La organización y la consolidación matemática

¿Como se organiza el conocimiento matemático? Pues se organiza por niveles de complejidad. Cualquier teoría matemática se va consolidando pasando a formar parte de la organización de la misma empezando por los casos sencillos y combinando cada vez más los niveles de dificultad hasta llegar, si es posible, a métodos generales. 

Por ejemplo, primero se aprende a resolver las ecuaciones lineales con una incógnita, después se pasa a los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, después a los sistemas de Cramer y, a partir de ahí, a los sistemas de n ecuaciones con m incógnitas. En cada paso se fundamenta la resolución del problema en los casos anteriores. Este es el camino que recorren los estudiantes en secundaria y bachillerato. Esto está consolidado, en cada nivel de complejidad hay métodos para hacer las cosas, llegándose al método general con ayuda de matrices y determinantes.

Los estudiantes aprenden las rutinas ya establecidas, la cuestión es si deberían de aprender a volver a redescubrir las rutinas. Lo que está ya consolidado no da margen a variación, y es verdad que hay que aprender rutinas si se quiere avanzar, la cuestión es determinar si el aprendizaje de las matemáticas se debe vertebrar sólo con las rutinas.

Un problema local con las guaguas

LA LÍNEA 22

La línea 22 va desde Santa Catalina a La Paterna y de La Paterna a Santa Catalina en Las Palmas de Gran Canaria. Une La Paterna con Santa Catalina por la Ciudad Alta (Las Chumberas, Altavista, Barranquillo de Don Zoilo) y la Ciudad Baja (Ciudad Jardín y Alcaravaneras). Si visitas la página web de GUAGUAS (http://www.guaguas.com/) puedes ver su itinerario así como el horario. Con ayuda de la información ahí contenida responde a las siguientes cuestiones:

• Si estás en la calle Galicia (junto al Mercado Central) y quieres subir en la 22 al instituto Alonso Quesada, que está en la Avenida de Escaleritas 113, ¿en qué parada te tienes que subir y en cuál te tienes que bajar?
• Si es un martes y son las 12:20, suponiendo un retraso desde la salida hasta la parada de subida, entre 5 y 10 minutos, ¿a qué hora tiene que pasar la guagua?
• Si supones que el viaje hasta el instituto tarda entre 10 y 15 minutos, ¿a qué hora esperas llegar? 

Tema: Números reales. Intervalos.

Sistemas de ecuaciones lineales para mezclar café de forma justa

En el mercado hay un puesto de café, tienen varios cajones con cafés de diferentes tipos, el comprador elige una cantidad en grano y pide que se lo muelan y se lo entregan en un sobre herméticamente cerrado. Hay un tipo que es mezcla, contiene grano natural con grano torrefacto. El vendedor puede establecer el precio de la mezcla si sabe un poco de álgebra. Supongamos que el cajón tiene una capacidad para 20 kg, y que el precio del café natural es de 8 euros/kilo, y el del torrefacto de 12 euros/kilo. Si quiere que el precio de mezcla esté en 10 euros/kilo, ¿qué cantidad de uno y otro tipo debe juntar?

Si "x" es la cantidad del natural e "y" del torrefacto, entonces, se cumple que x+y=20.

Por precio, los "x" kilos del natural cuestan 8x y los "y" kilos del torrefacto 12y, pero como al final todo tiene que costar 10·20=200 euros, se cumple que, 8x+12y=200. Ya tenemos el sistema. Por sustitución despejando x, x=20-y, y sustituyendo, 8(20-y)+12y=200, 4y=40, y=10 kilos. Entonces x=10 kilos. De esta forma se demuestra el reparto justo, porque también las matemáticas tienen que ver con ser justo.

De la observación nace la idea

La integral de una función es la operación inversa de la derivación. Mientras que la derivada de una función es única, la integral da infinitos resultados que sólo se diferencian en una constante.

