El cuadrado del binomio

Tanto el cuadrado de la suma como el de la resta son dos clásicos del álgebra necesarios para desarrollar muchos cálculos algebraicos que surgen en la resolución de ecuaciones y sistemas. En sistemas no lineales como es el caso de:
x+2y=5
x²+y²=5

Se despeja x, se sustituye en el cuadrado y sale el cuadrado de la resta:
x=5-2y
(5-2y)²+y²=5

Siempre se puede hacer el cuadrado multiplicando (5-2y)(5-2y), sin embargo nos apoyamos en la fórmula genérica:
(a-b)²=a²-2ab+b²  

Se tienen entonces:
(5-2y)²=25-20y+4y²

Con lo que queda:
25-20y+4y²+y²=5
5y²-20y+20=0
......................

Muchos alumnos se olvidan del término central y ponen:
(5-2y)²=25-4y²

Cometiendo el típico error en el desarrollo y ya les va mal.

PERFIL DE LA CONCEPTUALIZACIÓN

Después de la experimentación viene la síntesis, hay que estructurar el conocimiento alcanzado y establecer los conceptos de fondo que permiten resolver el problema. Se hacen paralelismos. La pregunta clave es: ¿cuál es el sentido? Aun así la estructura o idea necesita convertirse en logro, por lo que se pasa a la fase de procesamiento.

PERFIL DE LA EXPERIMENTACIÓN

Para resolver un problema tenemos que contar con experiencia previa sobre el tema. Lo primero es recurrir a la memoria de algo que ya hemos experimentado anteriormente. Si estamos en una situación completamente nueva hay que experimentar con algo. La pregunta que hacemos es: ¿ésto que significa? Normalmente utilizamos cosas sencillas que ya dominamos y, poco a poco, vamos razonando en una dirección que nos lleva a la solución. Suele ocurrir que el razonamiento que surge para encontrar la solución se hace muy extenso y hay que intentar resumirlo.

PERFIL DE LA MOTIVACIÓN

La motivación debe de contener un situación de aprendizaje real, donde el alumno encuentra una utilidad en lo que tiene que aprender. Debe de responder a la pregunta de: ¿para que sirve?

Debe de contener elementos que ayuden a orientar la forma de encontrar la solución al problema que se plantea. En este apartado se resalta la importancia de utilizar las matemáticas. Evidentemente identificar un problema, por muy importante que sea, no implica solucionarlo, de ahí que sea necesaria la siguiente etapa, la experimentación.

UNIDAD DIDÁCTICA: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

MOTIVACIÓN:
Toda empresa tiene que saber cuál es la cifra de ventas anuales que debe de tener para nivelar gastos y a partir de ahí empezar a tener beneficios. A esta cantidad se le conoce como "punto de equilibrio".

Supongamos que una empresa tiene unos costos fijos en fabricar un determinado producto anualmente de 500 euros (estos costos son por tener la fábrica abierta). Si cada producto que fabrica cuesta 3 euros y fabrica x productos, tiene un costo variable de 3x euros. El coste total y es la suma del coste fijo más el variable:
y=500+3x
Ahora supongamos que los x productos los vende a 4 euros cada uno, los ingresos son 4x. Como queremos averiguar cuándo los ingresos son coincidentes con los costes de fabricación:
y=4x

Por lo tanto tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. El resultado de x es el número de productos que debe vender, e y el coste total de fabricación de esos x productos que es igual al ingreso por la venta de esos x productos. En ese momento la fabrica no pierde ni gana nada, pero sabe a partir de qué cantidad de productos o gasto, empieza a ganar dinero.

El inconveniente está en que hay que tener una forma de resolver un sistema.

ACTIVIDAD: Imaginar ejemplos de empresas que tienen que buscar el punto de equilibrio planteando sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

EXPERIMENTACIÓN:
Para resolverlo vamos simulando valores de producción x, y calculamos costes e ingresos hasta que coincidan

Nº de Productos	Coste	Ingreso
10	530	40
20	560	80
100	800	400
300	1400	1200
400	1700	1600
500	2000	2000

Entonces, a partir de 500 productos, un coste de producción de 2000 euros y de ingresos de 2000 euros, es cuando se empezaría a ganar dinero.

El inconveniente está en que puede ser muy largo el encontrar la solución y puede que no sean soluciones enteras.

