Ciclo de aprendizaje

El ciclo de aprendizaje queda definido por la siguiente grafica:

Cada fase a su vez sigue un ciclo de aprendizaje que asume una persona.
El ciclo grupal, el que recorre un grupo, tiene estas fases:

1. La motivación procura que se pueda identificar una realidad que hay que superar.
2. La experimentación provoca pequeños gestos de valor que sumados ayudan a resolver el problema y espera que los demás hagan.
3. La conceptualización es el uso de ideas que son eficaces en la resolución.
4. El procesamiento es el esfuerzo que hay que hacer comprobando el funcionamiento de las ideas buscando alcanzar ya objetivos.
5. La mecanización es la técnica, la práctica en la resolución de los problemas siguiendo el modo científico.
6. La consolidación es el habito siguiendo un método, para volver a usar lo que ya hemos visto que sirve.
7. La evaluación es la valoración final de lo que tenemos buscando un criterio para seguir mejorando. El ciclo puede volver a redefinir el problema y volver a realizarse.

La equivalencia en matemáticas (2)

Me preguntan para qué sirven las fracciones equivalentes, aquí va una respuesta:

Supongamos que tenemos dos vasos de limonada simbolizados en el gráfico. Uno tiene dos partes de limón y tres de agua, y el otro, una de limón y dos de agua. Queremos averiguar cuál es el vaso que tiene un  sabor más intenso. En matemáticas simbolizamos la concentración del primero diciendo que el limón que contiene es 2/5 de la cantidad total, y la del segundo, diciendo que el limón que contiene es 1/3 del total. Si dispusiésemos de 3 vasos como el primero y los juntásemos tendríamos que de 15 partes 6 serían de limón, o sea, la cantidad de limón sería 6/15 del total. Si tuviésemos 5 vasos como el pequeño y los juntásemos, también tendríamos 15 partes, de las cuales 5 serían de limón, los 5/15. Y como en ese caso esas cantidades tienen el total igual, 15 partes, ahora podemos comparar la parte del limón, y evidentemente 6 partes da más intensidad de sabor que 5.

2/5=6/15;  1/3=5/15;  2/5>1/3 porque 6/15>5/15

Para eso sirven las fracciones equivalentes.

Función de probabilidad

Tenemos el experimento aleatorio de lanzar dos monedas.
El espacio muestral, el espacio de todos los resultados posibles, es: {(c,c),(c,+),(+,c),(+,+)}
Consideramos la variable aleatoria X=número de caras.
X puede tomar los valores {0,1,2}
El sistema completo de sucesos definidos por la variable X es:
{X=0}={(+,+)}
{X=1}={(c,+),(+,c)}
{X=2}={(c,c)}
La función de probabilidad queda por tanto así:
p(X=0)=1/4
p(X=1)=2/4=1/2
p(X=2)=1/4
La función de probabilidad permite calcular la probabilidad de cualquier suceso definido a través de X. Así:
p(X>=1)=p(X=1)+p(X=2)=1/2+1/4=3/4

¿Dónde hay funciones matemáticas?

Funciones son el objeto del Análisis, desde Newton y Leibnitz se desarrolla esta rama de las matemáticas al poder explicarse los procesos de aproximación infinitesimal.
Tenemos:
Funciones afín y lineal: f(x)=kx, y=ax+b
Funciones exponenciales: f(x)=e^x, f(x)=a^x
Funciones racionales: f(x)=(polinomio)/(polinomio)
Funciones trigonométricas:  f(x)=sen(x), f(x)=cos(x), f(x)=tg(x).
Funciones logarítmicas: f(x)=log(x), f(x)=ln(x)
Función escalera: f(x)=E(x)  (E=parte entera)
Función valor absoluto: f(x)=|x|
Función redondeo inferior: devuelve la parte entera de un número
Función redondeo superior: devuelve la parte entera de un número más uno
Función random: devuelve un número aleatorio (seudoaleatorio)
Función de probabilidad para una variable aleatoria discreta: p(x_i)=a_i

¿Qué es una función matemática?

¿Dónde hay modelos matemáticos?

• En Aritmética encontramos por ejemplo el modelo de la sucesión de Fibonacci:

a₁=1, a₂=1, a_i=a_i-1+a_i-2

• En Análisis encontramos el modelo lineal:

y=ax+b 

• En matemáticas financieras tenemos el modelos de crecimiento acumulado del capital:

C=C₀(1+i)^t  (siendo C₀ el capital final, i el interés y t el tiempo en años)

• En Topología tenemos el modelo de la cinta de Moebius:

¿Qué es un modelo matemático?

