Pasos del método de la búsqueda de una palabra en un texto

1º) Se trata de que se le va a decir a un ordenador cómo encontrar el número de veces que se usa una palabra patrón en un texto
2º) Se parte del texto formado por una secuencia de palabras y del patrón a buscar.
3º) Las palabras son secuencias de letras que acaban en el primer blanco o coma o punto que se encuentren.
4º) Para comparar se ve letra por letra (en el sentido de la lectura) si van coincidiendo patrón y palabra investigada. Si falla una letra, no coinciden, y si todas son iguales, ha ocurrido una coincidencia que se anota. Se acumula el contador de ocurrencias en uno si se encuentra.
5º) Una vez comparada una palabra se elige la siguiente palabra del texto mientras siga habiendo.
6º) Se vuelven a repetir los pasos 4º y 5º.
7º) Si se llega al final del texto (el punto y final), se acaba la búsqueda y se devuelve el número de ocurrencias.

Un método para buscar una palabra en un texto

Dado el texto:

Yo por bien tengo que cosas tan señaladas, y por ventura nunca oídas ni vistas, vengan a noticia de muchos y no se entierren en la sepultura del olvido, pues podría ser que alguno que las lea halle algo que le agrade, y a los que no ahondaren tanto los deleite.

Buscar las veces que aparece la palabra "que".
Hay que ir palabra por palabra, empezando por la primera comparandola con "que". Si coincide se anota una ocurrencia.
Así podemos comprobar que "que" aparece 4 veces en el texto del Lazarillo de Tormes, es la 5ª, la 33ª, la 35ª, la 40ª y la 46ª palabra.
La búsqueda finaliza cuando se llegue a la última palabra.

Esquema del juego de cruzar el río

El juego consta de:
a) Un número determinado de jugadores
(2 jugadores)
b) Un tablero, unas fichas y dados
(el tablero con las 12 casillas, 10 fichas y dos dados)
c) Una posición inicial de las fichas en el tablero
(cada jugador posiciona sus fichas en sus casillas, pudiendo colorar varias fichas en un misma casilla)
d) Una modo de realizar los movimientos
(se lanzan los dos dados y se suman los resultados)
e) Reglas que indiquen que hacer en cada caso

(si la suma coincide con una de las casillas ocupadas se quita una ficha significando que cruza el río)

(si ambos jugadores tienen fichas en opción de saltar el río porque coinciden en el mismo número de casilla realizan el salto a la vez)

f) Una estrategia de juego para conseguir ganar
(si no coincide, cada jugador puede cambiar de posición una de sus fichas buscando mejorar opciones)
g) Un final de partida

(finaliza la partida cuando un jugador haga saltar el río a todas sus fichas)

(puede acabar en empate si ambos jugadores finalizan conjuntamente)

El juego de cruzar un río

El juego es para dos jugadores con un tablero que representa un río en el que los jugadores ponen sus cinco fichas, cada uno en su orilla. Las orillas tienen casillas numeradas del 1 al 12. En cada casilla se pone el número de fichas que se desee. En cada jugada los jugadores lanzan sus dados y suman los resultados de los dos dados.

Reglas del juego:

1) Si el número resultante de la suma coincide con el de una casilla ocupada por una ficha, en cualquier orilla, la ficha cruza el río y se quita del tablero.

2) Cada jugador puede reposicionar sus fichas antes de cada tirada si no cruzó con una ficha el río en la jugada previa.

3) El primero que haga cruzar sus fichas gana la partida.

La partida puede terminar en tablas si pasan los jugadores su última ficha a la vez.

La cuestión que deben de contestar cualquiera de los dos jugadores es: ¿cuáles son las mejores posiciones para colocar las fichas?

Estrategia de la malla

Si establecemos una malla que recubra la figura tendremos:

• 94 rectángulos interiores
• 45 rectángulos en el borde, que son de distinto tamaño y podemos suponer que sólo la mitad corresponde al área, son por tanto, 22'5 rectángulos.
• Total: 94+22'5=116'5 rectángulos.

Si el área de un rectángulo es a unidades cuadradas, el área final es aproximadamente:

A=116'5·a unidades cuadradas

Estrategias

¿Cómo aproximar el cálculo del área de una figura poligonal irregular?