Si tenemos f(x)=sen(x), su derivada es f'(x)=cos(x). La integral de f(x)=cos(x), es F(x)=sen(x)+C

Supongamos que queremos calcular la integral,

Lo primero es observar la expresión del radicando. El denominador tiene una forma que recuerda a algo, si hemos trabajado anteriormente con identidades notables podemos caer en la cuenta que es el cuadrado de la suma: 

Gracias a este hecho reescribimos la integral,

Ahora nos nace la idea de cómo resolver la misma. Tiene estructura de integral potencial compuesta,

¿Cómo integrar una función potencial compuesta? Si tenemos f(x)=(g(x))ⁿ, su derivada es, usando la regla de la cadena, f'(x)=n(g(x))^(n-1)·g'(x). Entonces si tenemos que integrar una expresión que tenga una potencia por la derivada de la función base, por el exponente más uno, el resultado es la potencia incrementada en una unidad.

Ahora sólo tenemos que aplicar la regla de integración de una función potencial compuesta para obtener la solución:

Lo importante es que si no hay experiencia de haber trabajado con las identidades notables, guardada en la memoria a largo plazo, no puede surgir la idea para resolver la integral.

Pasos para resolver un problema algebraico

Un plátano y una manzana cuesta 3 euros, una manzana y una manga cuestan 5 euros y un plátano y una manga cuestan 4 euros. ¿Cuánto cuesta una manzana?

1) Leer el enunciado y comprobar que es un problema que se puede resolver con pensamiento algebraico: Hay datos numéricos y hay que usar letras para poder representar los datos desconocidos, como es el precio del plátano, el de la manzana y el de la manga.

2) Llamar x al valor desconocido que se quiere averiguar (usaremos siempre el menor número posible de letras): el precio de la manzana=x

3) Escribir las expresiones algebraicas en función de la x de todo lo que desconocemos aún: el precio de un plátano=3-x; el precio de una manga=5-x

4) Buscar una igualdad entre los datos conocidos y desconocidos del problema: hay tres igualdades, plátano y manzana cuestan 3 euros, manzana y manga cuestan 5 euros y la que no se ha usado todavía es la de que un plátano y una manga cuestan 4 euros. Relaciona datos conocidos (4 euros) y desconocidos (el precio del plátano y la manga).

5) Construir una ecuación: Entonces queda la igualdad,

(3-x)+(5-x)=4

que constituye la ecuación que se buscaba.

6) Resolver la ecuación para obtener x:

-x-x=4-3-5

-2x=-4

x=2

7) Verificar el resultado:

El precio de una manzana es 2, el de un plátano 3-2=1 y el de la manga 4-2=3. Sumando plátano y manzana dan 3, manzana y manga 5 y, por último, plátano y manga 4. Coinciden con los datos del enunciado

Igualdades

La igualdad es una relación entre dos objetos matemáticos.

Los objetos de la aritmética son los números. Cuando tenemos dos números parece obvia la comprobación de si son iguales o no. Por ejemplo 4=5 es falso y 4=4 es verdadero. A veces requiere un poco más de tiempo comprobar si la igualdad es verdadera o falsa, por ejemplo 4=8/2 ó 4=raiz(16). Y no digamos si ponemos 4=3'9999...

En el álgebra los objetos son los polinomios. Si tenemos dos polinomios el comprobar si son iguales o no ya plantea algún que otro interrogante. Así, por ejemplo, es cierto que 2x+5=x+3+x+2, y lo comprobamos fácilmente. La cuestión es que la igualdad puede ser cierta siempre, para todo valor de la variable, o puede ser cierta para ciertos valores de la variable. Por ejemplo 3x+4=8x-6, solo es cierta cuando x vale 2 (la solución). En este caso la igualdad es una ecuación y no una identidad.

En el caso del análisis los objetos matemáticos son las funciones. Comprobar si dos funciones son iguales puede reducirse al problema anterior de igualdad de expresiones algebraicas. Por ejemplo f(x)=3x+4 es igual a g(x)= x-2 sólo cuando x vale -3, es el punto de corte de ambas funciones. Pero también puede ocurrir que las funciones sean iguales en tramos enteros de valores de x. ¿Cómo tienen que ser estas funciones? Por ejemplo si f(x)=sen(x) y g(x) coincide con f(x) en el intervalo [3,6], entonces g(x) se define como g(x)=sen(x) si x pertenece a [3,6] y toma otro valor diferente fuera de este intervalo (una función definida a trozos).

