¿Para qué sirven las Matemáticas?

Está pregunta recurrente surge cuando la motivación para estudiar las Matemáticas, para superar la dificultad que tienen, se ve un poco mermada. El otro día me la hizo Luis en clase de segundo de bachiller. Se puede argumentar que es una preparación que le permitirá entender la técnica y las herramientas profesionales, se le puede argumentar que forma parte de la cultura de la humanidad desde los comienzos de las civilizaciones, se le puede argumentar que resumir, interpretar gráficos, calcular, desarrollar un método, etc, es lo que hace a diario y que las Matemáticas tienen todas esas componentes, pero el caso es que no hay mucho consuelo.
Me dirigí a Luis y le pregunté:
- Cuando desayunas ¿comes galletas con un ritmo constante?
- No, cada vez las como más rápidamente, hasta un punto en que voy cada vez más despacio. - me dijo.
- En su punto más alto, ¿cuántas galletas por minuto eres capaz de comer?. - le volví a preguntar.
- Cuatro. -dijo meditándolo un poco.
- Dime, ¿cuánto tardas en desayunar las galletas y la leche?. -volví a preguntarle.
- Diez minutos. - dijo finalmente.
Fui a la pizarra y argumenté:

•  Suponiendo que la velocidad con la que comes galletas sigue un modelo parabólico, f(x)=ax²+bx+c, al comenzar a desayunar f(0)=0 y al finalizar, f(10)=0. En su punto medio, f(5)=4. Entonces:
• 0=c
• 0=100a+10b+c
• 4=25a+5b+c
• De aquí resolviendo el sistema sale y=(-4/25)x²+(8/5)x
• El número de galletas comidas en función del tiempo F(x)= Integral((-4/25)x²+(8/5)x)=(-4/75)x³+(4/5)x²+C
• Como F(0)=0, entonces, C=0
• Por tanto el número de galletas que comes en 10 minutos es F(10)=-160/3+80=26,6

Se me quedó mirando un rato y exclamó en tono bajo:
- ¡Curioso!.
"Bueno, al menos algo se mueve" -pensé para mis adentros.

Problema con colores

Si intersecamos tres focos de colores, uno rojo, otro azul y otro verde, obtenemos el color amarillo, el fucsia, el azul soralla y el blanco, como se observa en el gráfico. Si al verde le asignamos el número 2, al azul el 3 y al rojo el 5, ¿qué número le corresponde a cada uno de los otros cuatro colores?

Suponemos que 2, 3 y 5 es un indicador del color. Establecemos una medida teniendo en cuenta los valores iniciales dados:
m(verde)=2k
m(azul)=3k
m(rojo)=5k
Si definimos el color de la intersección como el producto de los colores que se superponen, tenemos:
m(azul soraya)=6k²
m(fucsia)=15k²
m(amarillo)=10k²
el blanco se puede considerar como la intersección de los colores primarios, pero, también como interesección de los secundarios:
m(blanco)=30k³=900k⁶;
k³=1/30;
k=raíz cúbica(1/30)  la inversa de la media geométrica de los indicadores de color iniciales
m(blanco)=1

Aprender desde la estructura

Lanzamos una moneda tres veces y anotamos si sale cara o cruz. El espacio muestral es el conjunto de todas las opciones que hay. A estas opciones se les llama sucesos elementales y se pueden representar mediante una lista:

E={ccc, cc+, c+c, +cc, c++, +c+, ++c, +++}

Para construirla hay que seguir un orden, primero ninguna cruz, luego una cruz, luego dos cruces y, finalmente, tres cruces. 
Si fuesen más lanzamientos hay que ser más cuidadoso, habría que ir aumentado, apoyándose en cada opción anterior, añadiéndole cara o cruz:   
ccc;     cccc,ccc+;    ccccc,cccc+,ccc+c,ccc++; .................. 

Sobre esta estructura se pueden buscar los sucesos a estudiar. Por ejemplo, supongamos que lanzamos la moneda tres veces y queremos averiguar la probabilidad de que salgan al menos dos cruces. El suceso lo construimos mirando la lista:

A={c++, +c+, ++c, +++}

Todos los sucesos elementales lanzados con una moneda ideal son igualmente probables. En el suceso A hay 4 opciones, en el espacio muestral hay 8, y la probabilidad de A se mide dividiendo los casos favorables entre los posibles (Laplace), 4/8=0'5.

Describe el barrio

Describe tu barrio según la altura de los edificios.

Suponemos que los edificios está representados en la gráfica.

