Siete operaciones

En aritmética hay siete operaciones, con su relación de inversión y su repetición.
Suma y resta:
2+3=5//5-2=3 ó 5-3=2
Multiplicación (suma repetida) y división (resta repetida)
2·3=6//6:2=3 ó 6:3=2
Potencia (producto repetido) y raíz y logaritmo (división repetida)
2^3=8//raíz cúbica(8)=2  y  log₂(8)=3 (el 8 es divisible por 2 tres veces repetidamente)
La primera cuestión es averiguar por qué se rompe la simetría y salen dos operaciones diferentes. El caso es que se distingue en la potencia la base del exponente, entonces en el proceso inverso hay que distinguir si se busca la base o el exponente. En las restas y las divisiones, averiguar los sumandos o los multiplicandos es indistinto por la propiedad conmutativa, pero en el caso de la potencia base y exponente no son intercambiables salvo que coincidan. En este caso se ve que aparte de la operación inversa o la repetición influye la posición, estos tres factores están en las operaciones y por tanto en toda la aritmética.

Las cuatro reglas cartesianas, ¿son suficientes?

1) Evidencia: No admitir jamás como verdadero cosa alguna sin conocer con evidencia que lo era.
2) Análisis: Dividir cada una de las dificultades que examinase en tantas partes como fuera posible y como requiriese para resolverlas mejor.
3) Síntesis: Conducir por orden los pensamientos, comenzando por los objetos más simples y más fáciles de conocer para ascender poco a poco, como por grados, hasta el conocimiento de los más compuestos.
4) Comprobación: Realizar en todo unos recuentos tan completos y unas revisiones tan generales que pudiese estar seguro de no omitir nada.

Estableciendo un paralelismo con el APC:

Evaluación: Establece los criterios para que las cosas estén bien hechas
Mecanización: Piensa los resultados para que se puedan automatizar
Conceptualización: Establece la estructura que soporta el conocimiento
Procesamiento: Explica como funcionan las cosas
Experimentación: Asocia el nuevo conocimiento con lo que ya has vivido
Consolidación: Establece un método para que se pueda volver a obtener el repetir
Motivación: Busca la utilidad de las cosas

Evidencia vs Evaluación
Análisis vs Mecanización
Síntesis vs Conceptualización
Comprobación vs Procesamiento

Faltarían las reglas que se corresponden con la experimentación, la consolidación y la motivación.
La correspondiente a la experimentación diría así:
5) Causa-efecto: Enlaza todos las razones de forma que de desarrolles un razonamiento válido desde la causa hasta el efecto.
La de la consolidación diría así:
6) Completitud: Establece una lista de situaciones diferentes con un hilo conductor de forma que se contemplen todos los casos.
Y para la motivación:
7) Relacionabilidad: Identifica y establece las relaciones espaciales posibles de forma que quede orientado el camino a seguir.

