hacer mirando de uno en uno?
Hay que dividir cada número de la sucesión:1,2,3,.... , por 2, por 3 y por 5. La solución será aquel número que dé de restos 1, 1 y 3, al dividir por 2, por 3 y por 5, respectivamente.
Establecemos la sucesión y ponemos si: a) da de resto 1; b) da de resto 1; c) da de resto 3.
1 soldado: a) SI; b) SI; C) NO
2 soldados: a) NO; b) NO; C) NO
3 soldados: a) SI; b) NO; C) SI
4 soldados: a) NO; b) SI; C) NO
5 soldados: a) SI; b) NO; C) NO
6 soldados: a) NO; b) NO; C) NO
7 soldados: a) SI; b) SI; C) NO
8 soldados: a) NO; b) NO; C) SI
9 soldados: a) SI; b) NO; C) NO
10 soldados: a) NO; b) SI; C) NO
11 soldados: a) SI; b) NO; C) NO
12 soldados: a) NO; b) NO; C) NO
13 soldados: a) SI; b) SI; C) SI
...........................
13 soldados es una solución, ¡¡pero puede haber más!!
CONCEPTUALIZACIÓN
¿Cómo son las soluciones?
La solución s tiene que ser un número que al dividir por 2 dé de resto 1, al dividir por 3 dé de resto 1 y al dividir por 5 dé de resto 3. La solución es congruente con 1 modulo 2, s=1mod(2), congruente con 1 módulo 3, s=1mod(3) y congruente con 3 modulo 5, s=3mod(5).
Los números s=1mod(2) son {1,3,5,7,9,11,13,....}
Los números s=1mod(3) son {1,4,7,10,13,...}
Los números s=3mod(5) son {3,8,13,...}
Son sucesiones aritméticas cuyos términos generales son:
1) s=1+(n-1)2=2n-1=>s+1=2n
2) s=1+(n-1)3=3n-2=>s+1=3n
3) s=3+(n-1)5=5n-2=>s+2=5n
De 1) concluimos que sólo puede acabar en 1,3,5,7 ó 9
De 3) concluimos que sólo puede acabar en 3 u 8
De ambos concluimos que sólo puede acabar en 3
Si solo tiene dos cifras, de esto último y de 2) concluimos que la primera cifra sólo puede ser 1, 4 ó 7, esto es s=13, s=43 ó s=73
PROCESAMIENTO
¿Para buscar más soluciones qué tenemos que hacer?
La solución tiene que se un número que acaba en 3 y que al restarlo de 1 sea un múltiplo de 3. Supongamos que queremos una solución con 4 cifras: s=abc3
Lo restamos de 1:
abc3-1=abc2
Ahora las cifras deben de sumar múltiplo de 3, pero hay un límite, tiene que ser un múltiplo de 3, para este caso, que esté entre 3 y 27. No puede ser más para las tres cifras dadas.
Tenemos muchas posibilidades y podemos enumerarlas todas. Pero supongamos un caso más práctico, si a=2, y b=9, entonces a+b+c+2=2+9+c+2=c+13. Ahora podemos coger cualquier múltiplo de 3 mayor que 13 y menor que 27, por ejemplo el 21. Tenemos c+13=21, entonces c=8. El número será el 2983
MECANIZACIÓN
¿Se puede encontrar una fórmula para encontrar las soluciones?
Si la solución la dividimos en las cifras iniciales C y la final 3, s=C&3.
Resulta que C&2 es múltiplo de 3, C&2=3n, pero C&2=C·10+2=3n, de donde,
C=(3n-2)/10
C es un número natural, por lo tanto solo valen múltiplos de 3 que acaben en 2:
3·4=12, 3·14=42, 3·24=72,...
Así sale:
Para n=14, C=1=> s=13
Para n=24, C=4=> s=43
Para n=34, C=7=> s=73
.......................................
Para n=104, C=31=> s=313
......................................
Para n=994, C=298=> s=2983
.......................................
CONSOLIDACIÓN
¿Cómo encontrar una solución si se me olvida de la fórmula?
1) La solución menos 1 es un múltiplo de 2, eso significa que acaba en 1,3,5,7,ó 9
2) La solución menos 3 es un múltiplo de 5, eso significa que acaba en 3 u 8. Y según lo anterior sólo puede acabar en 3.
