Lenguaje algebraico

Una propiedad: La suma de dos naturales es independiente del orden en que se haga. a+b=b+a 
Una regla: Si la suma de los dígitos de un número es múltiplo de 3 el número es divisible por 3.
Una función: En una recta la razón entre el incremento de la ordenada y de la abscisa es constante. y=mx+n
Una fórmula: El área del círculo es igual a pi veces el radio al cuadrado. A=π·r²
Un método: Para sumar fracciones con igual denominador se pone como numerador la suma de numeradores y como denominador el denominador común. a/b+c/b=(a+c)/b

Operaciones con enteros

Los números enteros los forman los enteros positivos +1, +2, +3, +4,....., el cero, 0, y los enteros negativos, -1, -2, -3, -4,... Salvo el cero, todos los enteros tiene signo, y nos sirven, por ejemplo, para medir las temperaturas. El cero es el que correponde al punto de congelación del agua, por encima de cero es la temperatura que hace un día soleado y por debajo, cuando nieva. El refrigerador suele estar a 5ºC (+5) y el congelador a -15ºC (-15). Por los general, en los Polos necesitamos medir la temperatura ambiente con los números negativos y en el Ecuador con los positivos.

Para sumar y restar utilizamos los mismos signos, + y -, que empleamos para indicar los enteros positivos y negativos. En principio esto supondría una dificultad, usar el mismo signo para representar dos cosas diferentes. Sin embargo esta desventaja se convierte en virtud, ya que resulta engorroso estar continuamente poniendo un signo menos o más delante de los números. Para simplificar se asume que el signo más para los positivos no es necesario ponerlo, por defecto si un número no tiene signo suponemos que es positivo. Así +3=3. Solamente usamos el signo menos para indicar un número negativo y, si está  implicado en medio de operaciones, hay que usar el paréntesis para estos números cuando operamos con ellos. Así +4+(-5) = 4+(-5). Aquí viene la ventaja de usar el mismo signo para la operación y para especificar el número, puesto que sumar a un número positivo uno negativo (bajar la temperatura en los ejemplos), es equivalente a restar a ese número positivo el opuesto del negativo. Por ejemplo: 4+(-5) = 4-(+5) = 4-5. Es decir, se cumple la regla del producto de signos, + · + = +, + · - = -, - · + = -, - · - = +, que permite simplificar el tema de los signos y los paréntesis, hasta el punto de convertir todo en sumas y restas de positivos. Por ejemplo: (-4)+(-5)-(-3)+(+4) = (-4)+(-5)-(-3)+4 = (-4)-5+3+4 = -4-5+3+4

Sustitución

Resolver por el método de sustitución el sistema de ecuaciones siguiente:

3x+4y=11

5x-2y=1

Paso 1: Despejar la x en la primera ecuación para obtener una expresión de la variable x en función de la y
x=(11-4y)/3

Paso 2: Sustituir la expresión de x obtenida en la segunda ecuación para obtener una ecuación de primer grado en y
5(11-4y)/3-2y=1

Paso 3: Resolver la ecuación para obtener el valor de y
55-20y -6y=3
-26y=-52
y=2

Paso 4: Obtener el valor de x a partir de la expresión anterior sustituyendo el valor de y
x=(11-4·2)/3
x=1

Paso 5: Comprobar la correctitud del resultado poniendo los valores de x e y en el sistema inicial
3·1+4·2=11
5·1-2·3=-1


En el paso 1 se puede despejar la x en lugar de la y también.
En cada paso se realiza una acción y se obtiene un dato que se emplea en el paso siguiente o posteriores.

Problemas

Silvia compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en 505 euros. Calcula los precios respectivos, si la falda vale 25 veces más que el pañuelo, y el abrigo, el triple de la falda.

Un camión de reparto ha traído a un bar agua, cervezas y refrescos de cola. En total son 505 botellas. Calcula cuántas botellas han traído de cada clase teniendo en cuenta que por cada agua hay 25 cervezas y por cada cerveza hay 3 colas. 

En una cadena trófica la especie A come a la B y esta a la C. Cada individuo de la especie A come 25 de la B, y cada uno de la B come 3 de la C. En una comunidad en la que hay 505 individuos de las tres especies, ¿cómo tienen que estar distribuidos para que todos los individuos de la especie A puedan comer?

¿Dónde estamos atrapados?
Desconocemos la cantidad de individuos de cada especie. Supongamos que  hay x individuos de la especie A (botellas de agua/precio del pañuelo), entonces tiene que haber 25x de la B (cervezas/precio de la falda), y 3·25x de la C (colas/precio del abrigo). Los 25x individuos de la especie B comen los 3·25x de la C y los x de la A a los 25x de la B.