ACTIVIDAD: Resolver los ejemplos de la actividad anterior con ayuda de tablas.

CONCEPTUALIZACIÓN:
Si representamos en una gráfica las dos ecuaciones con algunos de los valores de las tablas anteriores vemos que cuando coinciden Costes e Ingresos es en x=500. La gráfica puede llevar a imprecisión cuando los resultados son altos o no enteros.
Los gastos ya empiezan con 500 euros, en el eje Y para los pares (Nº de Productos, Gastos). Mientras que para los pares (Nº de Productos, Ingresos) empiezan en el origen de coordenadas. Conforme aumentan los productos los gastos se incrementan de 3 en 3, la recta tiene pendiente 3, mientras que los ingresos de 4 en 4, pendiente 4, por lo que es de esperar que los ingresos lleguen a alcanzar a los costes, en el punto de corte de las rectas (punto de equilibrio)
El punto de corte de las dos rectas (solución las ecuaciones lineales) se obtiene igualando las y:
y=500+3x=4x
despejando
500=4x-3x; x=500; y=4·500=2000

El sistema tiene solución única cuando las rectas se cortan en un punto. Si las rectas son paralelas el sistema no tiene solución. Y si la rectas son coincidentes hay infinitas soluciones.

El inconveniente es que encontrar la solución de forma gráfica no tiene precisión.

ACTIVIDAD: Representar gráficamente las ecuaciones de la actividad anterior y encontrar las soluciones de forma gráfica

RECURSOS: Utilizar una hoja de cálculo para la tabla y la representación gráfica

PROCESAMIENTO:
Cuando tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales, en general serán dos rectas que si vienen dadas por sus ecuaciones explícitas:
y=2x+4
y=-3x-6
se pueden resolver igualando las y:
2x+4=-3x-6; 2x+3x=-6-4; 5x=-10; x=-2; y=2(-2)+4=0

En general las rectas pueden estar definidas por ecuaciones implícitas:
2x+3y=-4
3x-5y=13
En cuyo caso podemos resolver el sistema por este proceso de igualación pasando a las ecuaciones explícitas, despejando y e igualando:
3y=-2x-4; y=(-2x-4)/3; -5y=-3x+13; 5y=3x-13; y=(3x-13)/5; (-2x-4)/3=(3x-13)/5; 5(-2x-4)=3(3x-13)
-10x-20=9x-39; -10x-9x=-39+20; -19x=-19; x=1; 2·(1)+3y=-4; 3y=-4-2; 3y=-6; y=-6/3=-2

Ante un sistema de ecuaciones lineales donde las rectas están definidas por las ecuaciones implícitas puede resultar engorroso despejar la y en las dos ecuaciones. Como el objetivo es convertir el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas en uno de una ecuación y una incógnita, podemos despejar una vez una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra.

En el sistema anterior si se despeja y en la primera ecuación y se sustituye en la segunda,
y=(-2x-4)/3; 3x-5(-2x-4)/3=13; 9x+10x+20=39; 19x=19; x=1 
Con lo que se abrevian los cálculos

El inconveniente es que hay que llevar los cálculos con precisión sin cometer un error que ya se propagaría.

ACTIVIDAD: Plantear y resolver sistemas de ecuaciones lineales por igualación o sustitución. partir de soluciones enteras dadas para plantearlos.


MECANIZACIÓN:
Supongamos un sistema escrito en forma implícita:
a₁x+b₁y=c₁
a₂x+b₂y=c₂
y=(c₁-a₁x)/b_1; y=(c₂-a₂x)/b_2
Igualando
(c₁-a₁x)/b₁₌(c₂-a₂x)/b_2; b₂c₁-b₂a₁x=b₁c₂-b₁a₂x; -b₂a₁x+b₁a₂x=-b₂c₁+b₁c_2; x(a₂b₁-a₁b₂)=b₁c₂-b₂c_1
Ordenamos
x(a₁b₂-a₂b₁)=c₁b2-c₂b_{1
Y despejando}
x=(c₁b₂-c₂b₁)/(a₁b₂-a₂b₁)
si hacemos lo mismo con la y sale como fórmula:
y=(a₁c₂-a₂c₁)/(a₁b₂-a₂b₁)
Se puede mecanizar el proceso con ayuda de los coeficientes del sistema y los términos independientes, usando los productos cruzados.
Como es un cociente hay solución si a₁b₂-a₂b₁<>0