3) La solución menos 1, es un múltiplo de 3, eso significa que si sumamos todas las cifras menos la primera con un 2 tienen que sumar un múltiplo de 3.
Por ejemplo:
373, 10453, 6553, ....
EVALUACIÓN
¿Qué particularidad tienen los números que son solución?
Los tres primeros, 13, 43 y 73 son números primos. ¿Serán todos números primos?
C=(3n-2)/10 con n=4,14,24,34,44,54,64,74,......
s=C·10+3
s=3n+1 con n=4,14,24,34,44,54,64,74,.....=4+10·1, 4+10·2, 4+10·3, 4+10·4,..=4+10(k-1)
s=3(4+10(k-1))+1=12+30k-30+1=30k-17, con k=1,2,3,4,...
Para k=17, s=30.17-17=29·17=493, que no es primo
s=13, 43, 73, 103, 133, 163, 193, 223, ..... una progresión aritmética de diferencia 30 y primer término 13, aunque curiosamente hay muchos números primos
Actividad:
Una banda de 17 piratas posee un tesoro de peces de oro de igual valor. Proyectan repartirselo en partes iguales y dar el resto al cocinero chino. Este debería llevar 3 peces, pero los piratas discuten entre si y matan a 6. En un nuevo reparto igualitario le toca al cocinero el resto que son 4 peces. Tienen un naufragio y sólo se salvan, el tesoro, seis piratas y el cocinero. En el nuevo reparto le dan a este último 5 peces de oro. ¿Cuántos peces se llevaría el cocinero como mínimo si este decide envenenar al resto de los piratas?
¿Cuántos soldados hay en el ejército de Hang Xing si, ordenados en dos columnas, sobra un soldado, ordenados en tres columnas sobra otro soldado, y ordenados en cinco columnas sobran tres?
EXPERIMENTACIÓN
¿Se puede hacer mirando de uno en uno?
Hay que dividir cada número de la sucesión:1,2,3,.... , por 2, por 3 y por 5. La solución será aquel número que dé de restos 1, 1 y 3, al dividir por 2, por 3 y por 5, respectivamente.
Establecemos la sucesión y ponemos si: a) da de resto 1; b) da de resto 1; c) da de resto 3.
1 soldado: a) SI; b) SI; C) NO
2 soldados: a) NO; b) NO; C) NO
3 soldados: a) SI; b) NO; C) SI
4 soldados: a) NO; b) SI; C) NO
5 soldados: a) SI; b) NO; C) NO
6 soldados: a) NO; b) NO; C) NO
7 soldados: a) SI; b) SI; C) NO
8 soldados: a) NO; b) NO; C) SI
9 soldados: a) SI; b) NO; C) NO
10 soldados: a) NO; b) SI; C) NO
11 soldados: a) SI; b) NO; C) NO
12 soldados: a) NO; b) NO; C) NO
13 soldados: a) SI; b) SI; C) SI
...........................
13 soldados es una solución, ¡¡pero puede haber más!!
CONCEPTUALIZACIÓN
¿Cómo son las soluciones?
La solución s tiene que ser un número que al dividir por 2 dé de resto 1, al dividir por 3 dé de resto 1 y al dividir por 5 dé de resto 3. La solución es congruente con 1 modulo 2, s=1mod(2), congruente con 1 módulo 3, s=1mod(3) y congruente con 3 modulo 5, s=3mod(5).
Los números s=1mod(2) son {1,3,5,7,9,11,13,....}
Los números s=1mod(3) son {1,4,7,10,13,...}
Los números s=3mod(5) son {3,8,13,...}
Son sucesiones aritméticas cuyos términos generales son:
1) s=1+(n-1)2=2n-1=>s+1=2n
2) s=1+(n-1)3=3n-2=>s+1=3n
3) s=3+(n-1)5=5n-2=>s+2=5n
De 1) concluimos que sólo puede acabar en 1,3,5,7 ó 9
De 3) concluimos que sólo puede acabar en 3 u 8
De ambos concluimos que sólo puede acabar en 3
Si solo tiene dos cifras, de esto último y de 2) concluimos que la primera cifra sólo puede ser 1, 4 ó 7, esto es s=13, s=43 ó s=73
PROCESAMIENTO
¿Para buscar más soluciones qué tenemos que hacer?
