Un problema de álgebra

PROBLEMA: En una caja hay el doble de monedas que en otra. Si se pasan 7 monedas de la primera a la segunda caja, quedan en ambas el mismo número de monedas. ¿Cuántas monedas tenía al principio cada caja?

Un problema de repartos proporcionales

PROBLEMA: Tres peregrinos se encuentran en un cruce de caminos y se sientan a comer. Uno aporta cinco tortas, otro cuatro tortas, y el tercero, que no tiene tortas, paga a sus compañeros con nueve monedas. ¿Cómo deben distribuirse las monedas teniendo en cuenta que todos comen el mismo número de tortas? 

SUMAR: Pensamiento directo
DIVIDIR: Pensamiento inverso regular
RESTAR: Pensamiento inverso
MULTIPLICAR: Pensamiento directo regular

Son nueve tortas en total. Primero se dividen las nueve tortas entre los tres, sale a 3 tortas por peregrino, luego se resta el número de tortas que traían los peregrinos de 3 y es lo que le dan al tercer peregrino. Luego se dividen las 9 monedas entre 3 tortas y es lo que cuesta cada torta al tercer peregrino, sale a 3 monedas por torta. Luego se multiplica por 3 monedas lo que le aporta cada peregrino y sale lo que se tienen que repartir.

Estructura del LOGARITMO

PROBLEMA: ¿Durante cuántos días se debe de propagar un secreto pasando de cada persona a otras dos personas, cada día, para que ese último día haya 16 nuevas personas que conocen el secreto?

LOGARITMO: Pensamiento inverso regular recurrente

Cuatro días

Estructura de la RAÍZ

PROBLEMA: ¿A cuántas personas hay que contar un secreto para que si estas se lo cuentan a otras tantas personas, y esas igualmente a otras, y así sucesivamente, el cuarto día haya 16 nuevas personas que conocen el secreto?

RAÍZ: Pensamiento inverso irregular recurrente

A 2 cada vez

Estructura de la POTENCIA

PROBLEMA:  Una persona cuenta a otras dos un secreto. Al día siguiente estas dos lo cuentan a otras dos cada una, quienes a su vez, al día siguiente, se lo cuentan a otras dos cada una. Y así sucesivamente. ¿Cuántas nuevas personas conocerán el secreto el cuarto día?

POTENCIA: Pensamiento directo regular recurrente

2⁴=16

Estructura de la DIVISIÓN

PROBLEMA: En un grupo de tres amigos, todos con igual número de hermanos, tienen en conjunto 6 hermanos, ¿cuántos hermanos tiene cada uno de ellos?

DIVISIÓN: Pensamiento inverso regular

6:3=2

Estructura del PRODUCTO

PROBLEMA: En un grupo de 3 amigos, cada uno tiene dos hermanos, ¿cuántos hermanos tienen en conjunto?

PRODUCTO: Pensamiento directo regular

3·2=6

Estructura de la RESTA

PROBLEMA: En un árbol había 7 manzanas y se comieron 4 de ellas, ¿cuántas quedan?

RESTA: Pensamiento inverso

7-4=3

Estructura de la SUMA

PROBLEMA: Un árbol tiene dos ramas, de una cuelgan 4 manzanas y de otra 3 manzanas. ¿Cuántas manzanas tiene el árbol?

SUMA: PENSAMIENTO DIRECTO

4+3=7

Un problema de pensamiento "lateral" para iniciar las inecuaciones

PROBLEMA: Un manzano manzanas tenía. Al manzano subí y manzanas no comí. Al bajar manzanas no quedaron.

RAÍZ: Pensamiento inverso irregular reiterado

Hay que tener en cuenta el plural "manzanas" porque son los datos de partida. En el árbol había manzanas (2 o más). Manzanas no comí (comió 0 ó 1). Manzanas no quedaron (quedan 0 ò 1)

SOLUCIÓN: Había 2 manzanas y comió 1, quedando 1

Un problema de lógica

PROBLEMA: Alice, Bob y Charlie son tres hermanos muy honestos que siempre dicen la verdad. Están sentados en fila india, uno delante del otro: Alice; Bob; Charlie. Su padre les pone un sombrero de color azul o rojo a cada uno. Alice puede ver los sombreros de Bob y Charlie; Bob solo puede ver el de Charlie; y este último no puede ver ninguno. 
Su padre les dice: “Cada uno lleva un sombrero rojo o azul. Al menos uno de vosotros tiene un sombrero de color rojo”. 
Alice primero y luego Bob dicen que no saben el color de sus sombreros. ¿De qué color es el de Charlie?