UNIDAD DIDÁCTICA: La coma flotante III (Táctica vs estrategia)

¿Cómo sumar o restar números grandes en notación científica?

Si son del mismo orden sacamos factor común y operamos los coeficientes, arreglando al final para que quede en notación científica en caso de que salga del rango [1,10).

Por ejemplo:

a) 5'78·10^3+6'8·10^3-2'778·10^3=(5'78+6'8-2'778)·10^3=9'802·10^3

b) 5'66·10^5+6'33·10^5=(5'66+6'33)·10^5=11'99·10^5=1'199·10·10^5=1'199·10^6

Si son de distinto orden se pueden pasar a notación ordinaria, se hacen las operaciones y, finalmente, se vuelve a notación científica, o bien transformar para que las potencias de 10 coincidan.

Por ejemplo:

a) 4'778·10^4+5'6·10^5=47780+560000=607780=6'0778·10^5

b) 4'778·10^4+56·10^4=(4'778+56)·10^4==6'0778·10^5

¿Cómo multiplicar o dividir números en notación científica?

Se multiplica o divide la parte coeficiente, se multiplican o dividen las potencias de 10 y se arregla al final para que quede en notación científica.

Por ejemplo:

a) (5'777·10^6)·(3'02·10^4)=5'777·3'02·10^6·10^4=17'44654·10^(6+4)=1'744654·10^11

¿Cuando operamos con números grandes en notación científica cuántos decimales debemos de considerar? 

Cuando se mide algo y se da en notación científica se considera que a partir de determinados dígitos ya no hay precisión suficiente como para seguir obteniendo cifras válidas y entonces se ponen ceros.

Cuando hay distintas medidas en notación científica que sumar o restar se cogen tantos decimales como indique la menor precisión, y la regla a emplear es: "Quedarse con la posición del menor dígito común y redondear"

Por ejemplo:

a) 5'78·10^3+6'8·10^3-2'778·10^3=9'802·10^3 y como el menor dígito común está en las décimas (6'8) el resultado queda 9'8·10^3

b) 4'65·10^3+2'566·10^5=2'6125·10^5 en este caso es la milésima dando 2'613·10^5, ya que si se escribiesen con igual orden (4'65·10^3+25'66·10^3) veríamos que el menor dígito común es el último 6

Para la multiplicación y la división se consideran las cifras significativas que tienen los números, ya que el resultado no va a tener más precisión que los números operados, y la regla es: "Dar el resultado redondeado con tantas cifras significativas como el número que tenga menos cifras significativas"

Por ejemplo:

a) (6'304·10^3)·(8'7·10^6)=5'48448·10^10, y como un número tiene sólo dos cifras significativas queda, 5'5·10^10

b) (4'325·10^4):(3'43·10^2)=126'0932945, y como son tres las cifras significativas queda, 1'26·10^2

UNIDAD DIDÁCTICA: La coma flotante II (Teoría vs práctica)

Escribir un número grande resulta engorroso por la cantidad de cifras que tiene, entonces es necesario utilizar una notación que simplifique la expresión. Sea, por ejemplo, el número 345 349 800 746 387 622, lo primero cuestionar la representatividad de las cifras, por ejemplo,  en un contexto de grandes distancias la escala nos indica que las cifras de la derecha son poco representativas con respecto a las de la izquierda. Si la distancia es en metros los 622 últimos metros son poco significativos con respecto a la cantidad total. Además, una máquina que llegue a esa precisión en la medida es muy improbable, el universo está en continuo movimiento y las distancias son promedios. Entonces podemos decidir aproximar la cantidad sustituyendo cifras de la derecha por ceros. ¿Cuántas cifras sustituir? Se puede tomar un criterio acordado, coger las cuatro cifras significativas de la izquierda: 345 300 000 000 000 000. Ahora eliminamos tantos ceros con potencias de 10, 3453·10^14. Para que quede más preciso el criterio, se decide que el número inicial esté entre 1 y 10, con lo cual queda 3'453·10^3·10^14=3'453·10^17, la notación científica final. La importancia de la potencia de 10 es que la cantidad real es de orden 17, es decir es a groso modo un tres seguido de diecisiete ceros. También podemos decir que es 34 y 16 ceros, ó 345 y 15 ceros, ó 3453 y 14 ceros. Más precisión ya no se necesita.

