Relación matemática

Una forma de ver las matemáticas es viendo las relaciones que hay.
Una ecuación lineal consta de dos partes relacionadas por un signo "=", en cada parte puede haber números y una incógnita x relacionados por operaciones aritméticas elementales, "+", "-", "/" y "·".
Su resolución consiste en transformar la ecuación en otras de forma que desaparezcan todos los operadores aritméticos, agrupando términos, manteniendo verdadera la relación de igualdad entre ambas partes, hasta llegar a una ecuación de la forma x=s. Cada nueva ecuación es una reducida de la anterior(más pequeña), estableciéndose así un orden parcial entre ecuaciones.
Para eliminar operadores hay que:
1) Realizar las operaciones agrupando elementos semejantes: números con números y términos con x con términos con x.
2) Si un término está sumando en una parte de la ecuación y lo quitamos debemos de quitar lo mismo a la otra y si está restando y lo quitamos debemos de añadirlo sumando en la otra y la igualdad sigue siendo cierta.
3) Si un término está multiplicando en una parte de la ecuación y lo quitamos debemos de añadirlo dividiendo a la otra y si está dividiendo debemos añadirlo multiplicando y la igualdad sigue siendo cierta.

4) Se debe de agrupar en una parte los términos en x y en la otra los números.

Puede comprobarse cómo quedaría cada ecuación a partir de la inicial en forma de árbol.

Equivalencia matemática

Una forma de ver las matemáticas es a través de la equivalencia.
Podemos decir que una ecuación lineal, ax+b=c, es equivalente a otra, a'x+b'=c', cuando tiene la misma solución. Por ejemplo: 3x+5=11 es equivalente a 2x+8=3x+6.

Las ecuaciones equivalentes se pueden generar a partir de otras de la siguiente manera:
1) Si se multiplica o divide la ecuación lineal por un número entonces se obtiene una ecuación equivalente. Por ejemplo: partiendo de 3x+5=11, multiplicando por 5 se obtiene 15x+25=55
2) Se obtienen ecuaciones equivalentes sumando o restando una misma cantidad en ambas partes de la ecuación. Por ejemplo: restando 11 a ambas partes de la ecuación 3x+5=11 obtenemos 3x-6=0.
3) La suma o resta de ecuaciones lineales equivalentes dan una ecuación equivalente con las anteriores. Por ejemplo: sumando 3x+5=11 con 2x+8=3x+6 se obtienen 5x+13=3x+17
4) Todas las ecuaciones lineales equivalentes se pueden reducir a una ecuación de la forma x=s, donde "s" es la solución común a todas ellas. Por ejemplo: para 3x+5=11 la equivalente reducida es x=2.

Invarianza matemática

Una de las maneras de ver las matemáticas es a través de los invariantes.
En una ecuación lineal como las que hemos visto hasta ahora, tenemos una igualdad A=B, y de lo que se trata es que las transformaciones que hagamos en A y en B no cambien la igualdad: T(A)=T'(B).
Las transformaciones pueden perseguir objetivos diferentes, por ejemplo, podemos estar intentando simplificar la ecuación: 4x+6=12-x+9. T puede ser restar 6 y T' también, 4x=15-x. Pero también podemos tener 700·9=31·x, ahora T es cambiar 9 por 60, entonces T' tiene que ser cambiar x por y, 700·60=31·y

Cuando se trata de una ecuación lineal ¿que tipos de transformaciones mantienen invariante la igualdad?:
1) ax+b=c--->ax+b± b'=c±b'--->ax+(b±b')=(c±b')
2) ax+b=c--->b'(ax+b)=b'c--->a(b'x)+bb'=cb'--->(ab')x+(bb')=cb'--->ay+(bb')=(cb')
3) ax+b=c--->(ax+b)/b'=c/b'--->a(x/b')+b/b'=c/b'--->(a/b')x+(b/b')=(c/b')--->ay+(b/b')=(c/b')
4) ax+b=c y a'x+b'=c'--->(ax+b)±(a'x+b')=(c+c')--->(a+a')x+(b+b')=(c+c')

Podemos ver que estas transformaciones no solo no cambian la igualdad sino que mantienen el mismo formato de ecuación lineal.

La continuidad del problema 1

¿Qué no cambia? Pues la razón 700/31.
700/31=x/9=y/60-->x=(700·9)/31=203; y=(700·60)/31=1355

El principio del problema 1

Partimos de que 0'31x=700, de ahí concluimos que x=2258. Todas las demás ecuaciones que necesitamos tienen esta misma solución. Entonces el 40% de 2258 es 0'4·2258=903; los que han tomado cosas pero no alcohol son el 9%, o sea, 0'09·2258=203.