Recursividad, las matemáticas de la repetición

MOTIVACIÓN
La recursividad es una forma de resolver problemas basada en la repetición de la misma rutina disminuyendo la dificultad de la resolución de los mismos hasta llegar a un punto en que se resuelven fácilmente. Deshaciendo el camino se puede resolver el problema general. Esta forma de proceder está en la raíz de todas las matemáticas puesto que como vamos a ver está en la definición de la propia multiplicación.
EXPERIMENTACIÓN
Supongamos que tenemos que sumar diez veces tres:
Suma(10,3)=3+3+3+3+3+3+3+3+3+3
entonces podemos calcular primero la suma de nueve tres y sumarle otro tres:
Suma(10,3)=Suma(9,3)+3
y proceder así sucesivamente:
Suma(n,3)=Suma(n-1,3)+3
Hasta que al final podemos resolver el problema:
Suma(2,3)=Suma(1,3)+3=3+3=6
A partir de aquí se retrocede en el camino y se llega al resultado final que es 30.
CONCEPTUALIZACIÓN
Al resolver un problema usando la recursividad necesitamos averiguar cuál es el término general:
Suma(n,3)=Suma(n-1)+3
y cuál es el caso base:
Suma(1,3)=3
El término general nos indica como ir disminuyendo la dificultad del problema y el caso base cómo resolverlo en una situación sencilla.
PROCESAMIENTO:
Veamos como funciona el proceso:
Suma(10,3)=Suma(9,3)+3=(Suma(8,3)+3)+3=((Suma(7,3)+3)+3)+3=(((Suma(6,3)+3)+3)+3)+3=((((Suma(5,3)+3)+3)+3)+3)+3=(((((Suma(4,3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=((((((Suma(3,3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=(((((((Suma(2,3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3= ((((((((Suma(1,3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=(((((((6+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=((((((9+3)+3)+3)+3)+3)+3)+3=(((((12+3)+3)+3)+3)+3)+3=((((15+3)+3)+3)+3)+3=(((18+3)+3)+3)+3=((21+3)+3)+3=(24+3)+3=27+3=30
MECANIZACIÓN
Si queremos automatizar la ejecución debemos de establecer una cola de espera, donde el último en entrar es el primero en salir. La cola es esperar en este orden S(10,3), S(9,3), S(8,3), S(7,3), S(6,3), S(5,3), S(4,3), S(3,3), S(2,3), S(1,3). Ahora va saliendo desde el final y al último resultado le sumamos 3, S(1,3)=3, S(2,3)=6, S(3,3)=9, S(4,3)=12, S(5,3)=15, S(6,3)=18, S(7,3)=21, S(8,3)=24, S(9,3)=27, S(10,3)=30
CONSOLIDACIÓN
El primer paso es resolver el caso base, resolver el problema en su caso más sencillo, sumar una vez 3, S(1,3). A continuación hay que ver como se hace el siguiente caso más sencillo desde el paso anterior, sumar dos veces 3, S(2,3)=S(1,3)+3, el siguiente, S(3,3)=S(2,3)+3, así ya se puede sacar la fórmula del término general, S(n,3)=S(n-1,3)+3. A partir de ahí se va aplicando está fórmula repetidamente hasta completar el número de veces que se desea sumar 3.
EVALUACIÓN
¿Cuál es la clave para que el problema se pueda hacer de forma recursiva? Es la repetición como su propio nombre indica. Sumar tres diez veces solo se puede hacer sumando tres de uno en uno y acumulando los resultados, diez veces. En este caso es evidentemente la multiplicación de 10 por 3 que se tiene tabulada.
S(1,3)=3=1·3
S(2,3)=S(1,3)+3=3+3=2·3
S(3,3)=S(2,3)+3=S(1,3)+3+3=3+3+3=3·3
S(n,3)=n·3 (regla)
S(10,3)=10·3=30

Demostraciones: Mágia y matemáticas

Es interesante enseñar demostraciones matemáticas en secundaría, y aquí se muestra un ejemplo de lo que se puede hacer en el aula.
Vamos a hacer un pequeño número de magia de adivinación: Si pedimos a una persona que piense un número de tres cifras (que no sea capicúa) y que lo reste del mismo número cambiado de orden de las cifras (restar el mayor del menor), que coja las cifras del resultado y las sume, entonces le podemos decir que le tiene que dar 18 y acertaremos.
La demostración matemática de que esto es así se basa en lo que representa la notación polinómica de los números y es la siguiente:
Suponiendo que el número es abc y lo resta de cba, entonces lo que estamos haciendo en la resta tradicional es:
100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=99(a-c)=100(a-c)-(a-c)=100(a-c-1)+9·10+(10-(a-c))
Con lo cual el resultado es un número como sigue:
[a-c-1][9][10-(a-c)]
Sus cifras suman:
a-c-1+9+10-(a-c)=18
Como se quería demostrar.

Cálculo de una fracción del total (video)

Medir el radio del Sol. Una investigación científica

Problema: Averiguar cuánto mide el radio del Sol sabiendo que la distancia media de la Tierra al Sol es de 149 600 000 km.
Material: Utilizar un tubo de cartón, papel de aluminio, papel transparente, una regla y elásticos.
Método: Se cubre un extremo del tubo con papel aluminio y se sujeta con un elástico. El otro extremo se cubre con el papel translucido, sujetado con el elástico. Se hace un agujero redondo en el centro del papel aluminio. Se pone el tubo paralelo a los rayos de Sol de forma que un rayo incida por el agujero y se refleje en el papel translúcido. Se utilizan triángulos semejantes como se indica en el gráfico.

