La propiedad conmutativa

Consideremos los números reales y sus siete operaciones. Una operación es conmutativa cuando da el mismo resultado si la realizamos en orden inverso sean cuales sean los números empleados.

• La suma es conmutativa: a+b=b+a, por ejemplo, 3+5=5+3
• La resta no es conmutativa: 6-5<>5-6. Sólo se cumple la conmutatividad cuando el número es el mismo, por ejemplo 4-4=4-4.
• El producto es conmutativo: a*b=b*a, por ejemplo, 6*9=9*6
• La división no es conmutativa: 6/4<>4/6. Sólo se cumple cuando los números son iguales, 8/8=8/8, o son opuestos, 5/(-5)=(-5)/5.
• La potencia no es conmutativa: 5²<>2⁵. Pero, ¿qué pares de números cumplen esa propiedad? Si son iguales se cumple. Sabemos, por ejemplo, que el 2 y el 4 la cumplen también, 2⁴=4².
• La raíz y el logaritmo tampoco son conmutativas. ¿Existen pares de números no iguales que sean conmutativos para esa propiedad?

Propiedades que generan propiedades

La notación normativa o estándar de un polinomio de segundo grado es ax²+bx+c. Aunque un polinomio de segundo grado puede escribirse como a(x-r)(x-s), donde r y s son las  llamadas raíces del polinomio, que por la propiedad distributiva se puede expandir como ax²-asx-arx+ars, que se puede contraer en parte aplicando la distributiva de forma inversa como: ax²+a(-r-s)x+ars. Comparando ambas expresiones se tiene que:
r+s=-b/a; rs=c/a.,
que son las propiedades de la suma y el producto de las raíces de un polinomio.

Reglas vs fórmulas

La solución de una ecuación de segundo grado, ¿fórmula o regla?
Bueno, x=(-b+-raiz(b^2-4ac))/(2a), parece más bien una fórmula porque:

• En primer lugar tiene carácter práctico, da las soluciones de la ecuación, la fórmula se demuestra una sola vez y ya se puede aplicar.
• Hay que sustituir las letras por los coeficientes a, b y c de la ecuación, de forma constructiva.
• Permite separar las ecuaciones con solución de las que no la tienen según el discriminante.

El cuadrado del binomio, ¿regla o fórmula?

Bueno, (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, parece más bien una regla porque:

• Tiene una letanía para acordarse, "el cuadrado del primero, más doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo"
• Nos aligera de tener que hacer el producto (a+b)(a+b).
• Se usa para expandir la expresión.

Propiedades vs reglas

¿La propiedad conmutativa o la regla conmutativa?
Bueno, parece que es más propiedad que regla: a(op)b=b(op)a.

• En primer lugar es general para muchas operaciones, como la suma o el producto de reales. (compara parecidos)
• En segundo lugar es opcional el uso y depende de la conveniencia del momento.
• En tercer lugar indica lo que podemos o no podemos hacer. Por ejemplo no podemos aplicarla en el producto de matrices.

¿La regla del producto de derivadas o la propiedad del producto de derivadas?
Bueno, parece más la regla del producto: f=g·h==>f'=g'·h+g·h'

• En primer lugar es particular, indica como hacer la derivada de un producto, es expansiva.
• En segundo lugar aligera la operatoria puesto que nos evita estar con límites.
• En tercer lugar se memoriza con una frase: la derivada del primero por el segundo sin derivar, más, el primero sin derivar por la derivada del segundo.

Funciones elementales

Las funciones elementales son los objetos más simples del análisis. La primera función que se considera como tal es la función constante, f(x)=k, siendo k un número. Por ejemplo f(x)=6. La siguiente función elemental es la identidad f(x)=x. A partir de aquí se pueden operar estas funciones para obtener nuevas funciones. Por ejemplo, la suma repetida de funciones identidad da otra función elemental, la función afín: f(x)=x+x+x+x=4x. La suma de la función afín con la función constante da la función lineal, por ejemplo f(x)=4x+6. La multiplicación repetida de la función identidad da la función potencia, f(x)=x*x*x=x³. La suma repetida de funciones potencia o la multiplicación de la función constante por la potencia da una función monomio, por ejemplo f(x)=6x³. Finalmente, la suma de funciones monomio da la función polinomio, por ejemplo f(x)=4x²-5x+6.