Se quiere averiguar el área de la figura siguiente, ¿cómo hacerlo?
Estrategia 1: Dividir la figura en triángulos y medir sus bases y alturas y calcular sus áreas.
Estrategia 2: Dividir la figura en triángulos, medir sus lados y calcular sus áreas con la fórmula de Herón.
Estrategia 3: Meter la figura en un rectángulo, medir el área de los triángulos que complementan la figura en el rectángulo y descontar sus áreas de la del rectángulo.
Estrategia 4: Aproximar la figura con figuras rectángulares, internamente, externamente o superponiendólas, y calcular sus áreas.
Estrategia 5: Dividir el papel con una malla suficientemente fina como para contar los cuadraditos que aproximen a la figura dada.

Una idea: Las Constantes

Vamos a desarrollar la idea de las constantes:

a) La razón entre el dinero pagado con bono en la guagua y el número de viajeros que van es constante, vale 0'65 en nuestra ciudad a lo largo de este año mientras no suba el precio del bono. Representa el precio por viajero.

b) La razón entre la masa de un volumen de agua en kilos y dicho volumen en litros es constante y vale 1'03. Al menos mientras no cambien las unidades de masa y volumen, que no van a cambiar en mucho tiempo, y también, hay que decir que este resultado es un promedio. Habría mares con distintas razones. Representa la densidad del agua de mar.

c) La razón entre lo que pagamos al pescadero y los kilos de merluza que llevemos es constante, ahora mismo puede estar en los 12 euros, pero esta constante tiene poca vigencia, puede cambiar en cortos períodos de tiempo. Representa el precio por kilo que nos recuerda el cartelito que hay encima del pescado.

d) La razón entre las sombras que proyectan palos de distinta altura y su longitud, en un determinado instante, es constante, y sólo depende de la inclinación de los rayos del Sol. Representa una de las razones trigonométricas del ángulo.

e) La razón entre el espacio recorrido en autopista, en kilómetros, y el tiempo transcurrido, en horas, yendo a la máxima velocidad que permite la ley, es 110. Representa ese límite de velocidad que aparece en los letreros de la autopista.

El valor de las constantes

Los precios de los productos que hay en el mercado son constantes, al menos durante un tiempo si no los sube el propietario, lo cual nos permite controlar la economía doméstica. Así, el precio de un kilo de café en una determinada época puede ser de 2 euros, un valor constante mientras no suba. En ese período en que es constante, utilizamos el dato para realizar cálculos con el que hacer compras de ese café. Por ejemplo, si queremos comprar 4 kilos de café multiplicamos 4·2 y nos da 8 euros. Si fuesen 5 kilos, serían 5·2=10 euros. Lo que tenemos delante es una fórmula que nos permite obtener el precio a pagar según los kilos que se compren. Pero también, podemos calcular la cantidad de café que podemos comprar con ese dinero. Por ejemplo, con 15 euros se pueden comprar 15/2=7'5 kilos de café. Podemos calcular los kilos según el dinero que queramos gastar. Ambas situaciones las podemos representar por la expresión:

precio/2=kilos de café

precio=2·kilos de café

o bien,

precio/kilos de café=2

Cuando dos magnitudes tiene una relación de este tipo, el cociente entre sus valores correpondientes es constante, se dice que son directamente proporcionales:

y/k=x

y=k·x

o bien,

y/x=k

Estas constantes son temporales por lo que la validez de las fórmulas depende de lo que estén vigente esas constantes, pero hay otras magnitudes que no cambian sus constantes de proporcionalidad directa. Por ejemplo, la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro siempre es pi=3'1415... También, la razón entre la altura de cada uno de los árboles de una alameda y su sombra, en un instante dado, también es constante, y está relacionada con la inclinación de los rayos de sol que haya en ese momento.

Tantos por ....

Hay proporcionalidad directa entre dos magnitudes relacionadas cuando la razón entre los valores medidos, en cualquier instante o lugar, es constante. 

Por ejemplo, si un coche va a velocidad constante significa que la razón entre el espacio recorrido y el tiempo transcurrido en todo momento es constante, las magnitudes espacio y tiempo son en este caso directamente proporcionales.

Si el coche tarda 2h en recorrer 120 km, entonces, la razón constante es 120/2=60 que representa lo que recorre en una hora, lo que llamamos velocidad del coche. Representa el tanto por uno, el espacio recorrido en una hora.