Por ejemplo:
-2x+5y=7
3x+2y=-1
No fijamos en los coeficientes de x e y. El denominador es el producto de las dos diagonales restado, y el numerador par x también pero usando termino independientes en lugar de los coeficientes de x. Para y se usa en el numerador el producto cruzado pero sustituyendo los coeficientes de y por los términos independientes.
x=(7·2-(-1)·5)/(-2·2-3·5)=-1
y=(-2·(-1)-3·7)/(-2·2-3·5)=1

El inconveniente está en que se puede perder el fundamento y no ser capaces de repetir el procedimiento.

ACTIVIDAD: Resolver los sistemas de ecuaciones lineales de la actividad anterior con ayuda de la fórmula

RECURSOS: Utilizar Microsoft Mathematics para resolver los sistemas y comprobar las soluciones

CONSOLIDACIÓN:
1º) En primer lugar cuando se tienen un sistema lineal de ecuaciones debemos de comprobar si a₁b₂-a₂b_{1 es cero.} Si fuese así indicaría que los coeficientes de las dos ecuaciones son proporcionales:
a₁b₂=a₂b₁
a₁/a₂=b₁/b₂

• Y si además los numeradores son distintos de cero entonces no puede haber solución, las rectas son paralelas.
•  Pero si los numeradores son cero es que las dos ecuaciones son proporcionales: a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂

<sub>Luego las dos ecuaciones son la misma recta, hay infinitas soluciones.

2º) Si el denominador no es cero es que las rectas se cortan en un punto, hay solución única.</sub>

Para solucionarla acudimos a la fórmula, o bien, elegimos los coeficientes de una de las dos variables y multiplicamos ambas ecuaciones por dichos coeficientes intercalados. Restando las ecuaciones resultantes tenemos una reducción del sistema a una sola incógnita y ya se puede resolver.

• En el caso de no solución desaparecerían las dos incógnitas.
• En caso de infinitas soluciones desaparecería todo.

Por ejemplo:
_4x-5y=-11
3x+2y=9
Multiplicamos la primera por 3 y la segunda por 4
12x-15y=-33
12x+8y=36
Restamos
-23y=-69; y=3
3x+6=9; x=1

El problema es cómo establecer esos coeficientes para construir los sistemas a partir del contexto de los problemas.

ACTIVIDAD: Resolver los sistemas de ecuaciones lineales de la actividad anterior por reducción

EVALUACIÓN:
Los problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones lineales usan dos variables. Las relaciones que existen suelen ser de proporcionalidad directa y la suma o resta da un valor conocido.
Cada ecuación puede referirse a conceptos diferentes, nº de productos y precios, o pesos y precios, ....
El método de resolución a emplear depende bastante de cómo estén escritas las ecuaciones. Antes de ponerse a resolverlo se debe de arreglar para que esté escrito en forma estandar.

Resolver los siguientes problemas:

1) Un tendero tiene café del tipo natural a 15 euros/kg y del tipo torrefacto a 10 euros/kg. Quiere preparar 20 kg de mezcla de ambos tipos y que le salga el precio a 12 euros/kg, ¿qué cantidad debe mezclar de cada tipo?

2) He comprado 5 latas de refresco y 4 botellas de agua por 6 €. Posteriormente, con los mismos precios he comprado 4 latas de refresco y 6 botellas de agua y me han costado 6,20 €. Halla los precios de ambas cosas.

3) En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?

UNIDAD DIDÁCTICA: La recursividad en el recuento

MOTIVACIÓN:
Supongamos que queremos contar cuantas monedas de un euro tenemos en un grupo en fila:

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Esto nos ha pasado alguna vez, por ejemplo cuando recogemos dinero en la escuela para hacer una excursión. Podemos contar en pequeños grupos y juntar los subtotales.
Actividad: Relata situaciones reales en las que hay que hacer recuentos

EXPERIMENTACIÓN:
Podemos ir contando de una en una desde el principio, pero lo que solemos hacer habitualmente, sobre todo para no equivocarnos, es contar no todo el grupo sino subgrupos más pequeños, por ejemplo de cinco en cinco:

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1

En realidad sumamos de cinco en cinco mientras haya subgrupos y añadimos las últimas monedas restantes. Da un total de 33
Actividad: ¿Qué formas de recuento empleas usualmente?