Los triángulos OPQ, ORS y OP'Q' son semejantes. 

 Se mide el diámetro del agujero (RS=c) y el del Sol reflejado en el otro extremo (PQ=a). También se mide la longitud del tubo (TM=b).
Se cumple que OM=OT+TM, siendo OM y OT desconocidos. Por la semejanza de triángulos se cumple que OM/PQ=OT/RS. Con estas dos ecuaciones se calcula OM y OT. Ahora también se cumple que OM/PQ=OM'/P'Q'. De aquí se despeja P'Q' que es el diámetro del Sol
Resultados: Los que obtengan los alumnos.
Discusión: La que establezcan los alumnos.
Conclusiones: Las que obtengan los alumnos.

Metodología matemática vs enseñanza de las matemáticas

Cojamos la organización de la materia en el tema de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se empieza por resolver ecuaciones de una incógnita: 2x+6=2. Se añaden paréntesis y denominadores y se busca simplificar las ecuaciones: 3(x-3)/4+5x/2=5. El método general en esta parte es eliminar denominadores, quitar paréntesis y despejar la incógnita. Se pasa a sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. 3x-4y=7; -5x+y=7. Siempre se referencia a escribir las ecuaciones de esta forma estándar, las incógnitas a la izquierda de las igualdades y los términos independientes a la derecha. Si hay paréntesis, denominadores u otra distribución de las incógnitas se arreglan las ecuaciones para tenerlas en forma estándar. A partir de aquí tres métodos: igualación, sustitución y reducción. El método de reducción se generaliza para obtener el método general para cualquier número de incógnitas y de ecuaciones, el llamado método de Gauss. Se hace la triangulación del sistema. También se puede mejorar el método completándolo con el método de Jordan. Sin embargo la introducción de matrices y determinantes permite obtener otro método general que evita hacer cálculos estudiando previamente la existencia de soluciones con los rangos. Primero se resuelven Sistemas de Cramer identificando los sistemas con ecuaciones matriciales. Si el sistema es cuadrado y la matriz de coeficientes es regular, entonces, es un sistema de Cramer, se puede calcular la matriz inversa y despejar  la matriz de las incógnitas. El proceso se concreta en el método de Cramer usando determinantes, proceso que está conectado, también, con el método de reducción. El teorema de Rouché-Frobenius permite dedicir la existencia de solución en un sistema general y a partir del rango se simplifica el sistema a uno de Cramer y se resuelve con su método. Esto cierra el problema de resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales. Hasta aquí la organización algebraica y la metodología matemática. Ahora, la reflexión es que esto es la consolidación del estudio de este problema matemático en la que intervinieron muchos matemáticos en la historia. La cuestión es: ¿Nuestros estudiantes sólo tienen que aprender estos métodos?¿Deben de descubrir los métodos?¿Deben de aprender solamente a aplicarlos?¿Deben de aprender los conceptos implicados y las estructuras profundas que los sostienen?¿Deben de aprender criterios para saber cuándo y cómo emplearlos?

La cuestión más honda del problema es: ¿La metodología del aprendizaje es diferente a la metodología de la materia?¿Hay que aprender los métodos, o cómo se obtiene, o cómo y cuándo se emplean?

La organización y la consolidación matemática

¿Como se organiza el conocimiento matemático? Pues se organiza por niveles de complejidad. Cualquier teoría matemática se va consolidando pasando a formar parte de la organización de la misma empezando por los casos sencillos y combinando cada vez más los niveles de dificultad hasta llegar, si es posible, a métodos generales. 

Por ejemplo, primero se aprende a resolver las ecuaciones lineales con una incógnita, después se pasa a los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, después a los sistemas de Cramer y, a partir de ahí, a los sistemas de n ecuaciones con m incógnitas. En cada paso se fundamenta la resolución del problema en los casos anteriores. Este es el camino que recorren los estudiantes en secundaria y bachillerato. Esto está consolidado, en cada nivel de complejidad hay métodos para hacer las cosas, llegándose al método general con ayuda de matrices y determinantes.

Los estudiantes aprenden las rutinas ya establecidas, la cuestión es si deberían de aprender a volver a redescubrir las rutinas. Lo que está ya consolidado no da margen a variación, y es verdad que hay que aprender rutinas si se quiere avanzar, la cuestión es determinar si el aprendizaje de las matemáticas se debe vertebrar sólo con las rutinas.

