CUANDO LA PASIÓN NO PERMITE VER LA RAZÓN:
Hay chicos que parecen que están cegados para el aprendizaje matemático (y otros aprendizajes intelectuales), las causas pueden ser diversas pero la resultante es el comportamiento de ceguera ante las propuestas de aprendizaje. No son capaces de percibir esa realidad y por contra suelen desempeñar una frenética actividad en contra del aburrimiento que les provoca el aprendizaje. Si realizásemos el experimento de hacer asistir a clase a un buen estudiante con los ojos tapados, sin la posibilidad de ver la pizarra, ni el cuaderno, ni a profesor, ni a compañeros, probablemente con el paso de los días tendríamos los mismos resultados que aporta cualquier chico del que hablamos inicialmente. No son alumnos irrecuperables como éstos se consideran, no tienen una neurona de menos como llegan a decir, solamente hay que averiguar la causa de su ceguera, y, tal vez, lavándole los ojos recuperen la vista.
sábado, 28 de noviembre de 2009
sábado, 21 de noviembre de 2009
Empaquetando cubos
Una caja P(x) la puedo llenar con 5 cubos de volumen x3, con 2 paralelepípedos de volumen 1·x2 y con 4 cubos de volumen 1. Otra caja Q(x) la puedo llenar con 3 cubos de volumen x3, con 4 paralelepípedos de volumen 1·x2 pero me sobran 4 cubos de volumen 1. Si junto las cajas en una tercera, ¿qué cantidad de piezas tienen que caber al menos?.
jueves, 19 de noviembre de 2009
El espacio como escena
Dados los siguientes polinomios: P(x)=2x3+3x2-4x+3 y Q(x)=-3x3+4x2-5x-2; calcular su suma: P(x)+Q(x).
ORIENTACION:
Hay que considerar que P(x) y Q(x) son dos posiciones en el papel y que en todo momento los polinomios son una serie de posiciones ocupadas por los monomios. Hay que aproximar los monomios semejantes.
CAMINO:
En el lugar de P(x) y de Q(x) ponemos la expresión polinómica que les corresponde:
P(x)+Q(x)=2x3+3x2-4x+3 + (-3)x3+4x2-5x-2
Reordenamos juntando los monomios de igual grado:
P(x)+Q(x)=2x3-3x3 + 3x2+4x2 + (-4)x-5x + 3-2
Realizamos las operaciones entre los monomios de igual grado:
P(x)+Q(x)=-x3+7x2-9x+1
ORIENTACION:
Hay que considerar que P(x) y Q(x) son dos posiciones en el papel y que en todo momento los polinomios son una serie de posiciones ocupadas por los monomios. Hay que aproximar los monomios semejantes.
CAMINO:
En el lugar de P(x) y de Q(x) ponemos la expresión polinómica que les corresponde:
P(x)+Q(x)=2x3+3x2-4x+3 + (-3)x3+4x2-5x-2
Reordenamos juntando los monomios de igual grado:
P(x)+Q(x)=2x3-3x3 + 3x2+4x2 + (-4)x-5x + 3-2
Realizamos las operaciones entre los monomios de igual grado:
P(x)+Q(x)=-x3+7x2-9x+1
viernes, 13 de noviembre de 2009
Propuesta metodológica (8)
Un repositorio de ficheros de Maxima para alumnos de Bachillerato y ESO
Cálculo de los máximos y mínimos relativos de una función polinómica de tercer grado
Cálculo de puntos de inflexión para una función polinómica de cuarto grado
Integrales racionales
Área entre dos curvas
Ecuación de primer grado con paréntesis
Ecuación de segundo grado completa
Cálculo de los máximos y mínimos relativos de una función polinómica de tercer grado
Cálculo de puntos de inflexión para una función polinómica de cuarto grado
Integrales racionales
Área entre dos curvas
Ecuación de primer grado con paréntesis
Ecuación de segundo grado completa
martes, 3 de noviembre de 2009
Conseguir el conocimiento
The two galaxies happen to be oriented so that they appear to mark the number 10. The left-most galaxy, or the "one" in this image, is relatively undisturbed apart from a smooth ring of starlight. It appears nearly on edge to our line of sight. The right-most galaxy, resembling a zero, exhibits a clumpy, blue ring of intense star formation. The galaxy pair was photographed on October 27-28, 2008. Arp 147 lies in the constellation Cetus, and it is more than 400 million light-years away from.http://hubblesite.org/
¡Qué fuerte! ¿Como conseguir un 10 como este en Matemáticas? Pero, ¿cuantos kilómetros hay para ir hasta la constelación Cetus (La ballena)?. Y, yendo a la velocidad del mejor cohete posible, ¿cuánto tiempo tardaríamos?
La velocidad de escape del planeta Tierra es de 40221 Km/h. La del Sol es de 3204000 km/h. Eso quiere decir que para escapar de la atracción terrestre y del Sol hay que ir por encima de esas velocidades, respectivamente. Vamos a suponer que tenemos un cohete que nos permite salir del Sistema Solar a 3204000 km/h, ¿cuánto tardaríamos en llegar a Cetus?La velocidad de la luz suponemos que es 3·105 km/s, que en km/h sería, 3·105·3600 = 1,08·109 km/h. La luz tarda 400 millones de años en llegar desde la constelación Cetus hasta nosotros, o sea, 4·108·365·24 = 3,504·1012 horas. Por tanto hay 3,504·1012·1,08·109 = 3,784·1021 km de distancia. Un cohete que consiguiese salir con la velocidad de escape necesaria para salir del Sistema Solar tardaría 3,784·1021 /3,204·106 = 1,181·1015 horas = 1,181·1015/(365·24) = 1,348·1011 años. Un buen puñado de años. Tal vez haya un atajo.