¿A dónde queremos llegar?
El conocimiento que tenemos es que en conjunto son 505 individuos, y si juntamos el principio con la llegada obtenemos que: x+25x+3·25x=505, esto es, una ecuación de primer grado.

¿Cómo salimos?
Resolviendo la ecuación de primer grado:
x+25x+75x=505
101x=505
x=505/101=5

Comprobación

El resultado de x=5  representa a los 5 individuos de la especie A

Los de la especie B eran 25x, o sea, 25·5=125

Y, por último, los de la C eran 3·25x=75x=375. 
En conjunto 5+125+375=505 


Polya establece cuatro partes: Entender el problema, concebir un plan, ejecutarlo y comprobar los resultados.

Calendarios

El reloj biológico de los seres vivos viene determinado en gran medida por el Sol y por la Luna. Los días solares van aumentando desde el solsticio de invierno hasta el de verano, pasando por el equinocio de primavera, y disminuyendo de nuevo desde el de verano al de invierno, pasando por el equinocio de otoño (corresponden al cambio de las cuatro estaciones del año). El aumento o disminución de la luz lo perciben los seres vivos para determinar la época de apareamiento, hay procesos fisiológicos que están determinados por la cantidad de luz que disparan la actividad reproductiva. De igual forma la Luna hace cuatro fases, nueva, cuarto creciente, llena y cuarto menguante, en 28 días aproximadamente. Las mareas vivas se producen en la Luna llena o nueva y las muertas en  la Luna en cuarto creciente o menguante, este reloj lo aprovechan los animales que viven entre el medio marino y terrestre para controlar el recorrido que hacen al buscar alimento.

El día

El día solar es el tiempo que tarda el Sol en pasar dos veces consecutivas por el mismo meridiano del lugar. De 12h a 12h en el cómputo ordinadio. Por tanto, el día solar dura 24h, pero ¿que pasaría si en lugar de considerar el Sol empleamos otra estrella y computamos el tiempo que tarda en pasar dos veces por el meridiano del lugar?, pues veríamos que ese tiempo es de 23 h 56 min 4,0905 s. A ese tiempo de duración se le llama día sideral y como se ve es inferior al día solar. Si se observa el gráfico se ve que  la Tierra va moviendose en su traslación y tiene que rotar un mayor ángulo para orientar un meridiano con el Sol (>360º) que con una estrella de referencia lejana (aprox. 360º). Por esta razón, al observar en el cielo nocturno una estrella determinada en el plano meridiano, ésta va cambiando cada día, se va adelantando casi cuatro minutos.

Años bisiestos

El año solar, el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta completa alrederor del Sol, dura un poco más de 365 días, casí un cuarto de día más, lo cual hace que tengamos que añadir un día al computo del año de vez en cuando, para no quedarnos retrasados. Los años que se añade un día son de 366 días, con el 29 de Febrero, y se llaman bisiestos. Se consideran bisiestos aquellos años que son divisibles por 4, salvo que sean divisibles por 100 y no por 400.

Así, el próximo año bisiesto será el 2012, luego el 2016, y así sucesivamente de 4 en 4. Pero el año 2100 no es bisiesto, aún siendo divisible por 4, porque es divisible por 100 y no por 400. El año 2400, divisible por 4, es bisiesto porque aunque es divisible por 100 también lo es por 400.

De esta forma se controla en el cómputo del tiempo que el calendario gregoriano que tenemos no se desfase con el solar.

Uno de enero de dos mil once

Uno de Enero de 2011, uno de enero de 2011, 1 de enero de 2011, 1/enero/2011, 1/1/2011 o 1/1/11. Tenemos varias opciones de escribir la fecha, el mes en mayúsculas o en minúsculas (esta última parece ser la correcta), los números del día y del mes separados por guiones o por barras,..., en cualquier caso el orden es, DIA, MES, AÑO. En inglés se pone primero el mes, luego el día y luego el año, January, 1st 2011,  y en USA lo ponen en número separado por barras, 1/1/11, en cualquier caso el orden es MES, DIA, AÑO. Este año tenemos varias fechas curiosas por la simetría de su notación, por su carácter palindrómico, sin ir mas lejos el once de enero, 11/1/11, o todos los once de mes salvo en octubre y diciembre. El más vistoso es el once de noviembre (11/11/11).

Nota: Si consideramos la fechas como operaciones tenemos para una persona que nazca el 1/1/11=0.090909... Otra que nazca el 14/5/11=0.25454545... El del 11/11/11=0.090909..., igual que el del 1/1/11.