Un problema local con las guaguas

LA LÍNEA 22

La línea 22 va desde Santa Catalina a La Paterna y de La Paterna a Santa Catalina en Las Palmas de Gran Canaria. Une La Paterna con Santa Catalina por la Ciudad Alta (Las Chumberas, Altavista, Barranquillo de Don Zoilo) y la Ciudad Baja (Ciudad Jardín y Alcaravaneras). Si visitas la página web de GUAGUAS (http://www.guaguas.com/) puedes ver su itinerario así como el horario. Con ayuda de la información ahí contenida responde a las siguientes cuestiones:

• Si estás en la calle Galicia (junto al Mercado Central) y quieres subir en la 22 al instituto Alonso Quesada, que está en la Avenida de Escaleritas 113, ¿en qué parada te tienes que subir y en cuál te tienes que bajar?
• Si es un martes y son las 12:20, suponiendo un retraso desde la salida hasta la parada de subida, entre 5 y 10 minutos, ¿a qué hora tiene que pasar la guagua?
• Si supones que el viaje hasta el instituto tarda entre 10 y 15 minutos, ¿a qué hora esperas llegar? 

Tema: Números reales. Intervalos.

Sistemas de ecuaciones lineales para mezclar café de forma justa

En el mercado hay un puesto de café, tienen varios cajones con cafés de diferentes tipos, el comprador elige una cantidad en grano y pide que se lo muelan y se lo entregan en un sobre herméticamente cerrado. Hay un tipo que es mezcla, contiene grano natural con grano torrefacto. El vendedor puede establecer el precio de la mezcla si sabe un poco de álgebra. Supongamos que el cajón tiene una capacidad para 20 kg, y que el precio del café natural es de 8 euros/kilo, y el del torrefacto de 12 euros/kilo. Si quiere que el precio de mezcla esté en 10 euros/kilo, ¿qué cantidad de uno y otro tipo debe juntar?

Si "x" es la cantidad del natural e "y" del torrefacto, entonces, se cumple que x+y=20.

Por precio, los "x" kilos del natural cuestan 8x y los "y" kilos del torrefacto 12y, pero como al final todo tiene que costar 10·20=200 euros, se cumple que, 8x+12y=200. Ya tenemos el sistema. Por sustitución despejando x, x=20-y, y sustituyendo, 8(20-y)+12y=200, 4y=40, y=10 kilos. Entonces x=10 kilos. De esta forma se demuestra el reparto justo, porque también las matemáticas tienen que ver con ser justo.

De la observación nace la idea

La integral de una función es la operación inversa de la derivación. Mientras que la derivada de una función es única, la integral da infinitos resultados que sólo se diferencian en una constante.

Si tenemos f(x)=sen(x), su derivada es f'(x)=cos(x). La integral de f(x)=cos(x), es F(x)=sen(x)+C

Supongamos que queremos calcular la integral,

Lo primero es observar la expresión del radicando. El denominador tiene una forma que recuerda a algo, si hemos trabajado anteriormente con identidades notables podemos caer en la cuenta que es el cuadrado de la suma: 

Gracias a este hecho reescribimos la integral,

Ahora nos nace la idea de cómo resolver la misma. Tiene estructura de integral potencial compuesta,

¿Cómo integrar una función potencial compuesta? Si tenemos f(x)=(g(x))ⁿ, su derivada es, usando la regla de la cadena, f'(x)=n(g(x))^(n-1)·g'(x). Entonces si tenemos que integrar una expresión que tenga una potencia por la derivada de la función base, por el exponente más uno, el resultado es la potencia incrementada en una unidad.

Ahora sólo tenemos que aplicar la regla de integración de una función potencial compuesta para obtener la solución:

Lo importante es que si no hay experiencia de haber trabajado con las identidades notables, guardada en la memoria a largo plazo, no puede surgir la idea para resolver la integral.

Pasos para resolver un problema algebraico

Un plátano y una manzana cuesta 3 euros, una manzana y una manga cuestan 5 euros y un plátano y una manga cuestan 4 euros. ¿Cuánto cuesta una manzana?