Identificando los grupos en el problema 1

Los grupos se pueden representar con ayuda del gráfico:


Podemos establecer proporciones: 31/700=9/x=60/y---> x=203; y=1355; total=2258

Definiendo el problema 1

Vamos a separar los casos simples para definir el problema:

La ecuación x=700+0'09x+0'6x recoge todas las cuestiones. También podemos resolver 0'31x=700. Solución 2258 muertos en total en 2008, 700 habían tomado alcohol, 203 no habían tomado alcohol pero sí drogas y/o psicofármacos y 1355 no habían tomado nada de eso.

Problema 1: Leyendo datos en el periódico

Una de las fuentes más comunes de recogidas de datos está en los periódicos y es por lo general, por razones obvias, incompleta. Veamos un ejemplo:
El 40%. Ése es el porcentaje de automovilistas fallecidos en 2008 que dieron positivo por consumo de alcohol, drogas y/o psicofármacos, según la Memoria del Instituto Nacional de Toxicología. En el 31% de los casos, habían consumido bebidas alcohólicas. El alcohol sigue apareciendo en cada estadística como factor concurrente o determinante en un tercio de los siniestros de circulación, con un total de 700 víctimas mortales. [El País (06/07/09)]

a) ¿Cuántas víctimas mortales hubo en el año 2008 en España?
b) ¿Cuántas de esa víctimas no dieren positivo por consumo de alcohol, drogas y/o psicofármacos?
c) ¿Cuántas de esas víctimas dieron positivo sólo en el consumo de drogas y/o psicofármacos?

Lo que diferencia (2)

Las figuras diferentes resaltan cuando la contrastamos en la continuidad:


Para las ecuaciones:
Se ponen las x en verde y los 1 en naranja. Si x es negativa en algún miembro de la ecuación se pasa al otro cambiado de signo y lo mismo con los 1. Se pueden ver indistintamente las ecuaciones de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Se ve que la segunda ecuación está decompesada y por tanto en el proceso de simplificación no se puede pasar por ahí, hay una discontinuidad.

Lo que falta (2)

Lista de figuras según el número de vértices:


En el caso de la resolución de la ecuación siguiendo el método:

Lo que es parecido (2)

El concepto se puede considerar como algo generativo:

Las ecuaciones lineales que tienen la misma solución se llaman equivalentes.
Las ecuaciones lineales permiten generar nuevas ecuaciones equivalentes de la siguiente manera:
1) La suma o resta de ecuaciones equivalentes da una ecuación equivalente.
2) la multiplicación o división de una ecuación equivalente por un número da una ecuación equivalente.
Por ejemplo consideremos las ecuaciones equivalentes generadas desde la x+3=8, observamos que todas tienen la misma solución, el efecto de multiplicar por dos y por cuatro provoca un desplazamiento hacia arriba de los triángulos:
x+3=8
2x+6=16
4x+12=32

Lo que divide (2)

Vamos a separar las piezas y hacer un recuento con ayuda de una tabla:


Las ecuaciones también se pueden clasificar separadamente:

Lo que sobra (2)

Un juego de cartas:
Dos jugadores juegan una partida con una baraja especial. Solo hay las seis cartas que ves en las dos manos. Se reparten inicialmente las seis cartas. Por turno cada jugador elige una carta de su oponente sin mirarla. Antes de dar a elegir el jugador puede cambiarlas de posición. El jugador gana cuando consigue un trío de cartas en escalera, según el número de lados de la figura. Hay que haber jugado al menos una ronda para finalizar.

Las situaciones ganadoras son: (3,4a,5), (3,4b,5), (4a,5,6), (4b,5,6). La peor jugada es coger el círculo.

Resolver una ecuación jugando una partida:
Resolver la ecuación 3x+2-2x-2=x+3-x-3
Para dos jugadores. Hay que usar un tablero dividido en cuatro partes con los signos {+,-+,-} según el ejemplo. Se echan cartas que tienen la x y el 1 en los cuatro cuadrantes. Según la ecuación dada, en la fila superior se echan 3 equis en el positivo, 2 unos en el positivo, 2 equis en el negativo y 2 unos en el negativo. El la fila inferior se echan una x en el positivo, 3 unos en el positivo, una x en el negativo y 3 unos en el negativo.
Cada jugador por turno puede decidir resolver o aligerar el tablero. Resolver es dar la solución de x y aligerar es eliminar un par de cartas, un par de equis o un par de unos, tomándolos en la misma fila o la misma columna pero de distinta celda. Gana el que acierte la solución. Cuando un jugador pide resolver se comprueba si ha acertado, en caso contrario pierde el juego.