Vamos a ver los resultados en la práctica:
Consideremos las distancias del Sol a los planetas en Km
Mercurio 57 910 000=5'791·10^7
Venus 108 200 000=1'082·10^8
La Tierra 146 600 000=1'466·10^8
Marte 227 940 000=2'2794·10^8
Júpiter 778 330 000=7'7833·10^8
Saturno 1 429 400 000=1'4294·10^8
Urano 2 870 990 000=2'87099·10^9
Neptuno 4 504 300 000=4'5045·10^9
Plutón 5 913 520 000=5'91352·10^9

Lo primero que se observa es que hay distancias de orden 7, 8 y 9
El número de cifras decimales varía pero las de orden menor tiene menos cifras decimales que las de orden mayor. Como criterio general, cuando se tienen varias cifras deberían de tener un decimal más por cada orden que aumente, así se podría comparar cuánto es mas distante un planeta que otro del Sol. Por ejemplo si restamos la distancia de Júpiter de la de la Tierra, 778 330 000-146 600 000=631 730 000, la distancia de la Tierra al Sol debería de tener una cifra decimal más para ajustar mejor el 3 que está en la 5ª posición.

UNIDAD DIDÁCTICA: La coma flotante I (Método vs razón)

Si queremos poner un número grande en notación científica podemos usar el siguiente método:
23 240 000 000 000
Asumimos que hay una coma decimal detrás del último dígito,
23 240 000 000 000,
y ahora debemos de situar la coma entre el 2 y el 3 iniciales, y por cada lugar que movamos la coma hacia la izquierda incrementamos en 1 la potencia de diez, así,
23 240 000 000, 000·10^3
23 240 0,00 000 000·10^8
2,3 240 000 000 000·10^13
ahora eliminamos los ceros a la derecha
2,324·10^13
y ya tenemos la notación científica del número, con coeficiente 2,324 y de orden 13.

El método queda asentado para poder repetir las cosas sin pensar. Pero, que pasa si nos olvidamos por falta de uso, ¿cómo razonamos para recuperar el método?
Empezamos por acordarnos de que hay un número decimal que debe de estar entre 1 y 10, [1,10), y luego la potencia de 10. Suponiendo que el número es pequeño, por ejemplo 23, no es difícil recordar que
23=2,3·10
la coma se movió un lugar a la izquierda y la potencia de 10 es uno. Ahora, si es uno de tres cifras,
232=2,32·100=2,32·10^2
la coma se mueve dos lugares, la potencia es 2. Para otro más grande de cuatro cifras,
2324=2,324·1000=2,324·10^3
y así sucesivamente, cada cifra nueva que nos movemos a la izquierda es un nuevo múltiplo de 10,
2324000= 2,324·1000000= 2,324·10^6
Entonces podemos reconstruir el método si empezamos razonando con los casos sencillos.

Teoría de la información

Supongamos el mensaje siguiente (puede ser una muestra de especies):
"hhhhdggfsjjujjjakks"
Contabilizamos el número de veces que aparece cada letra en el mensaje :
h->4
d->1
g->2
f->1
s->2
j->5
u->1
a->1
k->2
Total=19
La probabilidad de cada letra es:
p(h)=4/19
p(d)=1/19
p(g)=2/19
p(f)=1/19
p(s)=2/19
p(j)=5/19
p(u)=1/19
p(a)=1/19
p(k)=2/19
Calculando la información que aporta cada letra con el -log2(pi) según Shannon:
-log2(p(h))=-lo2(4/19)=2'25
-log2(p(d))=-log2(1/19)=4'25
-log2(p(g))=-log2(2/19)=3'25
-log2(p(f))=-log2(1/19)=4,25
-log2(p(s))=-log2(2/19)=3,25
-log2(p(j))=-log2(5/19)=1,93
-log2(p(u))=-log2(1/19)=4'25
-log2(p(a))=-log2(1/19)=4'25
-log2(p(k))=-log2(2/19)=3'25
Es una medida de la información que aporta cada letra, las que aparecen poco aportan más información y, las que aparecen más, menos información. Las unidades de información son bits. Esto significa que si aparece una j ya sabemos que está, la segunda vez ya la conocemos y así hasta la quinta vez (es una especie menos valiosa porque está repetida). Si hay ruido tenemos bastante certeza de que nos llegue (en otra muestra en el lugar es fácil volver a encontrar la especie j).
Ahora promediamos la información que hay en el mensaje con las probabilidades de aparecer.
H=2'25(4/19)+4'25(1/19)+3'25(2/19)+4'25(1/19)+3'25(2/19)+1'93(5/19)+4'25(1/19)+4'25(1/19)+3'25(2/19)=2'55
El mensaje tiene un información promedio de 2'55 bits por letra. Cuantas más letras e igualmente repartidas más información hay. En este caso tenemos una información equivalente a repartir 5'85.. letras entre las 19 del mensaje con frecuencia 3'24.. veces, usando para codificarlas 2'55 dígitos.