CONCEPTUALIZACIÓN:
Reducimos el problema de contar a un tamaño más pequeño, el caso base es cuando hay menos de cinco monedas que contar y  al final podemos tener el recuento total.
El algoritmo queda así:

Total=0
Cuenta(el grupo que hay)
            si hay monedas suficientes tacha 5
            Total = Total+5
            Cuenta(el grupo que hay-5 tachadas)
                  sino
            Total=Total+ las monedas sobrantes
            fin si
fin Cuenta
Actividad: ¿Cómo ampliarías la estructura si además tienes que hacer el recuento automático del número de subgrupos?
PROCESAMIENTO:
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=0
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=0+5=5
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=5+5=10
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=10+5=15
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=15+5=20
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=20+5=25
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=25+5=30
Monedas sobrantes=3
Total=30+3=33
MECANIZACIÓN:
Podemos esperar al final para contar.
Tachamos y cuando llegamos a las monedas sobrantes empezamos a contar
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Ahora contamos el número de subgrupos de cinco que hay, salen 6, y sobran 3, por lo tanto el total de monedas de un euro que tenemos es: 5·6+3=33.

Total=5·número de subgupos de cinco+monedas sobrantes

Puede utilizarse un ábaco o regletas para tal fin si no se puede tachar lo que contamos.
Actividad: ¿Cónoces otras herramientas que se puedan utilizar para hacer un recuento?

CONSOLIDACIÓN:
Ante una nueva situación de recuento los pasos a seguir son:
1º. Elegir de cuanto en cuanto queremos contar. Lo habitual es contar de cinco en cinco, pero según lo que contemos y el tamaño también podemos variar esta cantidad. Si hay que contar 358 unidades podemos agrupar de 10 en 10, o de 20 en 20.
2º. A continuación ver el número que nos va a sobrar en el último paso. Si contamos de 10 en 10 sobraran menos de 10 en el último caso. Incluso se pueden hacer recuentos recursivos de 100 en 100 , pero en este caso hay que tener en cuenta que tengamos una buena técnica para no equivocarse.
3º. Hay contar bien el número de grupos y multiplicar por la cantidad que contamos por grupo. Y finalmente sumar lo que sobra.
Actividad: ¿Qué pasos seguirías si tuvieras que hacer el recuento de un número determinado de puntos del plano?
EVALUACIÓN:
¿En qué casos emplear un recuento recursivo?
Evidentemente si son pocas unidades se cuentan de seguido. A partir de cantidades de más de dos cifras se hace necesario hacerlo de forma recursiva.  También es importante asignar nombre a los subgrupos, por ejemplo lustros para años, docenas para productos alimenticios, .. Tiene que haber un compromiso entre la cantidad de cada subgrupo y el número de subgrupos, puesto que también hay que contar el número de subgrupos.

Actividad: ¿Ha habido distintas formas de contar según las civilizaciones? ¿El sistema de numeración decimal tiene que ver algo con el recuento?

Probabilidad condicionada

En los experimentos aleatorios empezamos por hacer una extracción, por ejemplo sacar una carta de una baraja de 40. Si encadenamos experimentos aleatorios o hacemos extracciones consecutivas estamos ante un experimento compuesto, por ejemplo sacar una segunda carta de la baraja suponiendo que la primera quedó fuera. La probabilidad en las extracciones consecutivas puede quedar condicionada por lo que ocurre con anterioridad, así, por ejemplo, supongamos que extraemos dos cartas sin reemplazamiento, la probabilidad de sacar una figura la segunda vez puede variar según lo que haya salido la primera vez:

• Si la 1ª vez no salió figura, en la 2ª vez la probabilidad es 12/39, ya que hay 12 figuras en las 39 cartas que quedan. Decimos que la probabilidad de salir figura condicionada por haber salido "no figura" es P(figura2ª/no_figura1ª)=12/39=4/13.
• Si la 1ª vez sale figura, en la 2ª extracción la probabilidad de salir figura condicionada por ese hecho es P(figura2ª/figura1ª)=11/39, ya que en la 2ª extracción sólo quedan 11 figuras de 39 cartas.