¿Dónde hay conceptos en Matemáticas?

En Aritmética tenemos :

• El concepto de número primo, aquel número natural que sólo es divisible por sí mismo y la unidad.
• El concepto de número irracional, como aquel número real que no se puede expresar como fracción.

En Álgebra tenemos:

• El concepto de raíz de un polinomio, como el de aquel número que hace que el valor numérico del polinomio sea cero.
• El concepto de discriminante de una ecuación de segundo grado, la expresión que permite decidir cuantas soluciones va a tener la ecuación.

 En Estadística tenemos:

• El concepto de media, como el parámetro de centralización que se obtiene como suma de todos los datos dividido por el número de ellos.
• El concepto de mediana, como valor de la variable que separa los datos ordenados de la serie estadística por la mitad.

¿Qué es un concepto?

¿Dónde hay fórmulas en Matemáticas?

En Geometría hay muchas fórmulas para calcular áreas o volúmenes:

• El área del cuadrado de lado l es A=l².
• El área del círculo de radio r es A=πr².

En  Estadística también hay muchas fórmulas para calcular parámetros:

• La media de una serie estadística es:

•  La desviación típica de forma abreviada es:

¿Qué es una fórmula matemática?

¿Dónde hay métodos en Matemáticas?

En el Álgebra encontramos el método de la división de Ruffini:
Por ejemplo para realizar la división (x²-5x+6):(x+4) por dicho método, debemos utilizar los coeficientes del dividendo (1  -5   6) y el termino de grado cero del divisor cambiado de signo (-4)
       1   -5    6
-4         -4   36
----|-----------------
       1   -9   42

1) El primer término, el 1, baja sin más
2) Se multiplica -4 por 1 y el resultado , -4, se pone debajo del -5.
3) Se suma -5 con -4, dando -9.
4) Se multiplica -4 por -9 y da 36 que se pone debajo del 6
5) Se suma 6 y 36 dando 42 que se pone al final.

El cociente es el polinomio de coeficientes 1 y -9, o sea, x-9, y el resto es el último número de la fila inferior, o sea, 42.

¿Qué es un método matemático?

¿Dónde hay reglas en Matemáticas?

En el álgebra, por ejemplo en los productos notables:

• El cuadrado de la suma es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
• El cuadrado de la resta es  igual al cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

En Aritmética, por ejemplo en las operaciones con potencias:

• El producto de potencias de la misma base, es igual a una potencia con la misma base y de exponente la suman los exponentes.
• El cociente de potencias de la misma base es igual a una potencia con la misma base y y de exponente la resta de los exponentes.

En Análisis, por ejemplo en la derivada de operaciones de funciones:

• La derivada de la suma de funciones es igual a la derivada del primero por el segundo sin derivar, más la derivada del segundo por el primero sin derivar.
• La derivada del cociente de funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, dividido todo por el denominador al cuadrado.

¿Qué es una regla matemática?

Consumo sostenible

Parte de los resultados del aprendizaje preferencial se recogen en la wiki de consumo sostenible. Esta wiki es un intento por llevar a la práctica con alumnos estas ideas en colaboración con otros profesores.
https://consumosostenible.wikispaces.com/

Aprendizaje preferencial complementario

El aprendizaje se puede ver como un proceso continuo que de alguna forma tiene etapas.  Cuando queremos aprender algo debemos de contar con una Orientación, un deseo de aprender, algo que nos motive para poder llegar al final  (en este punto tiene que surgir una llamada a la acción sobre la realidad, es la búsqueda de nuevas posibilidades). Hay que contar con algo valioso aprendido previamente que permita establecer un Razonamiento que nos permita discurrir como se llega a alcanzar el nuevo conocimiento (este es un proceso concreto y pasivo, en cuanto a que hay que detenerse a recordar y observar). Los nuevos conocimientos se crean a partir de esos valores y se van estructurando constituyendo los Conceptos (este es un proceso teórico, más propio de un pensamiento sintético). Los nuevos saberes se Trabajan para verificar hasta qué punto permiten alcanzar los objetivos del aprendizaje (esta fase es operativa, propia de un pensamiento funcional). Una vez que se ha visto que lo que sabemos funciona, la fase siguiente es la mecanización de lo aprendido, la construcción de nuevos productos del conocimiento, es la búsqueda de Técnica y herramientas que permitan obtener resultados evitando trabajos innecesarios (es la fase práctica).  La consolidación del aprendizaje es la siguiente fase, aquello que hemos aprendido bien debemos de mantenerlo en el tiempo, es la base de nuestro futuro conocimiento, así el aprendizaje se convierte en Metodo (es cuando se organiza lo aprendido). Por último está la etapa Evaluativa en la que aprendemos a establecer criterios sobre cómo se hace un buen aprendizaje. Si se ha aprendido algo importante se debe de concluir estableciendo un criterio que nos permita juzgar lo que está bien hecho (es el espíritu crítico).