La derivada de una función, un concepto

Una función es derivable cuando es suave.
¿Cómo podemos caracterizar ésto geometricamente? Pues, es cuando podemos dibujar en todos sus puntos una recta tangente.
¿Cómo podemos caracterizar esto algebraicamente sin ver el dibujo? Pues, es cuando podemos escribir la ecuación de la recta tangente, esto es, disponemos del punto y la pendiente.
Pero, ¿cómo obtenemos la pendiente de la tangente? Pues, usando el hecho de que la tangente es el límite (analíticamente) de las cuerdas que pasan por ese punto fijo y otro punto variable que se acerca al punto fijo.
¿Cuál es la pendiente de la cuerda?:   m=(f(x)-f(a))/(x-a)
Por lo tanto la pendiente de la tangente es el límite de las pendientes de las cuerdas: f'(a)=lim(f(x)-f(a))/(x-a) cuando x->a
Por tanto una función es derivable en un punto cuando existe f'(a), y lo es en un intervalo abierto cuando lo es en todos los puntos.
Evidentemente en los extremos del intervalo no podemos dibujar la recta tangente porque esta queda indefinida, lo mismo que pasaría en un pico de la curva. Analíticamente sólo podríamos hablar de límites laterales y, por tanto, de derivadas laterales.

UNIDAD DIDÁCTICA: Fracciones y operaciones

MOTIVACIÓN: ¿Para qué sirven las fracciones?
El euro es la unidad monetaria de la Unión Europea.

http://www.ecb.int/euro/coins/common/html/index.es.html 

Si tenemos 20 euros y queremos repartirlos entre 5 personas resulta fácil de hacerlo, toca a 4 euros por persona. En el caso de tener que repartir 1 euro entre dos personas, tendríamos que dar a cada uno la mitad, que se representa por la moneda de 50 cents. Si el euro lo tenemos que dividir entre 4 personas podemos dar a cada uno una moneda de 20 cents y una de 5 cents. Aún así no siempre podemos hacer un reparto justo con las partes del euro disponibles, por ejemplo, resulta imposible repartir en partes iguales un euro entre tres personas, puesto que al repartir tres monedas de 10 cents y tres de 1 cent a cada uno nos queda una moneda de 1 cent que no podemos repartir entre tres, porque no hay monedas más pequeñas. Si queremos dividir una unidad en partes iguales, para hacer por ejemplo repartos,  necesitamos  una partición suficiente y una notación que nos permita hablar de esas partes. 

ACTIVIDAD 1: La mitad del euro es la moneda de 50 cents. ¿Qué parte representa del euro cada una de las demás monedas existentes?

50 cents la mitad de un euro

20 cents

10 cents

5 cents

2 cents

1 cent

EXPERIMENTACIÓN: ¿Qué significado tienen la fracciones?
Podemos, de forma fácil, representar numéricamente una parte del total con una fracción cuando tenemos una partición regular. Las fracciones representan las partes de la unidad. 

Si dividimos una unidad en 7 partes iguales y queremos cuantificar 4 de esas partes (color naranja), pues consideramos que representa las 4/7 partes de la unidad. 