Funciones encadenadas

Una función tiene una entrada y una salida, a la entrada la llamamos x y la salida y. La función efectúa operaciones con los valores de entrada para obtener los de salida, a esas operaciones las denotamos por f, siendo la función representada como y=f(x).

Por ejemplo si entran números reales y les hacemos su cuadrado, la función devuelve números reales que son el cuadrado de la entrada. La función es y=f(x)=x²

Supongamos otra función que a cada valor de entrada le suma un 4, y=f(x)=x+4. Una tercera función puede hacer que a cada valor de entrada le calcule su coseno, y=f(x)=cos(x). Ahora podemos encadenar las tres funciones en el orden que se dieron haciendo que cada valor de salida sirva como entrada para la siguiente, entonces el valor de entrada sufre tres cálculos, primero se eleva al cuadrado, luego al resultado se le suma 4, y por último, al resultado se le calcula el coseno, por tanto la función encadenada es: y=f(x)=cos(x²+4)

El orden de encadenamiento es fundamental, así puede salir y=f(x)=cos(x²)+4, o y=f(x)=[cos(x)]²+4, o bien y=f(x)=cos(x+4)². Podemos intentar buscar pares de funciones que al encadenarse en distinto orden dan la misma función. También podemos buscar pares de funciones que al encadenarse devuelven la x de entrada.

La séptima operación

La suma de dos números: 3+4=7
La resta. Conocida la suma y un sumando calcular el otro: 3+x=7 ==> x=7-3=4
La multiplicación de dos números como suma repetida: 3*4=3+3+3+3=12
La división. Conocido el producto y uno de los multiplicandos calcular el otro: 3*x=12  ==> x=12/3=4
La potencia como multiplicación repetida: 3^4=3*3*3*3=81
La raíz. Conocida la potencia y el exponente calcular la base: x^4=81 ==> x=raiz(81;4)=3
Pero queda otra opción, la séptima operación. Conocida la potencia y la base calcular el exponente:3^x=81  ==> es el cálculo del logaritmo de 81 en base 3,
 ¡¡log₃ (81)=4!!

Dos principios: repetición y vuelta atrás

Método de completar el cuadrado

Método
Ecuación de partida ax2+bx+c=0	3x2+5x-2=0 a=3 b=5 c=-2
Paso 1: Dividir por a x2+(b/a)x+(c/a)=0	a=3 x2+(5/3)x-2/3=0
Paso 2: Cambiar el coeficiente de x multiplicando y dividiendo por 2:  2(b/(2a)) x2+2(b/(2a))x+(c/a)=0	x2+(5/3)x-2/3=0 x2+2(5/6)x-2/3=0
Paso 3: Sumar y restar (b/(2a))2 x2+2(b/(2a))x+(b/(2a))2-(b/(2a))2 +(c/a)=0	(b/(2a))2=25/36 x2+2(5/6)x+25/36-25/36-2/3=0
Paso 4: Expresar el cuadrado del binomio (x+b/(2a))2-(b/(2a))2 +(c/a)=0	(x+5/6)2-49/36=0

Una lista de pasos nos permite obtener la expresión del polinomio de segundo grado de la ecuación en función de una sola x. Esto sirve, entre otras cosas para resolver la ecuación.

¿Para qué sirven las Matemáticas?

Está pregunta recurrente surge cuando la motivación para estudiar las Matemáticas, para superar la dificultad que tienen, se ve un poco mermada. El otro día me la hizo Luis en clase de segundo de bachiller. Se puede argumentar que es una preparación que le permitirá entender la técnica y las herramientas profesionales, se le puede argumentar que forma parte de la cultura de la humanidad desde los comienzos de las civilizaciones, se le puede argumentar que resumir, interpretar gráficos, calcular, desarrollar un método, etc, es lo que hace a diario y que las Matemáticas tienen todas esas componentes, pero el caso es que no hay mucho consuelo.
Me dirigí a Luis y le pregunté:
- Cuando desayunas ¿comes galletas con un ritmo constante?
- No, cada vez las como más rápidamente, hasta un punto en que voy cada vez más despacio. - me dijo.
- En su punto más alto, ¿cuántas galletas por minuto eres capaz de comer?. - le volví a preguntar.
- Cuatro. -dijo meditándolo un poco.
- Dime, ¿cuánto tardas en desayunar las galletas y la leche?. -volví a preguntarle.
- Diez minutos. - dijo finalmente.
Fui a la pizarra y argumenté:

•  Suponiendo que la velocidad con la que comes galletas sigue un modelo parabólico, f(x)=ax²+bx+c, al comenzar a desayunar f(0)=0 y al finalizar, f(10)=0. En su punto medio, f(5)=4. Entonces:
• 0=c
• 0=100a+10b+c
• 4=25a+5b+c
• De aquí resolviendo el sistema sale y=(-4/25)x²+(8/5)x
• El número de galletas comidas en función del tiempo F(x)= Integral((-4/25)x²+(8/5)x)=(-4/75)x³+(4/5)x²+C
• Como F(0)=0, entonces, C=0
• Por tanto el número de galletas que comes en 10 minutos es F(10)=-160/3+80=26,6

Se me quedó mirando un rato y exclamó en tono bajo:
- ¡Curioso!.
"Bueno, al menos algo se mueve" -pensé para mis adentros.

Problema con colores

Si intersecamos tres focos de colores, uno rojo, otro azul y otro verde, obtenemos el color amarillo, el fucsia, el azul soralla y el blanco, como se observa en el gráfico. Si al verde le asignamos el número 2, al azul el 3 y al rojo el 5, ¿qué número le corresponde a cada uno de los otros cuatro colores?

Suponemos que 2, 3 y 5 es un indicador del color. Establecemos una medida teniendo en cuenta los valores iniciales dados:
m(verde)=2k
m(azul)=3k
m(rojo)=5k
Si definimos el color de la intersección como el producto de los colores que se superponen, tenemos:
m(azul soraya)=6k²
m(fucsia)=15k²
m(amarillo)=10k²
el blanco se puede considerar como la intersección de los colores primarios, pero, también como interesección de los secundarios:
m(blanco)=30k³=900k⁶;
k³=1/30;
k=raíz cúbica(1/30)  la inversa de la media geométrica de los indicadores de color iniciales
m(blanco)=1

Aprender desde la estructura

Lanzamos una moneda tres veces y anotamos si sale cara o cruz. El espacio muestral es el conjunto de todas las opciones que hay. A estas opciones se les llama sucesos elementales y se pueden representar mediante una lista:

E={ccc, cc+, c+c, +cc, c++, +c+, ++c, +++}

Para construirla hay que seguir un orden, primero ninguna cruz, luego una cruz, luego dos cruces y, finalmente, tres cruces. 
Si fuesen más lanzamientos hay que ser más cuidadoso, habría que ir aumentado, apoyándose en cada opción anterior, añadiéndole cara o cruz:   
ccc;     cccc,ccc+;    ccccc,cccc+,ccc+c,ccc++; .................. 

Sobre esta estructura se pueden buscar los sucesos a estudiar. Por ejemplo, supongamos que lanzamos la moneda tres veces y queremos averiguar la probabilidad de que salgan al menos dos cruces. El suceso lo construimos mirando la lista:

A={c++, +c+, ++c, +++}

Todos los sucesos elementales lanzados con una moneda ideal son igualmente probables. En el suceso A hay 4 opciones, en el espacio muestral hay 8, y la probabilidad de A se mide dividiendo los casos favorables entre los posibles (Laplace), 4/8=0'5.

Describe el barrio

Describe tu barrio según la altura de los edificios.

Suponemos que los edificios está representados en la gráfica.