La solución tiene que se un número que acaba en 3 y que al restarlo de 1 sea un múltiplo de 3. Supongamos que queremos una solución con 4 cifras: s=abc3
Lo restamos de 1:
abc3-1=abc2
Ahora las cifras deben de sumar múltiplo de 3, pero hay un límite, tiene que ser un múltiplo de 3, para este caso, que esté entre 3 y 27. No puede ser más para las tres cifras dadas.
Tenemos muchas posibilidades y podemos enumerarlas todas. Pero supongamos un caso más práctico, si a=2, y b=9, entonces a+b+c+2=2+9+c+2=c+13. Ahora podemos coger cualquier múltiplo de 3 mayor que 13 y menor que 27, por ejemplo el 21. Tenemos c+13=21, entonces c=8. El número será el 2983
MECANIZACIÓN
¿Se puede encontrar una fórmula para encontrar las soluciones?
Si la solución la dividimos en las cifras iniciales C y la final 3, s=C&3.
Resulta que C&2 es múltiplo de 3, C&2=3n, pero C&2=C·10+2=3n, de donde,
C=(3n-2)/10
C es un número natural, por lo tanto solo valen múltiplos de 3 que acaben en 2:
3·4=12, 3·14=42, 3·24=72,...
Así sale:
Para n=14, C=1=> s=13
Para n=24, C=4=> s=43
Para n=34, C=7=> s=73
.......................................
Para n=104, C=31=> s=313
......................................
Para n=994, C=298=> s=2983
.......................................
CONSOLIDACIÓN
¿Cómo encontrar una solución si se me olvida de la fórmula?
1) La solución menos 1 es un múltiplo de 2, eso significa que acaba en 1,3,5,7,ó 9
2) La solución menos 3 es un múltiplo de 5, eso significa que acaba en 3 u 8. Y según lo anterior sólo puede acabar en 3.
3) La solución menos 1, es un múltiplo de 3, eso significa que si sumamos todas las cifras menos la primera con un 2 tienen que sumar un múltiplo de 3.
Por ejemplo:
373, 10453, 6553, ....
EVALUACIÓN
¿Qué particularidad tienen los números que son solución?
Los tres primeros, 13, 43 y 73 son números primos. ¿Serán todos números primos?
C=(3n-2)/10 con n=4,14,24,34,44,54,64,74,......
s=C·10+3
s=3n+1 con n=4,14,24,34,44,54,64,74,.....=4+10·1, 4+10·2, 4+10·3, 4+10·4,..=4+10(k-1)
s=3(4+10(k-1))+1=12+30k-30+1=30k-17, con k=1,2,3,4,...
Para k=17, s=30.17-17=29·17=493, que no es primo
s=13, 43, 73, 103, 133, 163, 193, 223, ..... una progresión aritmética de diferencia 30 y primer término 13, aunque curiosamente hay muchos números primos
Actividad:
Una banda de 17 piratas posee un tesoro de peces de oro de igual valor. Proyectan repartirselo en partes iguales y dar el resto al cocinero chino. Este debería llevar 3 peces, pero los piratas discuten entre si y matan a 6. En un nuevo reparto igualitario le toca al cocinero el resto que son 4 peces. Tienen un naufragio y sólo se salvan, el tesoro, seis piratas y el cocinero. En el nuevo reparto le dan a este último 5 peces de oro. ¿Cuántos peces se llevaría el cocinero como mínimo si este decide envenenar al resto de los piratas?
martes, 16 de diciembre de 2014
PERFIL DEL PROCESAMIENTO
Cuando se marca un objetivo se tiene que trabajar hasta que se consigue. El procesamiento es el esfuerzo que hay que hacer hasta lograr el fruto. El procesamiento tienen sus fases. Hay que ir corrigiendo y madurando hasta llegar al producto final. Para conseguirlo hay responder a la pregunta de: ¿cómo funciona? El problema es que siempre que queramos conseguir algo hay que evitar hacer un gran esfuerzo, para llegar a una producción adecuada hay que ver como mecanizar el procesamiento.
