Problema: Un error oportuno que explica el álgebra

Problema: Un profesor dice a un niño que tiene que añadir 12 a un número dado y dividir el resultado por 13. Pero el niño, que no presta atención, resta 13 del número dado y divide el resultado por 12. Se extraña, pues la respuesta es correcta. ¿Cuál es el número dado?

(X+12):13=(X+12)-(X-13)
X+12=13·25
X=313

Problema de un taller

Problema: En un taller de confección disponen de 4 piezas de tela de 50 m cada una. Con ellas van a confeccionar 20 trajes que necesitan 3 m de tela cada uno. Con el resto de la tela piensan hacer abrigos que necesitan 4 m cada uno. ¿Cuántos abrigos pueden hacerse? 

Multiplicar: Pensamiento regular directo
4·500=200 m total de tela
Multiplicar: Pensamiento regular directo
3·20=60 m tela para trajes
Restar: Pensamiento inverso
200-60=140 m sobran despues de hacer los trajes
Dividir: Pensamiento regular inverso
140:4=35 abrigos

El problema de doblar el telón con estructura

Problema: Un grupo de teatro tiene un telón cuadrado cuyo lado mide 8 m. y necesitan transportarlo en la parte trasera de una camioneta cuya base mide 2 m. de largo por 1 de ancho. Si deciden ir doblando el telón por la mitad ¿Cuántas veces será necesario doblar el telón para que quepa en ese espacio?

Hay que hacer 2 dobleces para que quepa de largo.

Hay que doblar 3 veces para que quepa de ancho.

En total 5 veces.

El problema de la herencia con estructura

PROBLEMA: Un padre de tres hijos dejó en herencia 1600 coronas. El testamento precisaba que el primogénito debía recibir 200 coronas más que el segundo y el segundo 100 coronas más que el último. ¿Qué cantidad recibió cada uno de los hijos? 

1600-100=1500
200+100=300
1500-300=1200
1200:3=400

1º 700
2º 500
3º 400

Problema con estructura de varias operaciones

Problema: Un repartidor hace tres rutas cada semana. La primera, de 120 km, la hace lunes y miércoles; la segunda, de 150 km, los martes; y la tercera, de 90 km, los jueves y los viernes. ¿Cuántos km recorre cada semana?

120·2=240
240+150+90=480

Problema con estructura de división

Problema: Pedro tiene 12 caramelos y los va a repartir en bolsas de 3 caramelos cada una, ¿cuántas bolsas puede hacer?

Problema con estructura de resta

Problema: Juan tiene "a" euros y tiene que pagar en una compra "b" euros, ¿cuánto le queda"

Otro problema con estructura de producto

Problema: En un vecindario hay 4 casas y cada una tiene 3 puertas, ¿cuántas puertas hay en total?

Las dos estructuras son válidas. En cada circulo blanco hay una unidad. El primer enlace múltiple es a las 4 casas y el segundo es, de cada casa, a las 3 puertas. Se puede imaginar la estructura desplegada. Los enlaces múltiples sólo se pueden poner cuando es regular la distribución, en este caso, las cuatro casas se pueden considerar idénticas y cada una tiene el mismo número de puertas.

Problema con estructura de producto

Problema: Juan tiene en los pantalones 2 bolsillos y en cada uno de ellos 3 monedas, ¿cuántas monedas tiene Juan?

Estructuras equivalentes para el producto

Se puede hacer con cualquiera de las dos estructuras. La de la izquierda asume un enlace por bolsillo y un enlace por moneda, conteniendo cada circulo blanco una unidad. El de la derecha supone cada enlace múltiple, el primero a los dos bolsillos y el segundo de cada bolsillo a las tres monedas.

Problema con estructura de la suma

PROBLEMA: Juan y Pedro son amigos, Juan tiene "a" hermanos y Pedro "b" hermanos, ¿cuántos hermanos tienen conjuntamente? 

Estructuras alternativas para la suma

La primera estructura asume los "a" hermanos agrupados en el círculo izquierda y los "b" hermanos en el derecho. Sólo hay un enlace a cada circulo.
La segunda asume que hay por defecto "a" enlaces a "a" círculos que tienen por defecto un hermano, y "b" enlaces a otros "b" círculos con un hermano por círculo.
Se puede usar cualquiera.

Un problema de álgebra

PROBLEMA: En una caja hay el doble de monedas que en otra. Si se pasan 7 monedas de la primera a la segunda caja, quedan en ambas el mismo número de monedas. ¿Cuántas monedas tenía al principio cada caja?

Un problema de repartos proporcionales

PROBLEMA: Tres peregrinos se encuentran en un cruce de caminos y se sientan a comer. Uno aporta cinco tortas, otro cuatro tortas, y el tercero, que no tiene tortas, paga a sus compañeros con nueve monedas. ¿Cómo deben distribuirse las monedas teniendo en cuenta que todos comen el mismo número de tortas? 

SUMAR: Pensamiento directo
DIVIDIR: Pensamiento inverso regular
RESTAR: Pensamiento inverso
MULTIPLICAR: Pensamiento directo regular

Son nueve tortas en total. Primero se dividen las nueve tortas entre los tres, sale a 3 tortas por peregrino, luego se resta el número de tortas que traían los peregrinos de 3 y es lo que le dan al tercer peregrino. Luego se dividen las 9 monedas entre 3 tortas y es lo que cuesta cada torta al tercer peregrino, sale a 3 monedas por torta. Luego se multiplica por 3 monedas lo que le aporta cada peregrino y sale lo que se tienen que repartir.

