Construyendo una espiral

Con ayuda de triángulos semejantes (ángulos iguales) se puede construir una espiral. Se empieza por un triángulo cualquiera y se va pegando sobre uno de los lados (siempre en el mismo orden coincidiendo la longitud) un triángulo semejante, como se indica en la figura:

Generando una espiral

Supongamos que tenemos una plataforma circular que se mueve girando, con una determinada velocidad, sobre un punto fijo o centro. Una persona se mueve en línea recta -- visto desde la plataforma--, con otra determinada velocidad, desde el centro hasta un punto del borde de la plataforma. Para un observador que está fuera de la plataforma el trayecto que sigue la persona no es en línea recta, es en espiral. Es la composición de dos movimientos: el circular y el rectilíneo.

Supongamos que r(t) es la distancia al centro y α(t) el angulo girado en el instante t. Las coordenadas cartesianas serán:
x(t)=r(t)*cos(α(t))
y(t)=r(t)*sen(α(t))

Ejemplos de espirales con Maxima:
Para r(t)=a·t y α(t)=b·t


















Para r(t)=a·t² y α(t)=b·t

Espiral

La espiral la encontramos en la Naturaleza en multitud de ocasiones aunque las formas más populares están en las conchas y caparazones calcáreos de los moluscos. Pero también la vemos en las borrascas, por efecto de las fuerzas (entre ellas la de Coriolis), o en galaxias lejanas. ¿Por qué la predilección de la Naturaleza por esta forma?




















Foto realizada por Erik Dávila Jiménez

Volumen del cilindro

Foto sacada en una excursión con alumnos en busca de fotografías matemáticas. Es un tronco de árbol hueco visto desde dentro hacia arriba. Un tronco tiene básicamente la forma de un cilindro, su volumen viene dado por la fórmula: V=π*r²*h; siendo r, el radio del círculo y h, la altura. Pero, ¿de dónde viene esta fórmula?

(Para alumnos de bachillerato)
Supongamos que un árbol tiene un tronco cilíndrico perfecto y que cada año crece su volumen de forma perfecta añadiendo una capa más a su grosor, como vemos que ocurre en los anillos concéntricos cuando cortamos su tronco.
Cada nueva capa la podemos imaginar estirada y tendremos una hoja de altura Δx, de ancho 2π*x, y de largo h. El volumen de esa capa que contribuye al volumen total es: 2π*x*h*Δx. El volumen final será la suma de todas esas capas que se forman año tras año: V=∑ 2π*x*h*Δx.
Si consideramos que Δx-->0, que las capas son muy finas porque las contabilizamos segundo a segundo, el sumatorio se convierte en la integral definida entre 0 y r. Como ∫2π*x*h*dx=π*x²*h+C, entonces V=π*r²*h

Un modelo matemático

En una granja de animales la población se incrementa un 20% cada mes. Si se parte de 100 animales y se quiere duplicar la población en 1 año, ¿cuántos animales como máximo se pueden vender cada mes?

Podemos contar los meses con los índices y la población de cada mes, con el incremento acumulado, la calculamos multiplicando por 1'2 la población del mes anterior. Llamamos x_i a la población que hay en el mes i y n al número de animales que podemos vender cada mes, entonces, el modelo a seguir es:

a) x₀=100
b) x_i+1=1'2·x_i-n
c) x₁₂>200

solución n=17

programa de Maxima que lo resuelve:
x:100;
lista:[[0,x]];
n:17;
for i:1 thru 12 do(x:x*1.2-n,lista:endcons([i,x],lista));
lista;

[[0,100],[1,103.0],[2,106.6],[3,110.92],[4,116.104],[5,122.3248],[6,129.78976],[7
,138.747712],[8,149.4972544],[9,162.3967052799999],[10,177.8760463359999],[11,
196.4512556031999],[12,218.7415067238399]]

wxplot2d([discrete,lista])$

El infinito aleph0

El infinito es una herramienta importante a la hora de construir matemáticas.
Los número naturales empiezan en 1 y van aumentando de 1 en 1. ¿Pero, hasta cuando? Pues, hasta el infinito.

Definición axiomática de los números naturales:
a) El primer natural es el 1.
b) Cada número natural se obtiene del anterior (el llamado predecesor) sumándole 1 (obteniendo así el sucesor).

El sucesor de 1 es el 2, 2=1+1; el sucesor del 2 es el 3, 3=2+1;... así hasta infinitos números naturales. A este infinito, el cardinal del conjunto de los naturales, se le llama aleph₀.