lunes, 15 de diciembre de 2014
El cuadrado del binomio
Tanto el cuadrado de la suma como el de la resta son dos clásicos del álgebra necesarios para desarrollar muchos cálculos algebraicos que surgen en la resolución de ecuaciones y sistemas. En sistemas no lineales como es el caso de:
x+2y=5
x2+y2=5
Se despeja x, se sustituye en el cuadrado y sale el cuadrado de la resta:
x=5-2y
(5-2y)2+y2=5
Siempre se puede hacer el cuadrado multiplicando (5-2y)(5-2y), sin embargo nos apoyamos en la fórmula genérica:
(a-b)2=a2-2ab+b2
Se tienen entonces:
(5-2y)2=25-20y+4y2
Con lo que queda:
25-20y+4y2+y2=5
5y2-20y+20=0
......................
Muchos alumnos se olvidan del término central y ponen:
(5-2y)2=25-4y2
Cometiendo el típico error en el desarrollo y ya les va mal.
x+2y=5
x2+y2=5
Se despeja x, se sustituye en el cuadrado y sale el cuadrado de la resta:
x=5-2y
(5-2y)2+y2=5
Siempre se puede hacer el cuadrado multiplicando (5-2y)(5-2y), sin embargo nos apoyamos en la fórmula genérica:
(a-b)2=a2-2ab+b2
Se tienen entonces:
(5-2y)2=25-20y+4y2
Con lo que queda:
25-20y+4y2+y2=5
5y2-20y+20=0
......................
Muchos alumnos se olvidan del término central y ponen:
(5-2y)2=25-4y2
Cometiendo el típico error en el desarrollo y ya les va mal.
martes, 9 de diciembre de 2014
PERFIL DE LA CONCEPTUALIZACIÓN
Después de la experimentación viene la síntesis, hay que estructurar el conocimiento alcanzado y establecer los conceptos de fondo que permiten resolver el problema. Se hacen paralelismos. La pregunta clave es: ¿cuál es el sentido? Aun así la estructura o idea necesita convertirse en logro, por lo que se pasa a la fase de procesamiento.
lunes, 8 de diciembre de 2014
PERFIL DE LA EXPERIMENTACIÓN
Para resolver un problema tenemos que contar con experiencia previa sobre el tema. Lo primero es recurrir a la memoria de algo que ya hemos experimentado anteriormente. Si estamos en una situación completamente nueva hay que experimentar con algo. La pregunta que hacemos es: ¿ésto que significa? Normalmente utilizamos cosas sencillas que ya dominamos y, poco a poco, vamos razonando en una dirección que nos lleva a la solución. Suele ocurrir que el razonamiento que surge para encontrar la solución se hace muy extenso y hay que intentar resumirlo.
domingo, 7 de diciembre de 2014
PERFIL DE LA MOTIVACIÓN
La motivación debe de contener un situación de aprendizaje real, donde el alumno encuentra una utilidad en lo que tiene que aprender. Debe de responder a la pregunta de: ¿para que sirve?
Debe de contener elementos que ayuden a orientar la forma de encontrar la solución al problema que se plantea. En este apartado se resalta la importancia de utilizar las matemáticas. Evidentemente identificar un problema, por muy importante que sea, no implica solucionarlo, de ahí que sea necesaria la siguiente etapa, la experimentación.
miércoles, 3 de diciembre de 2014
UNIDAD DIDÁCTICA: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
MOTIVACIÓN:
Toda empresa tiene que saber cuál es la cifra de ventas anuales que debe de tener para nivelar gastos y a partir de ahí empezar a tener beneficios. A esta cantidad se le conoce como "punto de equilibrio".
Supongamos que una empresa tiene unos costos fijos en fabricar un determinado producto anualmente de 500 euros (estos costos son por tener la fábrica abierta). Si cada producto que fabrica cuesta 3 euros y fabrica x productos, tiene un costo variable de 3x euros. El coste total y es la suma del coste fijo más el variable:
y=500+3x
Ahora supongamos que los x productos los vende a 4 euros cada uno, los ingresos son 4x. Como queremos averiguar cuándo los ingresos son coincidentes con los costes de fabricación:
y=4x
Por lo tanto tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. El resultado de x es el número de productos que debe vender, e y el coste total de fabricación de esos x productos que es igual al ingreso por la venta de esos x productos. En ese momento la fabrica no pierde ni gana nada, pero sabe a partir de qué cantidad de productos o gasto, empieza a ganar dinero.