Estructura del LOGARITMO

PROBLEMA: ¿Durante cuántos días se debe de propagar un secreto pasando de cada persona a otras dos personas, cada día, para que ese último día haya 16 nuevas personas que conocen el secreto?

LOGARITMO: Pensamiento inverso regular recurrente

Cuatro días

Estructura de la RAÍZ

PROBLEMA: ¿A cuántas personas hay que contar un secreto para que si estas se lo cuentan a otras tantas personas, y esas igualmente a otras, y así sucesivamente, el cuarto día haya 16 nuevas personas que conocen el secreto?

RAÍZ: Pensamiento inverso irregular recurrente

A 2 cada vez

Estructura de la POTENCIA

PROBLEMA:  Una persona cuenta a otras dos un secreto. Al día siguiente estas dos lo cuentan a otras dos cada una, quienes a su vez, al día siguiente, se lo cuentan a otras dos cada una. Y así sucesivamente. ¿Cuántas nuevas personas conocerán el secreto el cuarto día?

POTENCIA: Pensamiento directo regular recurrente

2⁴=16

Estructura de la DIVISIÓN

PROBLEMA: En un grupo de tres amigos, todos con igual número de hermanos, tienen en conjunto 6 hermanos, ¿cuántos hermanos tiene cada uno de ellos?

DIVISIÓN: Pensamiento inverso regular

6:3=2

Estructura del PRODUCTO

PROBLEMA: En un grupo de 3 amigos, cada uno tiene dos hermanos, ¿cuántos hermanos tienen en conjunto?

PRODUCTO: Pensamiento directo regular

3·2=6

Estructura de la RESTA

PROBLEMA: En un árbol había 7 manzanas y se comieron 4 de ellas, ¿cuántas quedan?

RESTA: Pensamiento inverso

7-4=3

Estructura de la SUMA

PROBLEMA: Un árbol tiene dos ramas, de una cuelgan 4 manzanas y de otra 3 manzanas. ¿Cuántas manzanas tiene el árbol?

SUMA: PENSAMIENTO DIRECTO

4+3=7

Un problema de pensamiento "lateral" para iniciar las inecuaciones

PROBLEMA: Un manzano manzanas tenía. Al manzano subí y manzanas no comí. Al bajar manzanas no quedaron.

RAÍZ: Pensamiento inverso irregular reiterado

Hay que tener en cuenta el plural "manzanas" porque son los datos de partida. En el árbol había manzanas (2 o más). Manzanas no comí (comió 0 ó 1). Manzanas no quedaron (quedan 0 ò 1)

SOLUCIÓN: Había 2 manzanas y comió 1, quedando 1

Un problema de lógica

PROBLEMA: Alice, Bob y Charlie son tres hermanos muy honestos que siempre dicen la verdad. Están sentados en fila india, uno delante del otro: Alice; Bob; Charlie. Su padre les pone un sombrero de color azul o rojo a cada uno. Alice puede ver los sombreros de Bob y Charlie; Bob solo puede ver el de Charlie; y este último no puede ver ninguno. 
Su padre les dice: “Cada uno lleva un sombrero rojo o azul. Al menos uno de vosotros tiene un sombrero de color rojo”. 
Alice primero y luego Bob dicen que no saben el color de sus sombreros. ¿De qué color es el de Charlie?

RAÍZ: PENSAMIENTO INVERSO IRREGULAR REITERADO

HAY QUE PONERSE EN LA SITUACIÓN DE ALICE Y VER QUE POSIBILIDADES HAY CON LO QUE VE Y LA CONDICIÓN QUE DICE EL PADRE. LUEGO EN LA DE BOB CON LO QUE VE, LA CONDICIÓN, LO QUE DICE EL PADRE Y ALICE. LUEGO EN LA DE CHARLIE CON LO QUE VE, LA CONDICIÓN, LO QUE DICE EL PADRE, LO QUE DICE ALICE Y LO QUE DICE BOB


PADRE: CADA UNO LLEVA UN SOMBRERO ROJO O AZUL
PADRE: AL MENOS UNO LLEVA UN SOMBRERO ROJO
ALICE: NO SABE EL COLOR DE SU SOMBRERO

CONCLUSIÓN DE CHARLIE: ALICE VE QUE HAY ALGÚN SOMBRERO ROJO POR DELANTE, SINO EL SUYO TENDRÍA QUE SER ROJO

BOB: NO SABE EL COLOR DE SU SOMBRERO DESPUÉS DE ESCUCHAR A ALICE

CONCLUSIÓN DE CHARLIE: BOB VE QUE CHARLIE TIENE UN SOMBRERO ROJO PERO NO SABE SI EL SUYO ES AZUL O ROJO. SI VIESE QUE CHARLIE TENÍA UNO AZUL, POR LO QUE DIJO ALICE, EL SUYO SERÍA ROJO.

CHARLIE CONCLUYE QUE SU SOMBRERO ES ROJO