Tabla de frecuencias:
La variable estadística es la altura que tiene cada edificio.
Hay 6 edificios (n=6) con alturas que van desde 4 hasta 10 (rango=10-4=6).

altura	nº de pisos	frecuencia relativa	porcentaje
4	2	2/6=0'3333	33'33%
6	2	2/6=0'3333	33'33%
8	1	1/6=0'1667	16'67%
10	1	1/6=0'1667	16'67%

Medidas de centralización:
Moda=4 y 6
Altura media=(4x2+6x2+8x1+10x1)/6=6'33
Mediana=6

Buscando motivación

Es posible encontrar matemáticas en todo, entonces, ¿por qué muchos estudiantes no encuentran motivación?
Veamos, ¿qué matemáticas hay en el desayuno que hacemos a diario?:
- Tomamos una traza de café con leche o de cacao con leche.
- Unas galletas o copos.
- Un zumo de naranja.
El café o el cacao supone una cantidad aproximada de unos 200 ml.
Las galletas pueden ser unos 150 g.
El zumo unos 100 ml.
La proporción de café en leche supongamos que es de 1 una parte de café por 5 de leche, 1/5. Ponemos una cuchara sopera de cacao en polvo por taza de leche.
Supongamos que tomamos alrededor de 8 galletas por taza, o bien, tres cucharadas de copos por taza de leche.
La forma de las galletas es rectangular mientras que los copos suelen ser irregulares.  Se supone que la energía de los hidratos de carbono de galletas y copos puede ser semejante.
Las naranjas son aproximadamente redondas y con 3 sacamos los 100 ml. Cada una aporta aproximadamente 33,33 ml.
El 10% de las galletas suelen estar rotas. El 2% de las naranjas suelen estar estropeadas.
El tetrabrik de la leche, el paquete de galletas y el de los copos suelen ser un paralelepípedo.
Cada paquete de galletas da para 5 desayunos.
El tiempo que tardamos en tomar el desayuno es de unos 15 min.
................
La cantidad de vitamina C que tomamos en cada vaso ......
La cantidad de proteínas que hay en la leche .............
La cantidad de grasa que hay en la leche..............
................
Lo que supone de aporte energético con respecto a las necesidades diarias.........
Según la pirámide alimentaria son alimentos que podemos tomar a diario.
Podemos completar el desayuno con ....
Si compramos la marca de cacao X ahorramos .....
...............
El precio del desayuno es de ..........
..............

Ciclo de aprendizaje

El ciclo de aprendizaje queda definido por la siguiente grafica:

Cada fase a su vez sigue un ciclo de aprendizaje que asume una persona.
El ciclo grupal, el que recorre un grupo, tiene estas fases:

1. La motivación procura que se pueda identificar una realidad que hay que superar.
2. La experimentación provoca pequeños gestos de valor que sumados ayudan a resolver el problema y espera que los demás hagan.
3. La conceptualización es el uso de ideas que son eficaces en la resolución.
4. El procesamiento es el esfuerzo que hay que hacer comprobando el funcionamiento de las ideas buscando alcanzar ya objetivos.
5. La mecanización es la técnica, la práctica en la resolución de los problemas siguiendo el modo científico.
6. La consolidación es el habito siguiendo un método, para volver a usar lo que ya hemos visto que sirve.
7. La evaluación es la valoración final de lo que tenemos buscando un criterio para seguir mejorando. El ciclo puede volver a redefinir el problema y volver a realizarse.

La equivalencia en matemáticas (2)

Me preguntan para qué sirven las fracciones equivalentes, aquí va una respuesta:

Supongamos que tenemos dos vasos de limonada simbolizados en el gráfico. Uno tiene dos partes de limón y tres de agua, y el otro, una de limón y dos de agua. Queremos averiguar cuál es el vaso que tiene un  sabor más intenso. En matemáticas simbolizamos la concentración del primero diciendo que el limón que contiene es 2/5 de la cantidad total, y la del segundo, diciendo que el limón que contiene es 1/3 del total. Si dispusiésemos de 3 vasos como el primero y los juntásemos tendríamos que de 15 partes 6 serían de limón, o sea, la cantidad de limón sería 6/15 del total. Si tuviésemos 5 vasos como el pequeño y los juntásemos, también tendríamos 15 partes, de las cuales 5 serían de limón, los 5/15. Y como en ese caso esas cantidades tienen el total igual, 15 partes, ahora podemos comparar la parte del limón, y evidentemente 6 partes da más intensidad de sabor que 5.

2/5=6/15;  1/3=5/15;  2/5>1/3 porque 6/15>5/15

Para eso sirven las fracciones equivalentes.