Solsticio de invierno

El 24 de Diciembre se celebra la Navidad y es una fecha que coíncide aproximadamente con el solsticio de invierno que cae entre el 21 y el 22 de Diciembre.  Este año el solsticio fue el 21 de Diciembre a las 23:38h (UTC) y es el momento de la máxima declinación sur del Sol (-23º 27'). En el hemisferio norte comienza el invierno astronómico y en el sur el verano astronómico. En el hemisferio norte se alcanza la noche más larga del año y en el sur el día más largo, y, a partir de ahí, en el norte empiezan a crecer los días hasta el día más largo que es en el solsticio de verano, que en el año 2011 será el 21 de Junio a las 17:16h (UTC).

Perfil y frente

Ejercicio PISA(4)

Vamos a suponer que es una construcción en la que se emplea el máximo número posible de cubos.

En la base, según la visión lateral, hay 4 cubos por un lado, y, según la frontal, otros 4 por el otro lado. La base es un cuadrado 4x4 (4 filas x 4columnas), es decir, está formado (en una construcción de máximos) por 16 cubos.

En el nivel superior, hay 2 cubos en la fila primera y otros 2 en la fila tercera, si consideramos que se están ocultando estos últimos, en la visión lateral, por los primeros.

En una construcción de máximos hay, por tanto, 16+4=20 cubos.

Vamos a suponer que es una construcción con el mínimo número de cubos.

Considerando el nivel superior, con solo 2 cubos en las columnas segunda y tercera tenemos las visiones de frente y perfil. En la base hay que situar un cubo debajo de cada uno de los 2 cubos del nivel superior. Entonces sólo faltan otros 2 cubos, uno en la fila segunda y otro en la cuarta, que definan la primera y cuarta columna de la base en la visión lateral.

En una construcción de mínimos hay, por tanto, 4+2=6 cubos

En conclusión, se tienen que emplear entre 6 y 20 cubos para formar el objeto con esa planta y ese perfil.

Ejercicio PISA (4)

Ejemplo de ejercicio PISA:
¿Cuántos cubos se han empleado en la construcción de este objeto?.

Caminando

Primero despejamos n. La fórmula que relaciona n con P es n/P=140. Despejando n, pasando la P dividiendo al segundo miembro de la igualdad, obtenemos que n=140P.

Ahora calculamos n para el caminar de Bernardo. En este caso P=0'80m, luego, sustituyendo en la última expresión, obtenemos que n=140·0'80=112p/min. En metros por minuto es 112·0'80=89'6.

Por últimos, hay que pasar esta velocidad a kilómetros por hora. Para ello los metros se ponen en kilómetros, dividiendo por mil, 89'6m=0'0896km. También ponemos los minutos en horas, dividiendo por 60, 1min=1/60h. Entonces la velocidad queda:

n=89'6m/min=0'0896km/(1/60)h=60·0'0896 km/h=5'376km/h

Ejercicio PISA (3)

La fotografía nos muestra las huellas de un hombre caminando. La longitud del paso P es la distancia entre el talón de dos huellas consecutivas. Para el hombre la fórmula n/P=140 da aproximadamente la relación entre la n y P, donde n es el número de pasos por minuto.
Sabemos que Bernardo tiene una longitud de paso de 0'80m. Aplicando la fórmula al caminar de Bernardo, calcula la velocidad con la que camina en metros por minuto y en kilómetros por hora.

Elegir el modelo de depósito

Esta cuestión del ejemplo PISA es sencillo de contestar si se concretan bien los porcentajes.

La primera opción es un 4% anual. El 4% de 1000 euros se calcula multiplicando 1000 por 4 y dividiendo por 100. El resultado es 40 euros. El pimer año se tiene, por tanto, un capital de 1040 euros. Al segundo año el 4% de 1040 se calcula multiplicando 1040 por 4 y dividiendo por 100. El resultado es 41.6 euros. Por tanto, con el primer plan se acumulan 1040+41.6=1081.6 euros a los dos años.
La segunda opción a elegir es 10 euros iniciales y una renta anual del 3%. Si guardamos los 10 euros en cuenta desde el principio tendremos 1010 euros. Al año producen un 3%, o sea, 3*1010/100=30.3 euros, que acumulan 1010+30.3=1040.3 euros. Es un poquito mejor este plan a un año que el anterior. El segundo año la renta de estos 1040.3 euros es, 3*1040.3/100=31.209 euros, con lo que se acumula el segundo año un total de 1040.3+31.209=1071.209 euros. Si lo comparamos con el plan anterior se comprueba que es mejor el primer plan a dos años que el segundo.

Ejercicio PISA (2)

 Ejercicio ejemplo de PISA

1000 euros se depositan en una cuenta bancaria. Hay dos opciones: a) recibir una renta anual del 4%; b) recibir 10 euros iniciales y una renta anual del 3%
¿Qué opción es mejor al cabo de un año? ¿Y al cabo de dos años?