El inconveniente está en que hay que tener una forma de resolver un sistema.
ACTIVIDAD: Imaginar ejemplos de empresas que tienen que buscar el punto de equilibrio planteando sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Toda empresa tiene que saber cuál es la cifra de ventas anuales que debe de tener para nivelar gastos y a partir de ahí empezar a tener beneficios. A esta cantidad se le conoce como "punto de equilibrio".
Supongamos que una empresa tiene unos costos fijos en fabricar un determinado producto anualmente de 500 euros (estos costos son por tener la fábrica abierta). Si cada producto que fabrica cuesta 3 euros y fabrica x productos, tiene un costo variable de 3x euros. El coste total y es la suma del coste fijo más el variable:
y=500+3x
Ahora supongamos que los x productos los vende a 4 euros cada uno, los ingresos son 4x. Como queremos averiguar cuándo los ingresos son coincidentes con los costes de fabricación:
y=4x
El inconveniente está en que hay que tener una forma de resolver un sistema.
ACTIVIDAD: Imaginar ejemplos de empresas que tienen que buscar el punto de equilibrio planteando sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
EXPERIMENTACIÓN:
Para resolverlo vamos simulando valores de producción x, y calculamos costes e ingresos hasta que coincidan
Para resolverlo vamos simulando valores de producción x, y calculamos costes e ingresos hasta que coincidan
Nº de Productos
|
Coste
|
Ingreso
|
Entonces, a partir de 500 productos, un coste de producción de 2000 euros y de ingresos de 2000 euros, es cuando se empezaría a ganar dinero.
El inconveniente está en que puede ser muy largo el encontrar la solución y puede que no sean soluciones enteras.
ACTIVIDAD: Resolver los ejemplos de la actividad anterior con ayuda de tablas.
El inconveniente está en que puede ser muy largo el encontrar la solución y puede que no sean soluciones enteras.
ACTIVIDAD: Resolver los ejemplos de la actividad anterior con ayuda de tablas.
CONCEPTUALIZACIÓN:
Si representamos en una gráfica las dos ecuaciones con algunos de los valores de las tablas anteriores vemos que cuando coinciden Costes e Ingresos es en x=500. La gráfica puede llevar a imprecisión cuando los resultados son altos o no enteros.
Los gastos ya empiezan con 500 euros, en el eje Y para los pares (Nº de Productos, Gastos). Mientras que para los pares (Nº de Productos, Ingresos) empiezan en el origen de coordenadas. Conforme aumentan los productos los gastos se incrementan de 3 en 3, la recta tiene pendiente 3, mientras que los ingresos de 4 en 4, pendiente 4, por lo que es de esperar que los ingresos lleguen a alcanzar a los costes, en el punto de corte de las rectas (punto de equilibrio)
El punto de corte de las dos rectas (solución las ecuaciones lineales) se obtiene igualando las y:
y=500+3x=4x
despejando
500=4x-3x; x=500; y=4·500=2000
El sistema tiene solución única cuando las rectas se cortan en un punto. Si las rectas son paralelas el sistema no tiene solución. Y si la rectas son coincidentes hay infinitas soluciones.
El inconveniente es que encontrar la solución de forma gráfica no tiene precisión.