Otro ejemplo, si en una tienda rebajan por fin de temporada 12 euros en un vestido que costaba 120 euros, si suponemos que la razón entre el descuento y el precio antiguo debe de permanecer constante, entonces por un hipotético vestido de 100 euros deben de descontar una cantidad x que encontramos igualando la razón en los dos casos:

12/120=x/100

x=12·100/120=10 euros.

Hacen una rebaja de 10 euros por cada vestido que cueste 100 euros, es el tanto por ciento de descuento, el 10%.

Unas veces interesa presentar la razón constante de proporcionalidad como el tanto por uno y otras como el tanto por ciento. Pero también hay más representaciones de la razón de proporcionalidad directa.
Otro ejemplo, en una población de 25000 habitantes nacen al año 24 nuevos individuos. Si medimos el número de habitantes que nacerían en la misma proporción en una población de 1000 habitantes tendríamos:

24/25000=x/1000

x=24·1000/25000=0,96 habitantes

Aproximadamente nace un nuevo individuo por cada mil habitantes, es el tanto por mil, 0,96º/oo
El tanto por millón se denota como ppm, partes por millón, y se usa en cuestiones de concentraciones de pequeñas partículas. Por ejemplo, si se estudia la concentración de materia orgánica que hay en una zona del océano y se llega a que hay 567 mg de ese tipo por cada millón de mg de agua del océano (1 Kg), tenemos una concentración de 567 ppm. Siguiendo el mismo razonamiento también se puede hablar de partes por billón, ppb.

Ambigüedades a favor

En matemáticas se utilizan ciertas ambigüedades en beneficio de una mayor simplificación. Una de ellas es la de usar indistintamente el signo menos de los números negativos y el operador de la resta. Veamos un ejemplo: si tengo 6 euros y contraigo una deuda de 4 euros, dispongo de 2 euros en propiedad; si tengo 6 euros y gasto 4 me quedan 2.

6 + (-4) = 2 ; 6 - 4 = 2

El guión de menos cuatro representa en el primer caso al número negativo, la deuda, y en el segundo a la resta, el gasto. Las expresiones son equivalentes porque dan el mismo resultado:

6 + (-4) ~ 6 - 4

y podemos poner:

6 + (-4) = 6 - 4 = 2

con lo cual el simbolo de igualdad y equivalencia se equiparan. Me quedo igual en ambos casos, con sólo 2 euros.

Lenguaje algebraico

Una propiedad: La suma de dos naturales es independiente del orden en que se haga. a+b=b+a 
Una regla: Si la suma de los dígitos de un número es múltiplo de 3 el número es divisible por 3.
Una función: En una recta la razón entre el incremento de la ordenada y de la abscisa es constante. y=mx+n
Una fórmula: El área del círculo es igual a pi veces el radio al cuadrado. A=π·r²
Un método: Para sumar fracciones con igual denominador se pone como numerador la suma de numeradores y como denominador el denominador común. a/b+c/b=(a+c)/b

Operaciones con enteros

Los números enteros los forman los enteros positivos +1, +2, +3, +4,....., el cero, 0, y los enteros negativos, -1, -2, -3, -4,... Salvo el cero, todos los enteros tiene signo, y nos sirven, por ejemplo, para medir las temperaturas. El cero es el que correponde al punto de congelación del agua, por encima de cero es la temperatura que hace un día soleado y por debajo, cuando nieva. El refrigerador suele estar a 5ºC (+5) y el congelador a -15ºC (-15). Por los general, en los Polos necesitamos medir la temperatura ambiente con los números negativos y en el Ecuador con los positivos.

Para sumar y restar utilizamos los mismos signos, + y -, que empleamos para indicar los enteros positivos y negativos. En principio esto supondría una dificultad, usar el mismo signo para representar dos cosas diferentes. Sin embargo esta desventaja se convierte en virtud, ya que resulta engorroso estar continuamente poniendo un signo menos o más delante de los números. Para simplificar se asume que el signo más para los positivos no es necesario ponerlo, por defecto si un número no tiene signo suponemos que es positivo. Así +3=3. Solamente usamos el signo menos para indicar un número negativo y, si está  implicado en medio de operaciones, hay que usar el paréntesis para estos números cuando operamos con ellos. Así +4+(-5) = 4+(-5). Aquí viene la ventaja de usar el mismo signo para la operación y para especificar el número, puesto que sumar a un número positivo uno negativo (bajar la temperatura en los ejemplos), es equivalente a restar a ese número positivo el opuesto del negativo. Por ejemplo: 4+(-5) = 4-(+5) = 4-5. Es decir, se cumple la regla del producto de signos, + · + = +, + · - = -, - · + = -, - · - = +, que permite simplificar el tema de los signos y los paréntesis, hasta el punto de convertir todo en sumas y restas de positivos. Por ejemplo: (-4)+(-5)-(-3)+(+4) = (-4)+(-5)-(-3)+4 = (-4)-5+3+4 = -4-5+3+4