1) Leer el enunciado y comprobar que es un problema que se puede resolver con pensamiento algebraico: Hay datos numéricos y hay que usar letras para poder representar los datos desconocidos, como es el precio del plátano, el de la manzana y el de la manga.

2) Llamar x al valor desconocido que se quiere averiguar (usaremos siempre el menor número posible de letras): el precio de la manzana=x

3) Escribir las expresiones algebraicas en función de la x de todo lo que desconocemos aún: el precio de un plátano=3-x; el precio de una manga=5-x

4) Buscar una igualdad entre los datos conocidos y desconocidos del problema: hay tres igualdades, plátano y manzana cuestan 3 euros, manzana y manga cuestan 5 euros y la que no se ha usado todavía es la de que un plátano y una manga cuestan 4 euros. Relaciona datos conocidos (4 euros) y desconocidos (el precio del plátano y la manga).

5) Construir una ecuación: Entonces queda la igualdad,

(3-x)+(5-x)=4

que constituye la ecuación que se buscaba.

6) Resolver la ecuación para obtener x:

-x-x=4-3-5

-2x=-4

x=2

7) Verificar el resultado:

El precio de una manzana es 2, el de un plátano 3-2=1 y el de la manga 4-2=3. Sumando plátano y manzana dan 3, manzana y manga 5 y, por último, plátano y manga 4. Coinciden con los datos del enunciado

Igualdades

La igualdad es una relación entre dos objetos matemáticos.

Los objetos de la aritmética son los números. Cuando tenemos dos números parece obvia la comprobación de si son iguales o no. Por ejemplo 4=5 es falso y 4=4 es verdadero. A veces requiere un poco más de tiempo comprobar si la igualdad es verdadera o falsa, por ejemplo 4=8/2 ó 4=raiz(16). Y no digamos si ponemos 4=3'9999...

En el álgebra los objetos son los polinomios. Si tenemos dos polinomios el comprobar si son iguales o no ya plantea algún que otro interrogante. Así, por ejemplo, es cierto que 2x+5=x+3+x+2, y lo comprobamos fácilmente. La cuestión es que la igualdad puede ser cierta siempre, para todo valor de la variable, o puede ser cierta para ciertos valores de la variable. Por ejemplo 3x+4=8x-6, solo es cierta cuando x vale 2 (la solución). En este caso la igualdad es una ecuación y no una identidad.

En el caso del análisis los objetos matemáticos son las funciones. Comprobar si dos funciones son iguales puede reducirse al problema anterior de igualdad de expresiones algebraicas. Por ejemplo f(x)=3x+4 es igual a g(x)= x-2 sólo cuando x vale -3, es el punto de corte de ambas funciones. Pero también puede ocurrir que las funciones sean iguales en tramos enteros de valores de x. ¿Cómo tienen que ser estas funciones? Por ejemplo si f(x)=sen(x) y g(x) coincide con f(x) en el intervalo [3,6], entonces g(x) se define como g(x)=sen(x) si x pertenece a [3,6] y toma otro valor diferente fuera de este intervalo (una función definida a trozos).

UNIDAD DIDÁCTICA: La coma flotante III (Táctica vs estrategia)

¿Cómo sumar o restar números grandes en notación científica?

Si son del mismo orden sacamos factor común y operamos los coeficientes, arreglando al final para que quede en notación científica en caso de que salga del rango [1,10).

Por ejemplo:

a) 5'78·10^3+6'8·10^3-2'778·10^3=(5'78+6'8-2'778)·10^3=9'802·10^3

b) 5'66·10^5+6'33·10^5=(5'66+6'33)·10^5=11'99·10^5=1'199·10·10^5=1'199·10^6

Si son de distinto orden se pueden pasar a notación ordinaria, se hacen las operaciones y, finalmente, se vuelve a notación científica, o bien transformar para que las potencias de 10 coincidan.

Por ejemplo:

a) 4'778·10^4+5'6·10^5=47780+560000=607780=6'0778·10^5

b) 4'778·10^4+56·10^4=(4'778+56)·10^4==6'0778·10^5

¿Cómo multiplicar o dividir números en notación científica?

Se multiplica o divide la parte coeficiente, se multiplican o dividen las potencias de 10 y se arregla al final para que quede en notación científica.