Podemos tener una imagen de este número si ponemos un espejo paralelo enfrentado a otro.

Los números enteros contienen a los naturales, que coinciden con los enteros positivos, --luego ya habrá infinitos enteros--, pero también hay que tener en cuenta que hay otra parte que son los enteros negativos y el cero. ¿Esto quiere decir que hay más enteros que naturales?

Proposición:
Hay igual número de naturales que de enteros.
Demostración:
Se puede equiparar cada número natural con cada número entero de la siguiente forma: Al 1 natural le asignamos el 0 entero; al 2 natural le asignamos el 1 entero; al 3 natural le asignamos el -1 entero;...
1--->0
2--->1
3--->-1
4--->2
5--->-2
6--->3
7--->-3
............
de esta forma, salvo el 1 que va con el 0, todos los números pares de los naturales se equiparan con los enteros positivos y todos los números impares de los naturales se equiparan con los enteros negativos. Entonces los infinitos números naturales son la misma cantidad que los infinitos números enteros, tienen el mismo cardinal, aleph₀.

EL INFINITO

El azar

El azar no es otra cosa que la imposibilidad de controlar todos los factores que concurren en un suceso. Así, al lanzar un dado y ver el número que hay en la cara superior no podemos controlar qué va a salir. Si lanzásemos el dado y recorriese exactamente el mismo trayecto en su caída volveríamos a obtener el mismo resultado, pero, como todo el mundo sabe, es prácticamente imposible hacer el mismo recorrido. Lo que si sabemos, es que sólo pueden salir seis resultados: {1,2,3,4,5,6}, lo que se llama el Espacio Muestral, lo cuál nos permite controlar en cierta medida el azar. A cada uno de los posibles resultados se les llama Suceso Elemental.
Se puede medir, lo que se llama, la probabilidad de que salga cada uno de esos seis sucesos elementales. Una forma de hacerlo sería suponer que el dado es ideal, no físico, y que la probabilidad es la misma en cada uno de los seis casos. Si suponemos que la probabilidad es la fracción que representa cada caso en el total, la llamada Regla de Laplace, estaríamos diciendo que la probabilidad de salir cada número es 1/6.
El problema surge cuando no todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad. Si lanzamos una chincheta y observamos si sale con la punta hacia arriba o apoyada, tenemos un espacio muestral con dos sucesos elementales {hacia arriba, apoyada}. No podemos medir fácilmente, apriorísticamente, lo que representa la fracción en cada caso por lo peculiar de la situación. En este caso no queda mas remedio que hacer un ensayo con una chincheta concreta. Si lanzamos la chincheta un número elevado de veces (n) y contabilizamos las veces que caen "hacia arriba" (h) y "apoyada" (a), se observa una cierta constancia en la frecuencia relativa --el número de veces que cae en uno de los sentido entre el número de lanzamientos, h/n y a/n--, y es que ese número tiende a un valor fijo conforme aumenten los lanzamientos. Esta regularidad se conoce como la Ley de los Grandes Números. Esas constantes representan la medida de la probabilidad de cada uno de los sucesos.

Lo cotidiano

¿En qué medida estamos en contacto con las matemáticas en nuestra vida cotidiana?
Me levanto a las 6:30 para entrar en el trabajo a las 8:00. Desayuno un café con 4 o 5 galletas. Estoy a las 7:20 en la parada de guagua para coger la línea 22. Suelen pasar una 2, una 25, una 81 y luego aparece la 22. El bono de 10 viajes me cuesta 13 euros. Trabajo de 8:00 a 13:00, aproximadamente, en turnos de 55 min. En el descanso de 30 min tomo un café que cuesta 70 cent. El centro de trabajo tiene 4 pisos y suelo estar en el 3º. Tardo unos 30 min en volver a casa, en la 22 o la 21. Si vuelvo en la 21 tengo que caminar aproximadamente 1 km.
Tengo un pendrive de 2 G en el que guardo los trabajos, un móvil con tarjeta de prepago con un saldo de 12 euros aproximadamente y un portátil de 10'' de pantalla, 1024 de RAM y 80 G. En el mercado suelo comprar café que está a 6 o 7 euros el kilo. El pescado está por término medio entorno a los 15 euros el kilo. Juego algunas veces a la lotería pero no tengo muchas esperanzas porque las probabilidades de que me toque son muy bajas. No estoy seguro de cuál es la lotería que me da más probabilidades de acertar. Mi equipo favorito va de 5º y estamos a mitad del campeonato. Me fijo en la bolsa cuando baja observando si la gráfica está en franco descenso. Estos días estoy fijándome en el mapa del tiempo, he aprendido a leer las borrascas y los anticiclones, la dirección y sentido de los vientos y los frentes cálidos y fríos. Ha habido un terremoto entre islas de magnitud 4 que apenas se ha sentido en la de aquí. El epicentro estaba localizado en el mar, lo he visto dibujado en la tele con ondas concéntricas. Son las 11:30 y me tengo que ir a dormir para poder hacerlo con 7 horas al menos.