Actividad hecha con el Maxima
domingo, 1 de noviembre de 2009
Construir el conocimiento
Definición: Una división entre naturales es exacta cuando el resto es cero:
Ejemplo: 45 dividido entre 3 da de cociente 15 y de resto 0 y por lo tanto es una división exacta.
Definición: Un número tiene por divisor a otro número cuando la división por ese número es exacta.
Ejemplo: 25 tiene por divisor al 5 porque al dividir 25 entre 5 da de resto 0.
Ejemplo: 24 no tiene por divisor al 5 porque el resto de la división de 24 entre 5 es 4.
Proposición: El 1 es divisor de cualquier número:
Demostración: Es obvio que al dividir cualquier número entre 1 da una división de resto cero.
Proposición: Todo número es divisor de sí mismo.
Demostración: Es obvio que al dividir cualquier número entre sí mismo da división de resto cero.
Definición: Un número primo es aquel que solo admite como divisores al mismo número o la unidad.
Ejemplo: El 2 es primo, el 3 es primo, el 5 es primo.
Ejemplo: El 4 no es primo porque es divisible por 2, y el 9 tampoco es primo porque es divisible por 3.
Definición: Un número que no sea primo se dice compuesto.
Ejemplo: El 14 es compuesto
Proposición: Todo número compuesto admite algún número primo como divisor.
Demostración: Si es compuesto admite un divisor distinto de 1 y del propio número. Si este divisor no es primo entonces es compuesto y a su vez admitirá un divisor primo o compuesto. Si seguimos así llegaremos a que en algún momento el divisor tiene que ser primo porque en última instancia llegaríamos a que sólo admite al 1 o al propio número como divisor y por lo tanto es primo.
Ejemplo: El 42 es compuesto y admite al 6 como divisor. Pero el 6 admite al 3 como divisor que es primo y por tanto el 3 también es divisor primo de 42.
Teorema: Existen infinitos números primos.
Demostración: Suponemos que existen sólo un número finito de números primos que numeramos así: p1, p2, p3, ...pn. Si consideramos el número que resulta de multiplicar todos esos números primos y sumarle el uno tendremos un nuevo número: q= p1· p2· p3· ...·pn+1; pues resulta que ese nuevo número también es primo, porque si lo dividimos por cualquiera de los primos pi da de resto 1; y si lo dividimos por cualquier número compuesto distinto de 1 y de q tampoco puede dar exacto porque sino habría un primo divisor. Como q es mayor que cualquier pi tal como se construyó estaríamos diciendo que hay más de n números primos contradiciendo la hipótesis de partida de que sólo había n. Entonces no podemos aceptar que haya un número finito de números primos.
Ejemplo: 45 dividido entre 3 da de cociente 15 y de resto 0 y por lo tanto es una división exacta.
Definición: Un número tiene por divisor a otro número cuando la división por ese número es exacta.
Ejemplo: 25 tiene por divisor al 5 porque al dividir 25 entre 5 da de resto 0.
Ejemplo: 24 no tiene por divisor al 5 porque el resto de la división de 24 entre 5 es 4.
Proposición: El 1 es divisor de cualquier número:
Demostración: Es obvio que al dividir cualquier número entre 1 da una división de resto cero.
Proposición: Todo número es divisor de sí mismo.
Demostración: Es obvio que al dividir cualquier número entre sí mismo da división de resto cero.
Definición: Un número primo es aquel que solo admite como divisores al mismo número o la unidad.
Ejemplo: El 2 es primo, el 3 es primo, el 5 es primo.
Ejemplo: El 4 no es primo porque es divisible por 2, y el 9 tampoco es primo porque es divisible por 3.
Definición: Un número que no sea primo se dice compuesto.
Ejemplo: El 14 es compuesto
Proposición: Todo número compuesto admite algún número primo como divisor.
Demostración: Si es compuesto admite un divisor distinto de 1 y del propio número. Si este divisor no es primo entonces es compuesto y a su vez admitirá un divisor primo o compuesto. Si seguimos así llegaremos a que en algún momento el divisor tiene que ser primo porque en última instancia llegaríamos a que sólo admite al 1 o al propio número como divisor y por lo tanto es primo.
Ejemplo: El 42 es compuesto y admite al 6 como divisor. Pero el 6 admite al 3 como divisor que es primo y por tanto el 3 también es divisor primo de 42.
Teorema: Existen infinitos números primos.
Demostración: Suponemos que existen sólo un número finito de números primos que numeramos así: p1, p2, p3, ...pn. Si consideramos el número que resulta de multiplicar todos esos números primos y sumarle el uno tendremos un nuevo número: q= p1· p2· p3· ...·pn+1; pues resulta que ese nuevo número también es primo, porque si lo dividimos por cualquiera de los primos pi da de resto 1; y si lo dividimos por cualquier número compuesto distinto de 1 y de q tampoco puede dar exacto porque sino habría un primo divisor. Como q es mayor que cualquier pi tal como se construyó estaríamos diciendo que hay más de n números primos contradiciendo la hipótesis de partida de que sólo había n. Entonces no podemos aceptar que haya un número finito de números primos.
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