¿Ahora cómo calculamos la probabilidad encadenada?¿Cuál es la probabilidad de sacar figura1ª y figura2ª? Supongamos que hacemos el experimento encadenado 100 veces. El número de veces que esperamos que ocurra figura1ª es (12/40)·100=30 y en la segunda extracción, de esas 30 ocurrencias que salio figura1ª, esperamos que salga figura2ª (11/39)·30=8.46 veces (aprox.), o sea, el 8.46% de las veces, entonces P(figura1ª y figura2ª)=(12/40)·(11/39), y se cumple que:

P(figura 1ª y figura 2ª)=P(figura 1ª)·P(figura2ª/figura1ª)

Matemáticas en "El buscón"

.............

Preguntóme si iba a Madrid por línea recta, o si iba por camino circumflejo. Yo, aunque no lo entendí, le dije que circumflejo. Preguntóme cúya era la espada que Ilevaba al lado.

Respondíle que mía, y mirándola, dijo: -"Esos gavilanes habían de ser más largos, para reparar los tajos que se forman sobre el centro de las estocadas". Y empezó a meter una parola tan grande, que me forzó a preguntarle qué materia profesaba. Díjome que él era diestro verdadero, y que lo haría bueno en cualquiera parte. Yo, movido a risa, le dije: -"Pues, en verdad, que por lo que yo vi hacer a v. m. en el campo denantes, que más le tenía por encantador, viendo los círculos". -"Eso" -me dijo- "era que se me ofreció treta por el cuarto círculo con el compás mayor, cautivando la espada para matar sin confesión al contrario, porque no diga quién lo hizo, y estaba poniéndolo en términos de matemática". -"¿Es posible" -le dije yo- "que hay matemática en eso?". -"No solamente matemática" -dijo-, "mas teología, filosofía, música y medicina". -"Esa postrera no lo dudo, pues, se trata de matar en esa arte". -"No os burléis" -me dijo-, "que ahora aprendo yo la limpiadera contra la espada, haciendo los tajos mayores, que comprehenden en sí las aspirales de la espada". -"No entiendo cosa de cuantas me decís, chica ni grande". -"Pues este libro las dice" -me respondió-, "que se llama Grandeza de la espada, y es muy bueno y dice milagros; y, para que lo creáis, en Rejas que dormiremos esta noche, con dos asadores me veréis hacer maravillas. Y no dudéis que cualquiera que leyere en este libro, matará a todos los que quisiere". -"U ese libro enseña a ser pestes a los hombres, u le compuso algún doctor". -"¿Cómo doctor? Bien lo entiende" -me dijo-: "es un gran sabio, y aun, estoy por decir, más"

..................

Francisco de Quevedo (El buscón) 

Un producto igual a cero implica que algún factor debe de ser cero

Esta ley matemática suele ser difícil de comprender por parte de los alumnos: si un producto es cero algún factor debe de ser cero.

Cuando multiplicamos números en la aritmética y el resultado es cero, necesariamente algunos de los factores debe de ser cero, 4·5·0·8=0. No es posible que de cero si ninguno no lo es. No puede quedar la duda de que haya algunos números "tramposos" que sin ser cero hagan que el producto sea cero.

En ecuaciones polinómicas se suele factorizar el polinomio para utilizar esta ley, x^2-5x+6=0 se convierte en (x-3)(x-2)=0. Ahora razonamos, un producto de dos factores igual a cero implica que alguno de ellos debe de ser cero. Si x-3=0, entonces x=3, y si x-2=0 entonces, x=2, por tanto 2 y 3 son las soluciones. El razonamiento es correcto, sin embargo algunos alumnos no están convencidos y preguntan, si siempre que tengan la factorización deben de igualar a cero cada factor, prefieren afianzar su aprendizaje en una ley garantizada por el profesor.