Casos no permitidos

Las operaciones matemáticas presenta toda una serie de casos especiales que pueden cerrar el paso o dar lugar a nuevos resultados.

• Así por ejemplo, en las fracciones no se permite que el denominador sea 0, aunque sí lo puede ser el numerador. No se permite en las fracciones: 4/0, 5/0, -3/0,.... El caso es que como la fracción es una división no se puede dividir por 0 --¿qué entenderíamos por 4 caramelos repartidos entre 0 niños?.
  

• Caso curioso es el hecho de que 1=0.99999...., porque duplica la notación de todos los números reales. Así 2=1.999999...., 3.45=3.4499999..., ...Aunque está permitida esta duplicidad se obvia evitando la notación decimal con los nueves. Es fácil comprobar que 1=0.99999...., ya que si x=0.99999..., entonces 10x=9.99999..., y restando 10x-x=9x=9, luego, x=1.
  

• En los reales no se permiten radicandos negativos en raíces pares, pero sí se permite si estamos en los números complejos. No se permite en los reales: sqrt(-3), sqrt(-5),....; pero estas expresiones sí tienen sentido en los números complejos porque se define la unidad imaginaria, i=sqrt(-1). Las raíces cuadradas de los números negativos no pueden existir en los reales ya que por definición el resultado tiene que ser un número que elevado al cuadrado dé el radicando, pero un número al cuadrado es positivo y el radicando estamos diciendo que es negativo.
  

• Las potencias de base negativa tienen muchas limitaciones. En ningún caso se permite en los reales base negativa y exponente irracional: (-2)^sqrt(2), (-5)^pi,... Sin embargo se puede calcular (-3)^4/3. Las potencias de exponente fraccionario se pueden calcular siempre que la raíz correspondiente esté permitida. El caso es que las potencias pares de números negativos, son positivas, y las impares, negativas, pero cuando el exponente es irracional no hay manera de saber si es par o impar.
  

• Los logaritmos de números negativos tampoco se pueden calcular. En ningún caso se permite utilizar en los reales argumento negativo: log(-3), ln(-5),... El logaritmo es el exponente al que elevar la base para que nos dé el número del argumento. En este caso no se pueden calcular los logaritmos porque las bases (10 y e) son números positivos y nunca podemos calcular potencias de base positiva que den negativo.
  

Matemáticas visuales (todo al detalle)

La calculadora suele funcionar con una precisión de 10 dígitos lo cual implica que los resultados que tienen más de estos dígitos hay que expresarlos en notación científica. Si tenemos que realizar una operación del tipo, 245x1234567890, nos encontramos que en el display aparece 3.024691331x10¹¹. Pero, ¿cuál es el resultado exacto?. Vamos a lograr el objetivo de multiplicar con todas las cifras con la calculadora.
Para realizar las operaciones trabajaremos fragmentando el multiplicando y multiplicamos en cada tramo de forma que podamos ver en el display todas las cifras.

Dividimos en grupos de dos cifras (se pueden coger más cifras siempre y cuando los productos que se hagan quepan en el display):
R=245x1234567890=
245x(12x10⁸+34x10⁶+56x10⁴+78x10²+90)=
245x12x10⁸+245x34x10⁶+245x56x10⁴+245x78x10²+245x90

Cada operación particular se realiza en la calculadora por separado:
245x12=2940
245x34=8330
245x56=13720
245x78=19110
245x90=22050

¿Cómo arreglamos el resultado final? Sumando con la calculadora en columnas.
R=
294 000 000 000+
008 330 000 000+
000 137 200 000+
000 001 911 000+
000 000 022 050=
---------------------
302 469 133 050

Matemáticas generadas (todo está en la idea)

Etimología: Fracción=rotura
Concepto: Una fracción es la razón entre la parte y el todo.
Si una tarta está dividida en 13 raciones y se comen 5, decimos que se han comido las 5/13 partes de la tarta. Si esas trece raciones se dividiesen a la mitad y se comiese el doble de antes, se habrían comido las 10/26 partes de la tarta, que coinciden con las 5/13 partes. La segunda fracción es la amplificada de la primera y la primera es la simplificada de la segunda.