ACTIVIDAD 2: ¿Qué fracción se debe de emplear para representar la parte que corresponde a cada color en el cubo coloreado:

cubo coloreado

AZUL=            ; NARANJA=           ; VERDE=

ACTIVIDAD 3: En los siguientes mosaicos cuantifica la parte coloreada de cada uno de ellos.

ACTIVIDAD 4: ¿Qué fracción utilizarías para representar la parte sombreada del conjunto suponiendo que el círculo es la unidad?

ACTIVIDAD 5: ¿Cómo representar con una fracción 2 euros y 20 cents?

ACTIVIDAD 6: ¿Cómo escribir los números enteros como fracciones?


CONCEPTUALIZACIÓN: ¿Qué estructura tienen las fracciones?

Podemos considerar una partición en partes más finas que las iniciales lo que nos lleva a representar una misma parte de la unidad con fracciones que son equivalentes. En el ejemplo la parte sombreada es la misma en ambos casos pero las particiones se escriben distintas, 3/9 y 6/18:

Decimos que 6/18 es la fracción equivalente amplificada de 3/9 (nota que 2·3/2·9=6/18)

Decimos que 3/9 es la fracción equivalente simplificada de 6/18 (nota que 6:2/18:2=3/9)

Cuando las fracciones son equivalentes podemos escribir la igualdad entre las mismas, así:  3/9=6/18

Nótese que se pueden reconocer las fracciones equivalentes porque el producto cruzado coincide: 3·18=9·6

De un todas las fracciones equivalentes entre sí la más simplificada se llama fracción irreducible: 1/3=2/6=3/9=4/12=5/15=6/18=.... 

ACTIVIDAD 7: Obtener la fracción irreducible que representa la parte coloreada del gráfico y hacer una comprobación gráfica de la equivalencia.

ACTIVIDAD 8: Obtener la fracción irreducible equivalente para cada fracción:

12/36=                   20/12=                     132/99=                   18/50=

PROCESAMIENTO: ¿Qué secuencia tienen las fracciones?
Con las fracciones debemos de poder hacer comparaciones para comprobar si una es mayor que la otra. Por ejemplo, tenemos tres banderas que emplean color rojo y queremos averiguar cuál de ellas tiene más superficie roja:



A simple vista la menor es la de Colombia, después la de Chile y finalmente la Checa.Si buscamos el denominador común (mcm(4,2,8)=8) y buscamos las fracciones equivalentes por amplificación con denominador común 8 obtenemos:

3/8=3/8 1/4=2/8 1/2=4/8

Comparando los numeradores de las fracciones equivalentes comprobamos que el orden debe de ser, de menor a mayor, Colombia menor que Rep. Checa y esta menor que Chile, como se veía a simple vista.
Representando las fracciones en el intervalo unidad, de 0 a 1, se divide el mismo en ocho partes, en la segunda ponemos el 2/8, en la tercera el 3/8 y en la cuarta el 4/8

Cualquier fracción la podemos representar en la recta real.

ACTIVIDAD 9: Ordenar las banderas según el color amarillo que emplean con ayuda de fracciones y representar estas en un intervalo unidad.

MECANIZACIÓN: ¿Cómo unir o separar fracciones?
Se pueden juntar distintas partes de la unidad, o quitar, llevando aparejado con ello la suma, o resta, de fracciones para calcular la fracción resultante. En el puzle de personajes de Naruto hay 4 personajes, cada uno ocupando tres casillas. Cada personaje ocupa ¼ del puzle, o sea que al completarlo habremos rellenado todo el puzle, 1/4+/4+1/4+1/4=4/4=1. O bien 3/12+3/12+3/12+3/12=12/12=1. 

En el ejemplo se llevan hechos los 6/12 del puzle, o sea la mitad, 1/2. Por personajes 3/12+2/12+1/12=6/12=1/2. A Sakura le falta una pieza, 3/3-2/3=1/3, falta 1/3 de Sakura, y, a Naruto le faltan 3/3-1/3=2/3, dos piezas de tres, faltan los 2/3.

Para sumar o restar fracciones necesitamos que tengan el mismo denominador.

ACTIVIDAD 10: En el siguiente puzle, con ayuda de fracciones, averigua:
1) ¿Qué fracción de puzle está hecho?  2) ¿Cuánto falta por hacer?  3) Comprueba que lo que está hecho más lo que falta por hacer da la unidad.