Expandir y contraer, dos estrategias matemáticas

En muchas ocasiones interesa expandir las expresiones matemáticas, en otras contraerlas. Las reglas permiten hacer este proceso: por ejemplo, la regla del logaritmo del producto dice que, log(x·y) = log(x)+log(y) (esto es válido en cualquier base). Aplicar la regla de izquierda a derecha se puede considerar una expansión, mientras que hacerlo de derecha a izquierda sería una contracción. Pues bien, en determinados casos se aplica la expansión como cuando queremos simplificar cálculos haciendo sumas en lugar de productos, log(2·100) = log(2)+log(100) = 0' 0.301029996+2 = 2' 0.301029996 y el antilogaritmo es en este caso 200 (este caso es trivial pero ejemplifica el que fue uno de los propósitos iniciales de los logaritmos en sus comienzos (Neper)). Otras veces es necesario contraer como ocurre cuando se resuelve una ecuación logarítmica, como es el caso del siguiente ejemplo: log(x+3)+log(5) = log(x), log(5x+15) = log(x), 5x+15 = x, x = 15/4.

Entonces aparte de reglas también existen estrategias matemáticas que sería conveniente definir junto con las reglas, como puede ser la expansión o la contracción de expresiones matemáticas.

Siete operaciones

En aritmética hay siete operaciones, con su relación de inversión y su repetición.
Suma y resta:
2+3=5//5-2=3 ó 5-3=2
Multiplicación (suma repetida) y división (resta repetida)
2·3=6//6:2=3 ó 6:3=2
Potencia (producto repetido) y raíz y logaritmo (división repetida)
2^3=8//raíz cúbica(8)=2  y  log₂(8)=3 (el 8 es divisible por 2 tres veces repetidamente)
La primera cuestión es averiguar por qué se rompe la simetría y salen dos operaciones diferentes. El caso es que se distingue en la potencia la base del exponente, entonces en el proceso inverso hay que distinguir si se busca la base o el exponente. En las restas y las divisiones, averiguar los sumandos o los multiplicandos es indistinto por la propiedad conmutativa, pero en el caso de la potencia base y exponente no son intercambiables salvo que coincidan. En este caso se ve que aparte de la operación inversa o la repetición influye la posición, estos tres factores están en las operaciones y por tanto en toda la aritmética.

Las cuatro reglas cartesianas, ¿son suficientes?

1) Evidencia: No admitir jamás como verdadero cosa alguna sin conocer con evidencia que lo era.
2) Análisis: Dividir cada una de las dificultades que examinase en tantas partes como fuera posible y como requiriese para resolverlas mejor.
3) Síntesis: Conducir por orden los pensamientos, comenzando por los objetos más simples y más fáciles de conocer para ascender poco a poco, como por grados, hasta el conocimiento de los más compuestos.
4) Comprobación: Realizar en todo unos recuentos tan completos y unas revisiones tan generales que pudiese estar seguro de no omitir nada.

Estableciendo un paralelismo con el APC:

Evaluación: Establece los criterios para que las cosas estén bien hechas
Mecanización: Piensa los resultados para que se puedan automatizar
Conceptualización: Establece la estructura que soporta el conocimiento
Procesamiento: Explica como funcionan las cosas
Experimentación: Asocia el nuevo conocimiento con lo que ya has vivido
Consolidación: Establece un método para que se pueda volver a obtener el repetir
Motivación: Busca la utilidad de las cosas

Evidencia vs Evaluación
Análisis vs Mecanización
Síntesis vs Conceptualización
Comprobación vs Procesamiento

Faltarían las reglas que se corresponden con la experimentación, la consolidación y la motivación.
La correspondiente a la experimentación diría así:
5) Causa-efecto: Enlaza todos las razones de forma que de desarrolles un razonamiento válido desde la causa hasta el efecto.
La de la consolidación diría así:
6) Completitud: Establece una lista de situaciones diferentes con un hilo conductor de forma que se contemplen todos los casos.
Y para la motivación:
7) Relacionabilidad: Identifica y establece las relaciones espaciales posibles de forma que quede orientado el camino a seguir.

