Estructura de la DIVISIÓN

PROBLEMA: En un grupo de tres amigos, todos con igual número de hermanos, tienen en conjunto 6 hermanos, ¿cuántos hermanos tiene cada uno de ellos?

DIVISIÓN: Pensamiento inverso regular

6:3=2

Estructura del PRODUCTO

PROBLEMA: En un grupo de 3 amigos, cada uno tiene dos hermanos, ¿cuántos hermanos tienen en conjunto?

PRODUCTO: Pensamiento directo regular

3·2=6

Estructura de la RESTA

PROBLEMA: En un árbol había 7 manzanas y se comieron 4 de ellas, ¿cuántas quedan?

RESTA: Pensamiento inverso

7-4=3

Estructura de la SUMA

PROBLEMA: Un árbol tiene dos ramas, de una cuelgan 4 manzanas y de otra 3 manzanas. ¿Cuántas manzanas tiene el árbol?

SUMA: PENSAMIENTO DIRECTO

4+3=7

Un problema de pensamiento "lateral" para iniciar las inecuaciones

PROBLEMA: Un manzano manzanas tenía. Al manzano subí y manzanas no comí. Al bajar manzanas no quedaron.

RAÍZ: Pensamiento inverso irregular reiterado

Hay que tener en cuenta el plural "manzanas" porque son los datos de partida. En el árbol había manzanas (2 o más). Manzanas no comí (comió 0 ó 1). Manzanas no quedaron (quedan 0 ò 1)

SOLUCIÓN: Había 2 manzanas y comió 1, quedando 1

Un problema de lógica

PROBLEMA: Alice, Bob y Charlie son tres hermanos muy honestos que siempre dicen la verdad. Están sentados en fila india, uno delante del otro: Alice; Bob; Charlie. Su padre les pone un sombrero de color azul o rojo a cada uno. Alice puede ver los sombreros de Bob y Charlie; Bob solo puede ver el de Charlie; y este último no puede ver ninguno. 
Su padre les dice: “Cada uno lleva un sombrero rojo o azul. Al menos uno de vosotros tiene un sombrero de color rojo”. 
Alice primero y luego Bob dicen que no saben el color de sus sombreros. ¿De qué color es el de Charlie?

RAÍZ: PENSAMIENTO INVERSO IRREGULAR REITERADO

HAY QUE PONERSE EN LA SITUACIÓN DE ALICE Y VER QUE POSIBILIDADES HAY CON LO QUE VE Y LA CONDICIÓN QUE DICE EL PADRE. LUEGO EN LA DE BOB CON LO QUE VE, LA CONDICIÓN, LO QUE DICE EL PADRE Y ALICE. LUEGO EN LA DE CHARLIE CON LO QUE VE, LA CONDICIÓN, LO QUE DICE EL PADRE, LO QUE DICE ALICE Y LO QUE DICE BOB


PADRE: CADA UNO LLEVA UN SOMBRERO ROJO O AZUL
PADRE: AL MENOS UNO LLEVA UN SOMBRERO ROJO
ALICE: NO SABE EL COLOR DE SU SOMBRERO

CONCLUSIÓN DE CHARLIE: ALICE VE QUE HAY ALGÚN SOMBRERO ROJO POR DELANTE, SINO EL SUYO TENDRÍA QUE SER ROJO

BOB: NO SABE EL COLOR DE SU SOMBRERO DESPUÉS DE ESCUCHAR A ALICE

CONCLUSIÓN DE CHARLIE: BOB VE QUE CHARLIE TIENE UN SOMBRERO ROJO PERO NO SABE SI EL SUYO ES AZUL O ROJO. SI VIESE QUE CHARLIE TENÍA UNO AZUL, POR LO QUE DIJO ALICE, EL SUYO SERÍA ROJO.

CHARLIE CONCLUYE QUE SU SOMBRERO ES ROJO

Un problema de razonar para iniciar el álgebra

Problema: Un hombre debe atravesar un río en una barca en la que sólo caben él y su gato, o él y el ratón, o él y los quesos. Si deja los quesos con el ratón, éste se los comerá, pero si deja al ratón con el gato, éste se comerá al ratón ¿Qué pude hacer para pasar al otro extremos del río a su gato, al ratón y quesos, sanos y salvos?