ACTIVIDAD: Representar gráficamente las ecuaciones de la actividad anterior y encontrar las soluciones de forma gráfica
RECURSOS: Utilizar una hoja de cálculo para la tabla y la representación gráfica
PROCESAMIENTO:
Cuando tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales, en general serán dos rectas que si vienen dadas por sus ecuaciones explícitas:
y=2x+4
y=-3x-6
se pueden resolver igualando las y:
2x+4=-3x-6; 2x+3x=-6-4; 5x=-10; x=-2; y=2(-2)+4=0
En general las rectas pueden estar definidas por ecuaciones implícitas:
2x+3y=-4
3x-5y=13
En cuyo caso podemos resolver el sistema por este proceso de igualación pasando a las ecuaciones explícitas, despejando y e igualando:
3y=-2x-4; y=(-2x-4)/3; -5y=-3x+13; 5y=3x-13; y=(3x-13)/5; (-2x-4)/3=(3x-13)/5; 5(-2x-4)=3(3x-13)
-10x-20=9x-39; -10x-9x=-39+20; -19x=-19; x=1; 2·(1)+3y=-4; 3y=-4-2; 3y=-6; y=-6/3=-2
Ante un sistema de ecuaciones lineales donde las rectas están definidas por las ecuaciones implícitas puede resultar engorroso despejar la y en las dos ecuaciones. Como el objetivo es convertir el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas en uno de una ecuación y una incógnita, podemos despejar una vez una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra.
En el sistema anterior si se despeja y en la primera ecuación y se sustituye en la segunda,
y=(-2x-4)/3; 3x-5(-2x-4)/3=13; 9x+10x+20=39; 19x=19; x=1
Con lo que se abrevian los cálculos
El inconveniente es que hay que llevar los cálculos con precisión sin cometer un error que ya se propagaría.
ACTIVIDAD: Plantear y resolver sistemas de ecuaciones lineales por igualación o sustitución. partir de soluciones enteras dadas para plantearlos.
MECANIZACIÓN:
Supongamos un sistema escrito en forma implícita:
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2
y=(c1-a1x)/b1; y=(c2-a2x)/b2
Igualando
(c1-a1x)/b1=(c2-a2x)/b2; b2c1-b2a1x=b1c2-b1a2x; -b2a1x+b1a2x=-b2c1+b1c2; x(a2b1-a1b2)=b1c2-b2c1
Ordenamos
x(a1b2-a2b1)=c1b2-c2b1
Y despejando
x=(c1b2-c2b1)/(a1b2-a2b1)
si hacemos lo mismo con la y sale como fórmula:
y=(a1c2-a2c1)/(a1b2-a2b1)
Se puede mecanizar el proceso con ayuda de los coeficientes del sistema y los términos independientes, usando los productos cruzados.
Como es un cociente hay solución si a1b2-a2b1<>0
Por ejemplo:
-2x+5y=7
3x+2y=-1
No fijamos en los coeficientes de x e y. El denominador es el producto de las dos diagonales restado, y el numerador par x también pero usando termino independientes en lugar de los coeficientes de x. Para y se usa en el numerador el producto cruzado pero sustituyendo los coeficientes de y por los términos independientes.
x=(7·2-(-1)·5)/(-2·2-3·5)=-1
y=(-2·(-1)-3·7)/(-2·2-3·5)=1
El inconveniente está en que se puede perder el fundamento y no ser capaces de repetir el procedimiento.
ACTIVIDAD: Resolver los sistemas de ecuaciones lineales de la actividad anterior con ayuda de la fórmula
RECURSOS: Utilizar Microsoft Mathematics para resolver los sistemas y comprobar las soluciones
CONSOLIDACIÓN:
1º) En primer lugar cuando se tienen un sistema lineal de ecuaciones debemos de comprobar si a1b2-a2b1 es cero. Si fuese así indicaría que los coeficientes de las dos ecuaciones son proporcionales:
a1b2=a2b1
a1/a2=b1/b2
Luego las dos ecuaciones son la misma recta, hay infinitas soluciones.
2º) Si el denominador no es cero es que las rectas se cortan en un punto, hay solución única.
Para solucionarla acudimos a la fórmula, o bien, elegimos los coeficientes de una de las dos variables y multiplicamos ambas ecuaciones por dichos coeficientes intercalados. Restando las ecuaciones resultantes tenemos una reducción del sistema a una sola incógnita y ya se puede resolver.
4x-5y=-11
3x+2y=9
Multiplicamos la primera por 3 y la segunda por 4
12x-15y=-33
12x+8y=36
Restamos
-23y=-69; y=3
3x+6=9; x=1
El problema es cómo establecer esos coeficientes para construir los sistemas a partir del contexto de los problemas.