5/13=10/26

Es cualquier caso es tan importante conocer la parte como el todo. Por eso sumar o restar fracciones no es tan trivial como pretenden algunos, porque tenemos que disponer de un todo común y referenciar cada parte a ese todo común.

Si en un grupo las 2/5 partes son aficionados del equipo A y las 3/8 partes del equipo B, juntos ¿qué fracción suman?. Suponemos que es excluyente ser aficionado de A y B.

Como el todo (denominador) no coincide en ambos casos es que se han simplificado las fracciones, luego debemos amplificarlas. El total en el primer caso tendría que ser un múltiplo de 5 y en el segundo de 8. Un múltiplo común de 5 y 8 es 40, y es el menor múltiplo común. Podemos suponer que es 40 el total para ambos casos; la parte también cambia, ahora hay que amplificar las fracciones para que tengan denominador 40.

2/5=16/40 y 3/8=15/40.

Entonces, respecto a 40, la parte de los aficionados al equipo A son 16 y la parte de los aficionados al B son 15, entonces los dos grupos suman una parte conjuntamente de 31 personas de un total de 40, o sea, son las 31/40 partes del grupo.

2/5+3/8=16/40+15/40=31/40

Matemáticas contadas (todo con nombre)

Los conjuntos numéricos han ido apareciendo conforme las operaciones numéricas han ido siendo imposibles de resolver, planteando en cada caso la necesidad de sus ampliaciones. Empezando con los números naturales {1,2,3,4,...}, la suma (2+3=5; 7+8=15; ...) es una operación cerrada en este conjunto numérico porque elegidos dos números naturales cualesquiera el resultado es otro número natural. Con los naturales la suma se puede hacer siempre. También la multiplicación, que es hacer sumas repetidas, es cerrada para los números naturales, el producto de dos naturales es un natural (3·5=15; 7·4=28; ...).

Si sólo sumásemos o multiplicásemos, con los números naturales ya tendríamos todo resuelto, pero resulta que hay otra operación inmediata a la suma, la resta. Si restamos dos naturales, a veces el resultado es un natural (7-3=4; 4-3=1; ...), pero a veces no (5-5=?; 4-6=?). Hacen falta nuevos números para poder cerrar el problema de la resta, es por lo que aparecen los números negativos, y se amplían los naturales (que pasan a ser los positivos) con el cero y los negativos, dando lugar a los llamados números enteros {...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}. Con los enteros tenemos los números necesarios para hacer todo tipo de restas con naturales (5-5=0; 4-6=-2). Además estas tres operaciones se extienden en este nuevo conjunto numérico (-3-5=-8; (-4)·7=-28; 8+(-10)=-2; ...) consiguiendo con ello que sean cerradas en los enteros.

Si sólo sumásemos, restásemos o multiplicásemos con los números enteros tendríamos todo resuelto, pero resulta que después de la multiplicación viene la división (24:3=8; (-12):(-4)=3; ...), y hay divisiones que no tienen resultado en el conjunto de los enteros (4:7=?; 23:5=?; ..). Esto plantea la necesidad de ampliar el último conjunto numérico, hay que introducir las fracciones (4/5; -2/5; ...), y con ellas podemos hacer todas las divisiones (4:7=4/7; 23:5=23/5; ...). Este nuevo conjunto numérico se llama ahora el conjunto de los números racionales, está formado por los enteros y por las fracciones agrupadas en clases, las que forman distintas fracciones que son equivalentes entre si. Para evitar este pequeño lío, les buscamos una nueva notación a los irracionales y los escribimos en forma de número decimal concluyendo que los números racionales son los números decimales exactos (4.5; 3.889;7.0;-3.55; ...), los decimales periódicos puros (5.66666...; -3.56565656....; 9.120120120....) y los decimales periódicos mixtos (4.5633333....; 67.5923232323....).

Si sólo sumásemos, restásemos, multiplicásemos o dividiésemos, con los números racionales ya tendríamos resuelto todo, las cuatro operaciones son cerradas en este conjunto pero resulta que después de estas cuatro operaciones aún viene la radicación, el cálculo de raíces. Ya los pitagóricos sabían que raíz de 2 no es una fracción. Se necesitan los números irracionales para completar a los racionales para poder hacer estas raíces. Los irracionales son los números de infinitos decimales no periódicos (23.12123123412345....; 4.45673438956034302043...; ...). Los irracionales y los racionales, o sea, todos los números en notación decimal, forman los llamados números reales. Aún así no se resuelve el problema de las raíces porque en este conjunto numérico no se pueden calcular las raíces pares de los números negativos.