SUMAR: PENSAMIENTO DIRECTO
RESTAR: PENSAMIENTO INVERSO
Aquí sumar es juntar cosas y restar es quitar cosas, sin importar las cantidades pero sí las consecuencias

Evidentemente el hombre tiene que hacer tres viajes como mínimo. Sólo puede dejar juntos al gato con los quesos. Hace el primer viaje llevando a los ratones, vuelve de vacío y lleva al gato en el segundo viaje, pero vuelve con los ratones. En el tercer viaje lleva los quesos y vuelve de vacío para llevar los ratones. 

Operaciones:
H=hombre, R=ratones, Q=quesos, G=gato, orillas A y B
G+R=G, H(G+R)=H(G+R)
R+Q=R, H(R+Q)=H(R+Q)
G+Q=G+Q, H(G+Q)=H(G+Q)
H(G+R+Q)-H(Q)=G+R=G
H(G+R+Q)-H(G)=R+Q=R

Inicio: A(H(G,Q,R)) —— B()

Viaje 1: A(G+Q) —H(R)àB()

Vuelta viaje 1: A(G+Q)ßH()—B(R)

Viaje 2: A(Q) —H(G)àB(R)

Vuelta viaje 2: A(Q)ßH(R)—B(G)

Viaje 3: A(R)—H(Q)àB(G)

Vuelta viaje 3: A(R)ßH()—B(G+Q)

Viaje 4: A()—H(R)àB(G+Q)

Final: A()——B(H(G+Q+R))

Un problema absurdo

PROBLEMA: En un barco hay 26 corderos y 10 cabras. ¿Cuál es la edad del capitán?

Aunque en el enunciado hay datos numéricos, lo primero es ver si hay relación entre los mismos con lo que se pide averiguar. En este caso no hay ninguna coherencia entre la carga que lleva el barco y la edad del capitán. 

Un problema clásico (Euler)

PROBLEMA: Un padre de tres hijos dejó en herencia 1600 coronas. El testamento precisaba que el primogénito debía recibir 200 coronas más que el segundo y el segundo 100 coronas más que el último. ¿Qué cantidad recibió cada uno de los hijos?

PASADO: RESTA
CAMBIO: DIVISIÓN
REALIDAD: SUMA

HAY QUE IMAGINAR QUE SE ESTÁ ENTREGANDO LA HERENCIA A LOS HIJOS: DEL TOTAL DE LA HERENCIA HAY QUE DESCONTAR LO QUE SE LE DA AL SEGUNDO Y AL PRIMOGÉNITO DE MÁS, DESPUÉS SE REPARTE LOS QUE QUEDA EN PARTES IGUALES Y, FINALMENTE, SE SUMA CADA PARTE A LO QUE SE LE DIO YA AL SEGUNDO Y AL PRIMOGÉNITO PARA SABER LO QUE LLEVA CADA UNO.

Pensamiento:
Inverso=Del total de la herencia hay que descontar las 100 coronas de más que hay que dar al segundo. Es una posición del pasado de lo que había de herencia.
Directo=Si al segundo se le dan 100 y al primogénito hay que darle 200 más que a este, entonces al primogénito hay que darle 300 coronas. Es lo que realmente hay que dar al primogénito de más.
Inverso=De lo que queda de la herencia hay que descontar 300 coronas que hay que darle ya al primogénito. Es una posición del pasado de lo que había de herencia.
Inverso regular=De lo que queda de la herencia, una vez desquitado lo que se dio al primogénito y al segundo, se hace un reparto por igual a los tres, ya no hay deferencias y se acaba de pagar el total de la herencia. Es el ciclo de repartir en el que todos llevan la misma parte.
Directo=Averiguamos lo que se lleva el segundo, sumando las 100 coronas con lo que le toca en el reparto igualitario. Es lo que realmente se lleva el segundo.
Directo=Averiguamos lo que lleva el primogénito, sumando las 300 coronas con lo que le toca en el reparto. Es lo que realmente se lleva el primogénito.

RESTA (1600-100=1500), SUMA (100+200=300), RESTA (1500-300=1200), DIVIDE (1200:3=400), SUMA (400+100=500), SUMA (500+200=700)

Solución: 400, 500 y 700 coronas

Potencias y exterior

PROBLEMA DE APLICACIÓN DE POTENCIAS
Hay 7 casas: en cada casa hay 7 gatos, cada gato mata 7 ratones, cada ratón se  comió 7 espigas de trigo. ¿Cuántas espigas de trigo se comieron en total los ratones?