Tabla de frecuencias:
La variable estadística es la altura que tiene cada edificio.
Hay 6 edificios (n=6) con alturas que van desde 4 hasta 10 (rango=10-4=6).

altura	nº de pisos	frecuencia relativa	porcentaje
4	2	2/6=0'3333	33'33%
6	2	2/6=0'3333	33'33%
8	1	1/6=0'1667	16'67%
10	1	1/6=0'1667	16'67%

Medidas de centralización:
Moda=4 y 6
Altura media=(4x2+6x2+8x1+10x1)/6=6'33
Mediana=6

Buscando motivación

Es posible encontrar matemáticas en todo, entonces, ¿por qué muchos estudiantes no encuentran motivación?
Veamos, ¿qué matemáticas hay en el desayuno que hacemos a diario?:
- Tomamos una traza de café con leche o de cacao con leche.
- Unas galletas o copos.
- Un zumo de naranja.
El café o el cacao supone una cantidad aproximada de unos 200 ml.
Las galletas pueden ser unos 150 g.
El zumo unos 100 ml.
La proporción de café en leche supongamos que es de 1 una parte de café por 5 de leche, 1/5. Ponemos una cuchara sopera de cacao en polvo por taza de leche.
Supongamos que tomamos alrededor de 8 galletas por taza, o bien, tres cucharadas de copos por taza de leche.
La forma de las galletas es rectangular mientras que los copos suelen ser irregulares.  Se supone que la energía de los hidratos de carbono de galletas y copos puede ser semejante.
Las naranjas son aproximadamente redondas y con 3 sacamos los 100 ml. Cada una aporta aproximadamente 33,33 ml.
El 10% de las galletas suelen estar rotas. El 2% de las naranjas suelen estar estropeadas.
El tetrabrik de la leche, el paquete de galletas y el de los copos suelen ser un paralelepípedo.
Cada paquete de galletas da para 5 desayunos.
El tiempo que tardamos en tomar el desayuno es de unos 15 min.
................
La cantidad de vitamina C que tomamos en cada vaso ......
La cantidad de proteínas que hay en la leche .............
La cantidad de grasa que hay en la leche..............
................
Lo que supone de aporte energético con respecto a las necesidades diarias.........
Según la pirámide alimentaria son alimentos que podemos tomar a diario.
Podemos completar el desayuno con ....
Si compramos la marca de cacao X ahorramos .....
...............
El precio del desayuno es de ..........
..............

Ciclo de aprendizaje

El ciclo de aprendizaje queda definido por la siguiente grafica:

Cada fase a su vez sigue un ciclo de aprendizaje que asume una persona.
El ciclo grupal, el que recorre un grupo, tiene estas fases:

1. La motivación procura que se pueda identificar una realidad que hay que superar.
2. La experimentación provoca pequeños gestos de valor que sumados ayudan a resolver el problema y espera que los demás hagan.
3. La conceptualización es el uso de ideas que son eficaces en la resolución.
4. El procesamiento es el esfuerzo que hay que hacer comprobando el funcionamiento de las ideas buscando alcanzar ya objetivos.
5. La mecanización es la técnica, la práctica en la resolución de los problemas siguiendo el modo científico.
6. La consolidación es el habito siguiendo un método, para volver a usar lo que ya hemos visto que sirve.
7. La evaluación es la valoración final de lo que tenemos buscando un criterio para seguir mejorando. El ciclo puede volver a redefinir el problema y volver a realizarse.

La equivalencia en matemáticas (2)

Me preguntan para qué sirven las fracciones equivalentes, aquí va una respuesta:

Supongamos que tenemos dos vasos de limonada simbolizados en el gráfico. Uno tiene dos partes de limón y tres de agua, y el otro, una de limón y dos de agua. Queremos averiguar cuál es el vaso que tiene un  sabor más intenso. En matemáticas simbolizamos la concentración del primero diciendo que el limón que contiene es 2/5 de la cantidad total, y la del segundo, diciendo que el limón que contiene es 1/3 del total. Si dispusiésemos de 3 vasos como el primero y los juntásemos tendríamos que de 15 partes 6 serían de limón, o sea, la cantidad de limón sería 6/15 del total. Si tuviésemos 5 vasos como el pequeño y los juntásemos, también tendríamos 15 partes, de las cuales 5 serían de limón, los 5/15. Y como en ese caso esas cantidades tienen el total igual, 15 partes, ahora podemos comparar la parte del limón, y evidentemente 6 partes da más intensidad de sabor que 5.

2/5=6/15;  1/3=5/15;  2/5>1/3 porque 6/15>5/15

Para eso sirven las fracciones equivalentes.

Función de probabilidad

Tenemos el experimento aleatorio de lanzar dos monedas.
El espacio muestral, el espacio de todos los resultados posibles, es: {(c,c),(c,+),(+,c),(+,+)}
Consideramos la variable aleatoria X=número de caras.
X puede tomar los valores {0,1,2}
El sistema completo de sucesos definidos por la variable X es:
{X=0}={(+,+)}
{X=1}={(c,+),(+,c)}
{X=2}={(c,c)}
La función de probabilidad queda por tanto así:
p(X=0)=1/4
p(X=1)=2/4=1/2
p(X=2)=1/4
La función de probabilidad permite calcular la probabilidad de cualquier suceso definido a través de X. Así:
p(X>=1)=p(X=1)+p(X=2)=1/2+1/4=3/4

¿Dónde hay funciones matemáticas?