Lo que pega (2)

Con las piezas se pueden hacer varias cosas, por ejemplo esta lamparita con su luz:

Para las ecuaciones:
a) 3x-4x+6x-5+2=4-5
c) -3+5x=-1

Lo que relaciona (2)

La ecuación que relaciona los datos y la incógnita, 50x+30·20=1000, se puede expresar con ayuda de un árbol:


Las figuras también tienen su árbol de relaciones:

Lo que relaciona (1)

1) Relaciona las siguientes piezas entre sí:


2) Relaciona en una ecuación los siguientes datos: En una caja de 1000 dm³ de capacidad vaciamos el contenido de 30 cajas de 20 dm³, y queremos averiguar cuantas cajas más de 50 dm³ nos caben:
a) 30x+50·20=1000
b) 20x+50·30=1000
c) 50x+30·20=1000

1) Grupos: Tienen todos los lados rectos={A,B}; Tienen algún lado recto={A, B, E}; Tienen lados curvos={C,D}; Tienen algún lado curvo={D,C,E}. 2) Grupo: x cajas de 50 más 30 cajas de 20 hacen 1000 (c)

Lo que pega (1)

1) ¿Qué figuras se pueden pegar entre sí?:


2) ¿Qué ecuaciones se pueden enlazar por agrupamiento de términos semejantes?
a) 3x-4x+6x-5+2=4-5
b) 9x+9-2x-2x=7x+7
c) -3+5x=-1
d) 9-2x-7=0

1) Puzzle: Una pieza pega con otra si puede tener varios puntos de un lado en contacto con otros tantos de los de otro lado de otra pieza. El óvalo es el único que no puede pegar con todas las demás, solo la linealidad vale; 2) Puzzle: Se agrupan términos que contienen "x" con términos que contienen "x" y números con números. De esta forma se puede pasar de a) a c) y de b) a d)

Lo que divide (1)

1) Clasifica las siguientes formas:
2) Clasifica las siguientes ecuaciones:
a) 2x-8=12
b) 3x²+4x=7
c) 9x-3=x+4
c) 3x=9
d) 5x²=3-8

1) Si elegimos las características color y forma. Clasificación: Hay figuras naranjas, fucsia y azules. Dentro de estas hay triángulos, cuadrados y círculos (menos azul); 2) Si elegimos la característica grado (potencias de x). Clasificación: De gardo 1 y 2. Dentro de las de grado 2 las hay completas (con todos los grados) e incompletas (falta algún grado)

Lo que falta (1)

1) Completa la serie.


2) ¿Qué ecuación falta para seguir todos los pasos del método?
a) 3x+6=18
b) 3x=18-6
c) 3x=12
d) x=4

1) El hilo conductor es el número de vértices: Falta uno con 6 vértices; 2) El hilo conductor es despejar la x: Falta x=12/3.

Lo que sobra (1)

1) ¿Cuál de las siguientes figuras está de más?


2) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no es lineal?
a) 3x-5=0
b) -2x+9=3
c) 4x-9=4x+5
d) 2x-4x=5-9

1) El criterio es que tenga lados rectos: Sobra el círculo; 2) El criterio es que sea de la forma ax+b=0 (con "a" distinto de 0): La c) después de simplificar queda 14=0.

Lo que diferencia (1)

1) ¿Cuál necesita una corrección?


2) ¿Cuál es la ecuación que no va con las demás?
a) 3x+4=5x+6
b) x=-1
c) 3x=5x+4+6
d) -2x=2
e) -3x+5x=4-6

1) El rasgo diferenciador es el tamaño: La figura superior derecha es más pequeña; 2) El rasgo diferenciador es el signo: Se puede pasar de unas a otras salvo a la ecuación c) por el signo del 4.

Lo que es parecido (1)

1) ¿En qué se parecen las siguientes figuras?
2) ¿En qué se parecen las siguientes ecuaciones?
a) 2x+6=16
b) x+12=20-3
c) 4x-20=0
d) 3x+5=20

1) Concepto de triángulo: Tienen los mismos lados; 2) Concepto de ecuación equivalente: Tienen la misma solución

Uso de las TICs (2)

Propuesta 2:
Elaborar software que permita hacer un juego de historia en el que hay que ir eliminando datos sobrantes hasta encontrar el dato buscado. Por ejemplo: poner una serie de frases y números que corresponden a las frases. Se van diciendo las frases y el concursante tiene que adivinar el número de la lista que le corresponde hasta que quede un solo número. Si falla pasa a otro empezando desde el principio. Gana quién adivine el valor de x que es el número que sobra.

Adivina cuánto vale x.
Frases:
El doble de cuatro
La mitad de 10
El doble de 3 más 6
La cuarta parte de 12

Lista de números:
3
5
8
10
12