CONSOLIDACIÓN: ¿Cómo repetir una fracción de una fracción?
Supongamos una caja de botellas de agua de las cuales las 3/4 partes están llenas. De esas 3/4 partes bebemos las 2/5 partes. ¿Qué fracción de la caja contiene botellas llenas?.

La caja inicialmente está dividida en 4 partes iguales de las que 3 corresponden a botellas llenas. Si se beben las 2/5 partes de ellas, quedan 3/5 de botellas llenas de las 3/4 partes del total. Tendríamos que dividir las tres partes anteriores en cinco partes y coger tres. O sea, primero se divide en 4 partes y luego, lo que queda, en 5 partes, para ello dividimos inicialmente toda la caja en 5·4=20 partes iguales. Entonces las 3/4 partes son las 15/20 partes. De esas 15 partes si las dividimos en 5 partes iguales y elegimos 3 representan 9 partes de 20, los 9/20 del total.
La operación con las fracciones es la multiplicación (3/5)·(3/4)=(3·3)/(5·4)=9/20

Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí.

Si plantamos el problema al revés, inicialmente los 2/3 de la caja eran botellas llenas y al final las 5/12 partes eran botellas llenas, ¿qué fracción de las 2/3 partes se bebieron?
Es la operación inversa de la multiplicación, 5/12:2/3=(5·3)/12·2)=15/24, que podemos comprobar que está bien con la operación inversa de multiplicar, (2/3)·(15/24)=30/72=5/12

Para dividir se multiplica en cruz, numerador por denominador da el numerador resultante, y, denominador por numerador da el denominador resultante.

ACTIVIDAD 11: Realizar las siguientes operaciones:
a) (3/5)·(2/7)    b) (7/5):(4/3)    c) 4/5+(3/2:2/5)   d) 7/2-3+ (2/3)·2   e) 6+(1/2)·(3/4)+(2/3):(5(2)


EVALUACIÓN: ¿Con qué criterio usamos las fracciones?
Si ya sabemos la fracción que representa una parte del total también podemos tener el valor que le corresponde. Por ejemplo, si una caja de botellas de agua contiene 12 botellas de las cuales las ¾ partes están vacías, ¿cuántas botellas llenas tiene?.

1-3/4=4/4-3/4=1/4 son las botellas llenas.

Para calcular ¼ de 12 hay que dividir 12 en cuatro partes y tomar una, 12:4=3, entonces son cuatro partes de tres botellas cada una, y una parte son tres botellas. Esta operación es el producto de ¼ por 12.

ACTIVIDAD 12: Si las 4/5 partes de un grupo de 35 personas son mujeres, ¿Cuántos hombres hay?

ACTIVIDAD 13: Si 3/5 partes de los votantes de una reunión eligen al candidato A, y en la reunión hay 75 personas, ¿cuántos fueron los votantes de A?

ACTIVIDAD 14: Si los 2/3 del dinero recaudado para una causa benéfica fueron 230 euros, ¿cuánto dinero se recaudó?

ACTIVIDAD 15: Saco las 2/5 partes de un líquido de una botella y de lo que queda saco las ¾ partes ¿Qué fracción de la botella queda aún?

ACTIVIDAD 16: Un recipiente de 100 litros está lleno de una mezcla de concentrado de zumo y agua, en la que hay 2/5 de concentrado. Se venden 50 litros, y el recipiente se llena con agua. ¿Cuál es la nueva fracción del concentrado de zumo?

Los números, las operaciones y el orden: 1 + ( )

Podemos aventurar que con el 1, el + y el ( ) empezó todo. El 1 surge de contar la unidad, una manzana, una oveja,...; el + de juntar lo unitario común, 1 manzana + 1 manzana son 2 manzanas,...; el ( ) es el orden de como juntar 2 manzanas con 3 manzanas y con 7 manzanas, (2+3)+7=2+(3+7), porque es imposible contabilizar juntando mas de dos cosas a la vez. A partir de estos tres elementos surge todo lo demás. Tal vez el orden de operar, al principio, no era importante porque la experiencia decía que había asociatividad y distributividad en los cálculos que se hacían. Tal vez la practicidad del cálculo, la búsqueda de formas de operar más simples, fue lo que llevó a poner a la luz la importancia del paréntesis para alterar el orden de operar.