ACTIVIDAD: Resolver los sistemas de ecuaciones lineales de la actividad anterior por reducción
EVALUACIÓN:
Los problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones lineales usan dos variables. Las relaciones que existen suelen ser de proporcionalidad directa y la suma o resta da un valor conocido.
Cada ecuación puede referirse a conceptos diferentes, nº de productos y precios, o pesos y precios, ....
El método de resolución a emplear depende bastante de cómo estén escritas las ecuaciones. Antes de ponerse a resolverlo se debe de arreglar para que esté escrito en forma estandar.
Resolver los siguientes problemas:
1) Un tendero tiene café del tipo natural a 15 euros/kg y del tipo torrefacto a 10 euros/kg. Quiere preparar 20 kg de mezcla de ambos tipos y que le salga el precio a 12 euros/kg, ¿qué cantidad debe mezclar de cada tipo?
2) He comprado 5 latas de refresco y 4 botellas de agua por 6 €. Posteriormente, con los mismos precios he comprado 4 latas de refresco y 6 botellas de agua y me han costado 6,20 €. Halla los precios de ambas cosas.
3) En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?
Si representamos en una gráfica las dos ecuaciones con algunos de los valores de las tablas anteriores vemos que cuando coinciden Costes e Ingresos es en x=500. La gráfica puede llevar a imprecisión cuando los resultados son altos o no enteros.
Los gastos ya empiezan con 500 euros, en el eje Y para los pares (Nº de Productos, Gastos). Mientras que para los pares (Nº de Productos, Ingresos) empiezan en el origen de coordenadas. Conforme aumentan los productos los gastos se incrementan de 3 en 3, la recta tiene pendiente 3, mientras que los ingresos de 4 en 4, pendiente 4, por lo que es de esperar que los ingresos lleguen a alcanzar a los costes, en el punto de corte de las rectas (punto de equilibrio)
El punto de corte de las dos rectas (solución las ecuaciones lineales) se obtiene igualando las y:
y=500+3x=4x
despejando
500=4x-3x; x=500; y=4·500=2000
El sistema tiene solución única cuando las rectas se cortan en un punto. Si las rectas son paralelas el sistema no tiene solución. Y si la rectas son coincidentes hay infinitas soluciones.
El inconveniente es que encontrar la solución de forma gráfica no tiene precisión.
ACTIVIDAD: Representar gráficamente las ecuaciones de la actividad anterior y encontrar las soluciones de forma gráfica
RECURSOS: Utilizar una hoja de cálculo para la tabla y la representación gráfica
PROCESAMIENTO:
Cuando tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales, en general serán dos rectas que si vienen dadas por sus ecuaciones explícitas:
y=2x+4
y=-3x-6
se pueden resolver igualando las y:
2x+4=-3x-6; 2x+3x=-6-4; 5x=-10; x=-2; y=2(-2)+4=0
En general las rectas pueden estar definidas por ecuaciones implícitas:
2x+3y=-4
3x-5y=13
En cuyo caso podemos resolver el sistema por este proceso de igualación pasando a las ecuaciones explícitas, despejando y e igualando:
3y=-2x-4; y=(-2x-4)/3; -5y=-3x+13; 5y=3x-13; y=(3x-13)/5; (-2x-4)/3=(3x-13)/5; 5(-2x-4)=3(3x-13)
-10x-20=9x-39; -10x-9x=-39+20; -19x=-19; x=1; 2·(1)+3y=-4; 3y=-4-2; 3y=-6; y=-6/3=-2
Ante un sistema de ecuaciones lineales donde las rectas están definidas por las ecuaciones implícitas puede resultar engorroso despejar la y en las dos ecuaciones. Como el objetivo es convertir el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas en uno de una ecuación y una incógnita, podemos despejar una vez una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra.
En el sistema anterior si se despeja y en la primera ecuación y se sustituye en la segunda,
y=(-2x-4)/3; 3x-5(-2x-4)/3=13; 9x+10x+20=39; 19x=19; x=1
Con lo que se abrevian los cálculos
El inconveniente es que hay que llevar los cálculos con precisión sin cometer un error que ya se propagaría.
ACTIVIDAD: Plantear y resolver sistemas de ecuaciones lineales por igualación o sustitución. partir de soluciones enteras dadas para plantearlos.