Sustitución

Resolver por el método de sustitución el sistema de ecuaciones siguiente:

3x+4y=11

5x-2y=1

Paso 1: Despejar la x en la primera ecuación para obtener una expresión de la variable x en función de la y
x=(11-4y)/3

Paso 2: Sustituir la expresión de x obtenida en la segunda ecuación para obtener una ecuación de primer grado en y
5(11-4y)/3-2y=1

Paso 3: Resolver la ecuación para obtener el valor de y
55-20y -6y=3
-26y=-52
y=2

Paso 4: Obtener el valor de x a partir de la expresión anterior sustituyendo el valor de y
x=(11-4·2)/3
x=1

Paso 5: Comprobar la correctitud del resultado poniendo los valores de x e y en el sistema inicial
3·1+4·2=11
5·1-2·3=-1


En el paso 1 se puede despejar la x en lugar de la y también.
En cada paso se realiza una acción y se obtiene un dato que se emplea en el paso siguiente o posteriores.

Problemas

Silvia compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en 505 euros. Calcula los precios respectivos, si la falda vale 25 veces más que el pañuelo, y el abrigo, el triple de la falda.

Un camión de reparto ha traído a un bar agua, cervezas y refrescos de cola. En total son 505 botellas. Calcula cuántas botellas han traído de cada clase teniendo en cuenta que por cada agua hay 25 cervezas y por cada cerveza hay 3 colas. 

En una cadena trófica la especie A come a la B y esta a la C. Cada individuo de la especie A come 25 de la B, y cada uno de la B come 3 de la C. En una comunidad en la que hay 505 individuos de las tres especies, ¿cómo tienen que estar distribuidos para que todos los individuos de la especie A puedan comer?

¿Dónde estamos atrapados?
Desconocemos la cantidad de individuos de cada especie. Supongamos que  hay x individuos de la especie A (botellas de agua/precio del pañuelo), entonces tiene que haber 25x de la B (cervezas/precio de la falda), y 3·25x de la C (colas/precio del abrigo). Los 25x individuos de la especie B comen los 3·25x de la C y los x de la A a los 25x de la B.

¿A dónde queremos llegar?
El conocimiento que tenemos es que en conjunto son 505 individuos, y si juntamos el principio con la llegada obtenemos que: x+25x+3·25x=505, esto es, una ecuación de primer grado.

¿Cómo salimos?
Resolviendo la ecuación de primer grado:
x+25x+75x=505
101x=505
x=505/101=5

Comprobación

El resultado de x=5  representa a los 5 individuos de la especie A

Los de la especie B eran 25x, o sea, 25·5=125

Y, por último, los de la C eran 3·25x=75x=375. 
En conjunto 5+125+375=505 


Polya establece cuatro partes: Entender el problema, concebir un plan, ejecutarlo y comprobar los resultados.

Calendarios

El reloj biológico de los seres vivos viene determinado en gran medida por el Sol y por la Luna. Los días solares van aumentando desde el solsticio de invierno hasta el de verano, pasando por el equinocio de primavera, y disminuyendo de nuevo desde el de verano al de invierno, pasando por el equinocio de otoño (corresponden al cambio de las cuatro estaciones del año). El aumento o disminución de la luz lo perciben los seres vivos para determinar la época de apareamiento, hay procesos fisiológicos que están determinados por la cantidad de luz que disparan la actividad reproductiva. De igual forma la Luna hace cuatro fases, nueva, cuarto creciente, llena y cuarto menguante, en 28 días aproximadamente. Las mareas vivas se producen en la Luna llena o nueva y las muertas en  la Luna en cuarto creciente o menguante, este reloj lo aprovechan los animales que viven entre el medio marino y terrestre para controlar el recorrido que hacen al buscar alimento.