Por ejemplo:

a) (5'777·10^6)·(3'02·10^4)=5'777·3'02·10^6·10^4=17'44654·10^(6+4)=1'744654·10^11

¿Cuando operamos con números grandes en notación científica cuántos decimales debemos de considerar? 

Cuando se mide algo y se da en notación científica se considera que a partir de determinados dígitos ya no hay precisión suficiente como para seguir obteniendo cifras válidas y entonces se ponen ceros.

Cuando hay distintas medidas en notación científica que sumar o restar se cogen tantos decimales como indique la menor precisión, y la regla a emplear es: "Quedarse con la posición del menor dígito común y redondear"

Por ejemplo:

a) 5'78·10^3+6'8·10^3-2'778·10^3=9'802·10^3 y como el menor dígito común está en las décimas (6'8) el resultado queda 9'8·10^3

b) 4'65·10^3+2'566·10^5=2'6125·10^5 en este caso es la milésima dando 2'613·10^5, ya que si se escribiesen con igual orden (4'65·10^3+25'66·10^3) veríamos que el menor dígito común es el último 6

Para la multiplicación y la división se consideran las cifras significativas que tienen los números, ya que el resultado no va a tener más precisión que los números operados, y la regla es: "Dar el resultado redondeado con tantas cifras significativas como el número que tenga menos cifras significativas"

Por ejemplo:

a) (6'304·10^3)·(8'7·10^6)=5'48448·10^10, y como un número tiene sólo dos cifras significativas queda, 5'5·10^10

b) (4'325·10^4):(3'43·10^2)=126'0932945, y como son tres las cifras significativas queda, 1'26·10^2

UNIDAD DIDÁCTICA: La coma flotante II (Teoría vs práctica)

Escribir un número grande resulta engorroso por la cantidad de cifras que tiene, entonces es necesario utilizar una notación que simplifique la expresión. Sea, por ejemplo, el número 345 349 800 746 387 622, lo primero cuestionar la representatividad de las cifras, por ejemplo,  en un contexto de grandes distancias la escala nos indica que las cifras de la derecha son poco representativas con respecto a las de la izquierda. Si la distancia es en metros los 622 últimos metros son poco significativos con respecto a la cantidad total. Además, una máquina que llegue a esa precisión en la medida es muy improbable, el universo está en continuo movimiento y las distancias son promedios. Entonces podemos decidir aproximar la cantidad sustituyendo cifras de la derecha por ceros. ¿Cuántas cifras sustituir? Se puede tomar un criterio acordado, coger las cuatro cifras significativas de la izquierda: 345 300 000 000 000 000. Ahora eliminamos tantos ceros con potencias de 10, 3453·10^14. Para que quede más preciso el criterio, se decide que el número inicial esté entre 1 y 10, con lo cual queda 3'453·10^3·10^14=3'453·10^17, la notación científica final. La importancia de la potencia de 10 es que la cantidad real es de orden 17, es decir es a groso modo un tres seguido de diecisiete ceros. También podemos decir que es 34 y 16 ceros, ó 345 y 15 ceros, ó 3453 y 14 ceros. Más precisión ya no se necesita.

Vamos a ver los resultados en la práctica:
Consideremos las distancias del Sol a los planetas en Km
Mercurio 57 910 000=5'791·10^7
Venus 108 200 000=1'082·10^8
La Tierra 146 600 000=1'466·10^8
Marte 227 940 000=2'2794·10^8
Júpiter 778 330 000=7'7833·10^8
Saturno 1 429 400 000=1'4294·10^8
Urano 2 870 990 000=2'87099·10^9
Neptuno 4 504 300 000=4'5045·10^9
Plutón 5 913 520 000=5'91352·10^9

Lo primero que se observa es que hay distancias de orden 7, 8 y 9
El número de cifras decimales varía pero las de orden menor tiene menos cifras decimales que las de orden mayor. Como criterio general, cuando se tienen varias cifras deberían de tener un decimal más por cada orden que aumente, así se podría comparar cuánto es mas distante un planeta que otro del Sol. Por ejemplo si restamos la distancia de Júpiter de la de la Tierra, 778 330 000-146 600 000=631 730 000, la distancia de la Tierra al Sol debería de tener una cifra decimal más para ajustar mejor el 3 que está en la 5ª posición.