Exterior: Potencias

¿Por qué es exterior? Exterior significa que está fuera de algo y para hablar de lo que está fuera hay que establecer clasificaciones. En este caso los gatos y ratones están dentro de las casas (que definen lo que está dentro y lo que está fuera) pero los ratones van afuera a comer las espigas de trigo (suponemos que están en el campo). Los gatos se los comen bien dentro o bien fuera de estas. Pero, para contabilizar casas hay que hacerlo desde fuera de estas. Y para contabilizar los gatos que hay en cada casa, los ratones que come cada gato o las espigas que come cada ratón, hay que hacer una investigación de "campo".

PRIMERO HAY QUE CONTAR LOS GATOS QUE HAY EN LAS CASAS, LUEGO LOS RATONES QUE SE COMEN LOS GATOS Y, FINALMENTE, LAS ESPIGAS QUE SE COMEN LOS RATONES.

Exterior: Es un proceso de recuento directo, en cada paso hay que hacer la misma multiplicación, multiplicar por 7, luego es un pensamiento regular reiterado, 7·7·7·7=7⁴=2041 espigas

Problema de multiplicaciones y divisiones

Problema: Las dimensiones del césped de un campo de fútbol son, como máximo, de 110 por 90 metros. Si un monte de 2000 hectáreas se quema en un incendio, ¿a cuántos campos de fútbol equivale, aproximadamente, la superficie quemada? 

INTERIOR: MULTIPLICAR

CAMBIO: DIVIDIR

LO PRIMERO ES COMPARAR EL INTERIOR DEL CAMPO DE FÚTBOL Y DEL MONTE, DARSE CUENTA QUE ESTÁN EN DISTINTAS UNIDADES Y PONERLO EN LAS MISMAS UNIDADES. DESPUÉS FRAGMENTAR EL MONTE EN CAMPOS DE FÚTBOL, HACER ESTE TRABAJO DE IR CAMBIANDO MONTE QUEMADO POR CAMPO DE FÚTBOL, E IR CONTABILIZANDO CUÁNTOS CABEN.



INTERIOR: La superficie de un campo de fútbol se obtiene multiplicando el largo por el ancho, 110·90=9900 m2

INTERIOR: La superficie del monte quemado es de 2000·10000=20000000 m2

CAMBIO: El reparto de la superficie del monte en campos de fútbol se hace dividiendo la superficie del monte entre la de un campo de fútbol, 20000000:9900=2020,202... Caben 2020 campos de fútbol de los grandes y pico.

Problema de logaritmos

Problema: Un grupo de teatro tiene un telón cuadrado cuyo lado mide 8 m. y necesitan transportarlo en la parte trasera de una camioneta cuya base mide 2 m. de largo por 1 de ancho. Si deciden ir doblando el telón por la mitad ¿Cuántas veces será necesario doblar el telón para que quepa en ese espacio?

REALIDAD=SUMA
FUTURO=LOGARITMO

HAY QUE HACER DOS COSAS CON LA MENTE: LA CONDUCTA A SEGUIR ES, PRIMERO DOBLARLO A LA MITAD PARA QUE QUEPA DE LARGO Y DESPUÉS DOBLARLO PARA QUE QUEPA DE ANCHO. 

FUTURO: Cada vez que se dobla se divide a la mitad la longitud. Si el largo son 2 m hay que hacer 2 divisiones, 8:2=4; 4:2=2. 

FUTURO: Si el ancho es 1 m hay que hacer 3 divisiones, 8:2=4; 4:2=2; 2:2=1. 

REALIDAD: El total de divisiones es la suma de las dos acciones: 2+3=5

Nota: No importa el orden en el cómo se hagan las dobleces.

Un problema de varios pasos

PASADO=RESTA
INTERIOR=PRODUCTO
CAMBIO=DIVISIÓN

Problema: En un taller de confección disponen de 4 piezas de tela de 50 m cada una. Con ellas van a confeccionar 20 trajes que necesitan 3 m de tela cada uno. Con el resto de la tela piensan hacer abrigos que necesitan 4 m cada uno. ¿Cuántos abrigos pueden hacerse?