Matemáticas metódicas (todo paso a paso)

Los algoritmos permiten obtener paso a paso resultados de manera consistente y duradera. Un algoritmo básico es el de Euclides que permite obtener el máximo común divisor de dos números a partir de un proceso iterativo. Con ayuda de una tabla se van poniendo las divisiones sucesivas a realizar en la fila del medio, los cocientes en la fila superior y los restos en la inferior y seguimos el hilo de los datos que se obtiene:

Algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor de dos números (D y d, con D>d):
1) Ponemos los datos del dividendo, D, y el divisor, d, en dos celdas consecutivas de la fila central y efectuamos la división, obteniendo un cociente, C, y un resto, r. El cociente se pone encima del divisor d y el resto debajo.
2) Se pasa el resto a la derecha del divisor y ahora se realiza de nuevo la división siendo D=d y d=r.
3) Se sigue repitiendo el paso 2 hasta que el resto de la división sea 0. En ese caso, el penúltimo resto es el máximo común divisor buscado.



mcd(45,12)=3








El algoritmo es correcto gracias a que mcd(D,d)=mcd(d,r). Esto es así porque el máximo común divisor de D y d también es un divisor de r, puesto que: Si mcd(d,d)=m, entonces, D=mD' y d=md'. Por la división euclidea D=dC+r. Sustituyendo D y d, queda: mD'=md'C+r, y despejando r, r=m(D'-d'C), lo cual establece que m también es divisor de r.

Matemáticas relacionales (todo vinculado)

El área de un triángulo rectángulo como vínculo común permite obtener las áreas de otras figuras planas estableciendo la acción adecuada con esta orientación: hacer la conveniente división de la figura en triángulos rectángulos y combinar sus áreas. Así, un triángulo equilátero (o un isósceles) está formado por dos triángulos rectángulos de base b/2 y altura a, su área será: A=((b/2)·a)(1/2)·2=(b·a)/2.

Un rectángulo se divide en dos triángulos rectángulos por la diagonal, su área es: A=(b·a)(1/2)2=b·a. Lo mismo pasa con el cuadrado en el que a=b, quedando entonces su área, A=a·a=a².

Un pentágono regular se divide en 5 triángulos isósceles, su área será: A=(5·b·a)/2=(p·a)/2, ya que 5·b=p es el perímetro del pentágono. El valor de a se llama apotema. Cualquier otro polígono regular de más lados también tiene esta fórmula.

Para un triángulo obtusángulo podemos suponer que su área se obtiene restando el área de un triángulo rectángulo de base b₁+b₂ y altura a de otro de base b₁ y altura a. A=(b₁+b₂)·a/2- b₁ ·a/2= b₂·a/2.

Para el rombo, descomponiéndolo en cuatro triángulos rectángulos como se ve en la figura, su área queda: A=4·(b/2)(a/2)/2=(b·a)/2=(d·D)/2, siendo d y D las diagonales menor y mayor, respectivamente.

Para un trapecio (equilátero, isósceles o escaleno), dividiéndolo en dos triángulos de igual altura por una de las diagonales (ya no se necesita que sean rectángulos), tenemos: A=(B·a)/2+(b·a)/2=(B+b)·h/2, siendo a=h la altura, B la base mayor y b la menor.

Matemáticas prácticas (todo demostrado por escrito)

Un ejemplo: Juan tiene 500 euros en el banco y en el plazo de 5 años amplia su capital hasta 550 euros, ¿que rendimiento le ha generado el capital? y ¿a qué interés tenía ese capital?.

Se define el rédito, r, como el rendimiento generado por el capital, lo que se ha incrementado en proporción al capital inicial. Si C1 es el capital inicial y C2 el final, la fórmula del rédito es: r=(C2-C1)/C1. Se expresa en tanto por uno o por ciento.

En este caso: r=(550-500)/500=50/500=0'1=10%. Lo cual demuestra que el capital se incrementó un 10% del capital inicial.

Se define el interés, i, como el rédito por unidad de tiempo. Entonces la fórmula del interés es: i=r/t.

En este caso, i=0'1/5=0'02=2%. Lo cual demuestra que el capital se incrementó el 2% del capital inicial en cada uno de los 5 años.

Formulario para calcular el rédito y el interés:

(C1)Capital inicial	(C2)Capital final	(t)Tiempo transcurrido	(r)Rédito=(C2-C1)/C1	(i)Interés=r/t