Recursividad, las matemáticas de la repetición

MOTIVACIÓN
La recursividad es una forma de resolver problemas basada en la repetición de la misma rutina disminuyendo la dificultad de la resolución de los mismos hasta llegar a un punto en que se resuelven fácilmente. Deshaciendo el camino se puede resolver el problema general. Esta forma de proceder está en la raíz de todas las matemáticas puesto que como vamos a ver está en la definición de la propia multiplicación.
EXPERIMENTACIÓN
Supongamos que tenemos que sumar diez veces tres:
Suma(10,3)=3+3+3+3+3+3+3+3+3+3
entonces podemos calcular primero la suma de nueve tres y sumarle otro tres:
Suma(10,3)=Suma(9,3)+3
y proceder así sucesivamente:
Suma(n,3)=Suma(n-1,3)+3
Hasta que al final podemos resolver el problema:
Suma(2,3)=Suma(1,3)+3=3+3=6
A partir de aquí se retrocede en el camino y se llega al resultado final que es 30.
CONCEPTUALIZACIÓN
Al resolver un problema usando la recursividad necesitamos averiguar cuál es el término general:
Suma(n,3)=Suma(n-1)+3
y cuál es el caso base:
Suma(1,3)=3
El término general nos indica como ir disminuyendo la dificultad del problema y el caso base cómo resolverlo en una situación sencilla.
PROCESAMIENTO:
Veamos como funciona el proceso:
Suma(10,3)=Suma(9,3)+3=(Suma(8,3)+3)+3=((Suma(7,3)+3)+3)+3=(((Suma(6,3)+3)+3)+3)+3=((((Suma(5,3)+3)+3)+3)+3)+3=(((((Suma(4,3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=((((((Suma(3,3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=(((((((Suma(2,3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3= ((((((((Suma(1,3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=(((((((6+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=((((((9+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=(((((12+3)+3)+3)+3)+3)+3=((((15+3)+3)+3)+3)+3=(((18+3)+3)+3)+3=((21+3)+3)+3=(24+3)+3=27+3=30
MECANIZACIÓN
Si queremos automatizar la ejecución debemos de establecer una cola de espera, donde el último en entrar es el primero en salir. La cola es esperar en este orden S(10,3), S(9,3), S(8,3), S(7,3), S(6,3), S(5,3), S(4,3), S(3,3), S(2,3), S(1,3). Ahora va saliendo desde el final y al último resultado le sumamos 3, S(1,3)=3, S(2,3)=6, S(3,3)=9, S(4,3)=12, S(5,3)=15, S(6,3)=18, S(7,3)=21, S(8,3)=24, S(9,3)=27, S(10,3)=30
CONSOLIDACIÓN
El primer paso es resolver el caso base, resolver el problema en su caso más sencillo, sumar una vez 3, S(1,3). A continuación hay que ver como se hace el siguiente caso más sencillo desde el paso anterior, sumar dos veces 3, S(2,3)=S(1,3)+3, el siguiente, S(3,3)=S(2,3)+3, así ya se puede sacar la fórmula del término general, S(n,3)=S(n-1,3)+3. A partir de ahí se va aplicando está fórmula repetidamente hasta completar el número de veces que se desea sumar 3.
EVALUACIÓN
¿Cuál es la clave para que el problema se pueda hacer de forma recursiva? Es la repetición como su propio nombre indica. Sumar tres diez veces solo se puede hacer sumando tres de uno en uno y acumulando los resultados, diez veces. En este caso es evidentemente la multiplicación de 10 por 3 que se tiene tabulada.
S(1,3)=3=1·3
S(2,3)=S(1,3)+3=3+3=2·3
S(3,3)=S(2,3)+3=S(1,3)+3+3=3+3+3=3·3
S(n,3)=n·3 (regla)
S(10,3)=10·3=30

Demostraciones: Mágia y matemáticas

Es interesante enseñar demostraciones matemáticas en secundaría, y aquí se muestra un ejemplo de lo que se puede hacer en el aula.
Vamos a hacer un pequeño número de magia de adivinación: Si pedimos a una persona que piense un número de tres cifras (que no sea capicúa) y que lo reste del mismo número cambiado de orden de las cifras (restar el mayor del menor), que coja las cifras del resultado y las sume, entonces le podemos decir que le tiene que dar 18 y acertaremos.
La demostración matemática de que esto es así se basa en lo que representa la notación polinómica de los números y es la siguiente:
Suponiendo que el número es abc y lo resta de cba, entonces lo que estamos haciendo en la resta tradicional es:
100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=99(a-c)=100(a-c)-(a-c)=100(a-c-1)+9·10+(10-(a-c))
Con lo cual el resultado es un número como sigue:
[a-c-1][9][10-(a-c)]
Sus cifras suman:
a-c-1+9+10-(a-c)=18
Como se quería demostrar.

Cálculo de una fracción del total (video)