HAY QUE HACER CUATRO COSAS (CON LA MENTE),  VER EL INTERIOR DE LAS PIEZAS DE TELA PARA CALCULAR LOS METROS DE TELA DE QUE SE DISPONE, SUPONER QUE SE REALIZAN LOS TRAJES Y VER EL INTERIOR DE LOS TRAJES PARA CALCULAR LOS METROS DE TELA QUE SE EMPLEARON, VOLVER AL PASADO PARA CALCULAR EL NEXO ENTRE LA TELA EMPLEADA EN LOS TRAJES Y LA TELA QUE HABÍA EN LAS PIEZAS, QUE SERÁN LOS METROS DISPONIBLES PARA HACER ABRIGOS, Y, FINALMENTE, PONERSE EN LA TAREA DE IR HACIENDO LOS ABRIGOS Y CONSUMIENDO LA TELA QUE QUEDA HASTA QUE SE ACABE.

INTERIOR: Hay 4 piezas de tela y cada pieza contiene en su interior 50 m. Todas tienen la misma cantidad, es una operación DIRECTA REGULAR, 4·50=200 m de tela en total.

INTERIOR: Cada uno de los 20 trajes que se van a confeccionar utiliza en su interior 3 m de tela. Suponemos que ya se confeccionaron, averigüemos los metros de tela empleados. Todos tienen la misma cantidad de tela, es una operación DIRECTA REGULAR, un producto,  3·20=60 m de tela se emplearán para los trajes.

PASADO: Si de la tela disponible se quita la que se emplea para hacer los trajes, suponiendo que ya pasó el hecho de que se hicieron los trajes, para saber la tela con la que se cuenta ahora es una operación INVERSA, una resta, 200-60=140 m sobran para hacer los abrigos.

CAMBIO: Todos los abrigos usan 4 m de tela. Si se piensa en la tarea de confeccionar los abrigos, cada 4 m empleados se cambia y se  utilizan otros 4 m, y así se va descontando los metros y contabilizando los abrigos confeccionados, es una operación INVERSA REGULAR, una división, 140:4=35 abrigos.

Un problema de dos pasos

PROBLEMA: Si una caja de galletas tiene 6 paquetes y cada uno de estos tiene 12 galletas, y se quieren repartir entre 9 niños, ¿cuántas galletas le tocan a cada uno de ellos?

HAY QUE HACER DOS COSAS (CON LA MENTE), VER EL INTERIOR DE LA CAJA PARA CONTAR CUANTAS GALLETAS HAY Y HACER EL TRABAJO DE REPARTIRLAS EN IGUAL CANTIDAD.

INTERIOR (contabilizar el numero total de galletas que hay dentro de la caja): Dentro de la caja de galletas hay 6 paquetes y cada uno tiene 12 galletas, calcular el número de galletas que hay en la caja con esta estructura es una operación "directa y regular", todos los paquetes tienen el mismo número de galletas, sería sumar 6 veces 12, por lo tanto hay que multiplicar, 6·12=72 galletas.

CAMBIO (hacer la tarea de repartir igual número de galletas entre los niños hasta que se repartan todas): El reparto de las 72 galletas entre los nueve niños es de igual número de galletas por niño, se hace el proceso de ir dando 9 galletas,  una a cada niño y cambiando al siguiente, comprobando que todos llevan la misma cantidad, es una operación "inversa regular", por lo tanto es una división, 72:9=8 galletas por niño. No sobra ninguna galleta porque la división es exacta.

HAY QUE USAR DOS OPERACIONES OPUESTAS EN EL FRACTAL: PRODUCTO-DIVISIÓN (Interior, Estructura, Lo mismo-Proceso, Tarea, Cambio) 

El fractal del APC a través de las operaciones aritméticas

H_j(E_i),  =((i,H_j-1(E₁)), (i,H _j-1(E₂)), (i,H _j-1(E₃)), (i,H _i-1(E₄)), (i,H _j-1(E₅)), (i,H _j-1(E₆)), (i,H _j-1(E₇)))

dimensión fractal log₃7=

DIRECTAS: SUMA, PRODUCTO, POTENCIA
INVERSAS: RESTA, DIVISIÓN, RAÍZ, LOGARITMO
RECURRENTES: POTENCIA, RAÍZ, LOGARITMO
DUALES: RESTA-LOGARITMO, PRODUCTO-POTENCIA, DIVISIÓN-RAÍZ
OPUESTAS: SUMA-RESTA, PRODUCTO-DIVISIÓN, POTENCIA-RAÍZ+LOGARITMO
COMPLEMENTARIAS: RESTA-DIVISIÓN, PRODUCTO-RAÍZ, POTENCIA-LOGARITMO