Como toda génesis tiene que haber una estructura y una de las más simples es la de grupo:
Un conjunto de elementos G, con una operación interna *, cumpliendo:
1) Existe un elemento identidad, e, tal que a*e=e*a=a
2) Para todo elemento de G, b, hay un opuesto, b', tal que b*b'=b'*b=e
3) Se cumple la propiedad asociativa: a*(b*c)=(a*b)*c

El ejemplo más conocido de grupo es el de los números enteros con la operación de sumar (Z,+).

Un ensayo sobre la basicidad del paréntesis

Empezamos por lo números y las operaciones que envuelven a la aritmética.
Llamaremos a los números con letras minúsculas; a,b,c,...(como en las ecuaciones)
Llamaremos a las operaciones con letras mayúsculas: A,B,C...(son siete)
Una expresión de cálculo que implica números y operadores es una secuencia finita del tipo: aAbBcDa
Entonces tenemos que resolver las expresiones de cálculo, hacer operaciones de números con las operaciones, y vamos a considerar que el orden es el de la jerarquía de operaciones. Si añadimos el paréntesis, un organizador de operaciones, podemos alterar el orden de operar. El paréntesis debe de abrir y cerrar conteniendo una expresión de cálculo: (aAbBcDa)
Las propiedades del paréntesis sobre el orden de operar son:
1) Si la expresión de cálculo es nula o un número el paréntesis se puede eliminar: ( )=0, (a)=a
2) La resolución de un paréntesis da un número: (aBcAm)=n
y las llamadas de prioridad,
3) Hay que resolver el contenido de la expresión de cálculo del paréntesis antes que cualquier otra expresión: aCdB(aCe)=aCdBs siendo (aCe)=s
4) Cuando hay paréntesis anidados se empiezan a resolver desde los más interiores hasta los más experiores: (dAe(nC(eBs)))=(dAe(cCo)) siendo eBs=o
El paréntesis se convierte así en un operador unario sobre las expresiones de cálculo cuya resultado es un número (en el caso de la aritmética).
Ocurre lo mismo con el operador unario valor absoluto. Hay más operadores unarios como pueden ser la parte entera, el redondeo inferior, el redondeo superior,...
El paréntesis es como el elemento base de los operadores unarios porque desaparece en combinación con los demás operadores al heredar estos las propiedades de prioridad, por ejemplo: |(aBc)|=|aBc|, (Ent(a))=Ent(a). Esto demuestra la rareza del paréntesis su carácter básico para empezar a caminar en las matemáticas.

Paréntesis y recursividad

¿Es el paréntesis un organizador? Puede que sí, su cometido es cambiar el orden de efectuar la operaciones. ¿Qué propiedades tiene? Fundamentalmente la de que indica que hay que hacer primero las operaciones que contiene en su interior (se puede quitar una vez realizadas)  y de que, en caso de anidamiento, hay que hacer primero los paréntesis más internos.
La recursividad es otra forma de organizar un orden de operar, es en parte lo equivalente al anidamiento de paréntesis cuando hay un patrón que seguir. Podemos hacer una multiplicación como ejemplo de todo esto:
Efectuamos 4*7, indicando en rojo el orden de la operación en forma estandar,
4+4+4+4+4+4+4=8+4+4+4+4+4=12+4+4+4+4=16+4+4+4=20+4+4=24+4=28
Ahora alteramos el orden y operamos de derecha a izquierda con ayuda del paréntesis
4+(4+(4+(4+(4+(4+(4))))))=4+(4+(4+(4+(4+(4+4)))))=4+(4+(4+(4+(4+(8)))))=4+(4+(4+(4+(4+8))))=4+(4+(4+(4+(12))))=4+(4+(4+(4+12)))=4+(4+(4+(16)))=4+(4+(4+16))=4+(4+(20))=4+(4+20)=4+24=28
Ahora vamos a simplificar este último proceso con ayuda de la recursividad:
producto(n)=4+producto(n-1), producto(0)=0, n:1..7