Proceso

1.- MOTIVACIÓN
2.- VALORES
3.- CONOCIMIENTOS
4.- TRABAJOS
5.- PRODUCTOS
6.- MÉTODOS
7.- EVALUACIÓN
1.-.........................

¿Cómo encontrar la función?

1º) Se trata de averiguar cómo funciona el taxímetro con los datos que se han visto en el trayecto.
2º) El precio del trayecto depende de un fijo inicial (fase 1) y de un incremento rítmico que depende del tiempo (fase 2). Se va acumulando todo. Se trata de averiguar como se calcula el precio del trayecto en función del tiempo transcurrido o del número de saltos que da el contador.
3º) Se tiene como datos el fijo inicial de bajada de bandera, el coste final de subida de bandera y el tiempo transcurrido. También hay una estimación del número de saltos del contador por minuto.
4º) Si descontamos el precio inicial del fijo inicial se tiene el coste que se acumuló según el tiempo transcurrido. De esta forma, este dinero es el que depende del tiempo.
5º) El coste del trayecto dependiendo sólo del tiempo se divide entre el tiempo total y da el coste que se acumula por minuto. Como se estima el número de saltos por minuto se puede dividir el coste por minuto entre el número de saltos por minuto y se tiene el coste por salto.
6º) Para calcular cualquier trayecto hay que sumar al fijo inicial (bajada de bandera) el número de saltos del contador multiplicado por el precio por salto. También se puede sumar el fijo con el número de minutos transcurridos multiplicado por el coste por minuto.
7º) En este caso: Coste=1'15+tiempo(min)·0'8=1'15+nº de saltos·0'2
Si el tiempo fue de 13 minutos, Coste(13min)=1'15+13·0'8=11'55 euros

¿Cómo funciona?

Al subir a un taxi un viajero se fijó en que el taxímetro marcaba 1'15 euros. Durante el trayecto, a períodos regulares de tiempo, el taxímetro se iba incrementando, hasta que después de 13 minutos viajando en el taxí este se detuvo en el destino indicado. El marcador marcaba 11'55 euros al final.
El viajero preguntó:
--¡Oiga señor taxista!¿Cómo funciona el taxímetro?
Este le respondió todo amable:
--Hay una tarifa inicial, la bajada de bandera, que es de 1´15 euros. Es un fijo para cualquier trayecto. Después, el aparato, con ayuda de un reloj interno, va sumando una cantidad fija cada poco tiempo.
Cuando llegó a su casa, el viajero aún runruneaba algo en su cabeza:
--La carrera me costó 11'55, el fijo inicial fue de 1'15, entonces la maquina contó 11'55-1'15=10'4 euros. El viaje fue de 13 minutos, luego acumuló 10'4:13=0'8 euros el minuto.
Estimó mentalmente que el contador saltaba cada 15 segundos, y dijo en alta voz:
--¡Eureka! ¡El contador suma 20 céntimos cada 15 segundos!.

Flujo del modelo

1º) La división es la operación inversa de la multiplicación, o sea, comprobar cuantas veces cabe un número en otro.
2º) Se trata de dividir un número D (>0) entre otro d (>0) por restas sucesivas.
3º) Si d>D entonces el cociente es 0 y el resto es D y se acaba la división. Si d<=D entonces se continúa.
4º) Se multiplica d por un entero positivo n elegido de tal forma que d·n<=D.Se anota el valor de n.
5º) Se resta D-d·n, cuyo resultado es el nuevo valor de D.
6ª) Si d<=D, entonces se vuelve al paso 3º), sino la división terminó y se continúa en el siguiente punto.
7ª) Se suman todos los valores de n que se anotaron y eso es el resultado del cociente C. El resto es lo que quedó de D sin poder restar más, R. Se comprueba que el resultado es correcto viendo que D=d·C+R