Funciones son el objeto del Análisis, desde Newton y Leibnitz se desarrolla esta rama de las matemáticas al poder explicarse los procesos de aproximación infinitesimal.
Tenemos:
Funciones afín y lineal: f(x)=kx, y=ax+b
Funciones exponenciales: f(x)=e^x, f(x)=a^x
Funciones racionales: f(x)=(polinomio)/(polinomio)
Funciones trigonométricas:  f(x)=sen(x), f(x)=cos(x), f(x)=tg(x).
Funciones logarítmicas: f(x)=log(x), f(x)=ln(x)
Función escalera: f(x)=E(x)  (E=parte entera)
Función valor absoluto: f(x)=|x|
Función redondeo inferior: devuelve la parte entera de un número
Función redondeo superior: devuelve la parte entera de un número más uno
Función random: devuelve un número aleatorio (seudoaleatorio)
Función de probabilidad para una variable aleatoria discreta: p(x_i)=a_i

¿Qué es una función matemática?

¿Dónde hay modelos matemáticos?

• En Aritmética encontramos por ejemplo el modelo de la sucesión de Fibonacci:

a₁=1, a₂=1, a_i=a_i-1+a_i-2

• En Análisis encontramos el modelo lineal:

y=ax+b 

• En matemáticas financieras tenemos el modelos de crecimiento acumulado del capital:

C=C₀(1+i)^t  (siendo C₀ el capital final, i el interés y t el tiempo en años)

• En Topología tenemos el modelo de la cinta de Moebius:

¿Qué es un modelo matemático?

¿Dónde hay conceptos en Matemáticas?

En Aritmética tenemos :

• El concepto de número primo, aquel número natural que sólo es divisible por sí mismo y la unidad.
• El concepto de número irracional, como aquel número real que no se puede expresar como fracción.

En Álgebra tenemos:

• El concepto de raíz de un polinomio, como el de aquel número que hace que el valor numérico del polinomio sea cero.
• El concepto de discriminante de una ecuación de segundo grado, la expresión que permite decidir cuantas soluciones va a tener la ecuación.

 En Estadística tenemos:

• El concepto de media, como el parámetro de centralización que se obtiene como suma de todos los datos dividido por el número de ellos.
• El concepto de mediana, como valor de la variable que separa los datos ordenados de la serie estadística por la mitad.

¿Qué es un concepto?

¿Dónde hay fórmulas en Matemáticas?

En Geometría hay muchas fórmulas para calcular áreas o volúmenes:

• El área del cuadrado de lado l es A=l².
• El área del círculo de radio r es A=πr².

En  Estadística también hay muchas fórmulas para calcular parámetros:

• La media de una serie estadística es:

•  La desviación típica de forma abreviada es:

¿Qué es una fórmula matemática?

¿Dónde hay métodos en Matemáticas?

En el Álgebra encontramos el método de la división de Ruffini:
Por ejemplo para realizar la división (x²-5x+6):(x+4) por dicho método, debemos utilizar los coeficientes del dividendo (1  -5   6) y el termino de grado cero del divisor cambiado de signo (-4)
       1   -5    6
-4         -4   36
----|-----------------
       1   -9   42

1) El primer término, el 1, baja sin más
2) Se multiplica -4 por 1 y el resultado , -4, se pone debajo del -5.
3) Se suma -5 con -4, dando -9.
4) Se multiplica -4 por -9 y da 36 que se pone debajo del 6
5) Se suma 6 y 36 dando 42 que se pone al final.

El cociente es el polinomio de coeficientes 1 y -9, o sea, x-9, y el resto es el último número de la fila inferior, o sea, 42.

¿Qué es un método matemático?

¿Dónde hay reglas en Matemáticas?

En el álgebra, por ejemplo en los productos notables:

• El cuadrado de la suma es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
• El cuadrado de la resta es  igual al cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

En Aritmética, por ejemplo en las operaciones con potencias:

• El producto de potencias de la misma base, es igual a una potencia con la misma base y de exponente la suman los exponentes.
• El cociente de potencias de la misma base es igual a una potencia con la misma base y y de exponente la resta de los exponentes.

En Análisis, por ejemplo en la derivada de operaciones de funciones:

• La derivada de la suma de funciones es igual a la derivada del primero por el segundo sin derivar, más la derivada del segundo por el primero sin derivar.
• La derivada del cociente de funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, dividido todo por el denominador al cuadrado.

¿Qué es una regla matemática?

Consumo sostenible

Parte de los resultados del aprendizaje preferencial se recogen en la wiki de consumo sostenible. Esta wiki es un intento por llevar a la práctica con alumnos estas ideas en colaboración con otros profesores.
https://consumosostenible.wikispaces.com/