MECANIZACIÓN:
Supongamos un sistema escrito en forma implícita:
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2
y=(c1-a1x)/b1; y=(c2-a2x)/b2
Igualando
(c1-a1x)/b1=(c2-a2x)/b2; b2c1-b2a1x=b1c2-b1a2x; -b2a1x+b1a2x=-b2c1+b1c2; x(a2b1-a1b2)=b1c2-b2c1
Ordenamos
x(a1b2-a2b1)=c1b2-c2b1
Y despejando
x=(c1b2-c2b1)/(a1b2-a2b1)
si hacemos lo mismo con la y sale como fórmula:
y=(a1c2-a2c1)/(a1b2-a2b1)
Se puede mecanizar el proceso con ayuda de los coeficientes del sistema y los términos independientes, usando los productos cruzados.
Como es un cociente hay solución si a1b2-a2b1<>0
Por ejemplo:
-2x+5y=7
3x+2y=-1
No fijamos en los coeficientes de x e y. El denominador es el producto de las dos diagonales restado, y el numerador par x también pero usando termino independientes en lugar de los coeficientes de x. Para y se usa en el numerador el producto cruzado pero sustituyendo los coeficientes de y por los términos independientes.
x=(7·2-(-1)·5)/(-2·2-3·5)=-1
y=(-2·(-1)-3·7)/(-2·2-3·5)=1
El inconveniente está en que se puede perder el fundamento y no ser capaces de repetir el procedimiento.
ACTIVIDAD: Resolver los sistemas de ecuaciones lineales de la actividad anterior con ayuda de la fórmula
RECURSOS: Utilizar Microsoft Mathematics para resolver los sistemas y comprobar las soluciones
CONSOLIDACIÓN:
1º) En primer lugar cuando se tienen un sistema lineal de ecuaciones debemos de comprobar si a1b2-a2b1 es cero. Si fuese así indicaría que los coeficientes de las dos ecuaciones son proporcionales:
a1b2=a2b1
a1/a2=b1/b2
- Y si además los numeradores son distintos de cero entonces no puede haber solución, las rectas son paralelas.
- Pero si los numeradores son cero es que las dos ecuaciones son proporcionales: a1/a2=b1/b2=c1/c2
Luego las dos ecuaciones son la misma recta, hay infinitas soluciones.
2º) Si el denominador no es cero es que las rectas se cortan en un punto, hay solución única.
Para solucionarla acudimos a la fórmula, o bien, elegimos los coeficientes de una de las dos variables y multiplicamos ambas ecuaciones por dichos coeficientes intercalados. Restando las ecuaciones resultantes tenemos una reducción del sistema a una sola incógnita y ya se puede resolver.
- En el caso de no solución desaparecerían las dos incógnitas.
- En caso de infinitas soluciones desaparecería todo.
4x-5y=-11
3x+2y=9
Multiplicamos la primera por 3 y la segunda por 4
12x-15y=-33
12x+8y=36
Restamos
-23y=-69; y=3
3x+6=9; x=1
El problema es cómo establecer esos coeficientes para construir los sistemas a partir del contexto de los problemas.
ACTIVIDAD: Resolver los sistemas de ecuaciones lineales de la actividad anterior por reducción
EVALUACIÓN:
Los problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones lineales usan dos variables. Las relaciones que existen suelen ser de proporcionalidad directa y la suma o resta da un valor conocido.
Cada ecuación puede referirse a conceptos diferentes, nº de productos y precios, o pesos y precios, ....
El método de resolución a emplear depende bastante de cómo estén escritas las ecuaciones. Antes de ponerse a resolverlo se debe de arreglar para que esté escrito en forma estandar.
Resolver los siguientes problemas:
1) Un tendero tiene café del tipo natural a 15 euros/kg y del tipo torrefacto a 10 euros/kg. Quiere preparar 20 kg de mezcla de ambos tipos y que le salga el precio a 12 euros/kg, ¿qué cantidad debe mezclar de cada tipo?
2) He comprado 5 latas de refresco y 4 botellas de agua por 6 €. Posteriormente, con los mismos precios he comprado 4 latas de refresco y 6 botellas de agua y me han costado 6,20 €. Halla los precios de ambas cosas.
3) En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?
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