RAÍZ: PENSAMIENTO INVERSO IRREGULAR REITERADO

HAY QUE PONERSE EN LA SITUACIÓN DE ALICE Y VER QUE POSIBILIDADES HAY CON LO QUE VE Y LA CONDICIÓN QUE DICE EL PADRE. LUEGO EN LA DE BOB CON LO QUE VE, LA CONDICIÓN, LO QUE DICE EL PADRE Y ALICE. LUEGO EN LA DE CHARLIE CON LO QUE VE, LA CONDICIÓN, LO QUE DICE EL PADRE, LO QUE DICE ALICE Y LO QUE DICE BOB


PADRE: CADA UNO LLEVA UN SOMBRERO ROJO O AZUL
PADRE: AL MENOS UNO LLEVA UN SOMBRERO ROJO
ALICE: NO SABE EL COLOR DE SU SOMBRERO

CONCLUSIÓN DE CHARLIE: ALICE VE QUE HAY ALGÚN SOMBRERO ROJO POR DELANTE, SINO EL SUYO TENDRÍA QUE SER ROJO

BOB: NO SABE EL COLOR DE SU SOMBRERO DESPUÉS DE ESCUCHAR A ALICE

CONCLUSIÓN DE CHARLIE: BOB VE QUE CHARLIE TIENE UN SOMBRERO ROJO PERO NO SABE SI EL SUYO ES AZUL O ROJO. SI VIESE QUE CHARLIE TENÍA UNO AZUL, POR LO QUE DIJO ALICE, EL SUYO SERÍA ROJO.

CHARLIE CONCLUYE QUE SU SOMBRERO ES ROJO

Un problema de razonar para iniciar el álgebra

Problema: Un hombre debe atravesar un río en una barca en la que sólo caben él y su gato, o él y el ratón, o él y los quesos. Si deja los quesos con el ratón, éste se los comerá, pero si deja al ratón con el gato, éste se comerá al ratón ¿Qué pude hacer para pasar al otro extremos del río a su gato, al ratón y quesos, sanos y salvos?

SUMAR: PENSAMIENTO DIRECTO
RESTAR: PENSAMIENTO INVERSO
Aquí sumar es juntar cosas y restar es quitar cosas, sin importar las cantidades pero sí las consecuencias

Evidentemente el hombre tiene que hacer tres viajes como mínimo. Sólo puede dejar juntos al gato con los quesos. Hace el primer viaje llevando a los ratones, vuelve de vacío y lleva al gato en el segundo viaje, pero vuelve con los ratones. En el tercer viaje lleva los quesos y vuelve de vacío para llevar los ratones. 

Operaciones:
H=hombre, R=ratones, Q=quesos, G=gato, orillas A y B
G+R=G, H(G+R)=H(G+R)
R+Q=R, H(R+Q)=H(R+Q)
G+Q=G+Q, H(G+Q)=H(G+Q)
H(G+R+Q)-H(Q)=G+R=G
H(G+R+Q)-H(G)=R+Q=R

Inicio: A(H(G,Q,R)) —— B()

Viaje 1: A(G+Q) —H(R)àB()

Vuelta viaje 1: A(G+Q)ßH()—B(R)

Viaje 2: A(Q) —H(G)àB(R)

Vuelta viaje 2: A(Q)ßH(R)—B(G)

Viaje 3: A(R)—H(Q)àB(G)

Vuelta viaje 3: A(R)ßH()—B(G+Q)

Viaje 4: A()—H(R)àB(G+Q)

Final: A()——B(H(G+Q+R))

Un problema absurdo

PROBLEMA: En un barco hay 26 corderos y 10 cabras. ¿Cuál es la edad del capitán?

Aunque en el enunciado hay datos numéricos, lo primero es ver si hay relación entre los mismos con lo que se pide averiguar. En este caso no hay ninguna coherencia entre la carga que lleva el barco y la edad del capitán. 

Un problema clásico (Euler)

PROBLEMA: Un padre de tres hijos dejó en herencia 1600 coronas. El testamento precisaba que el primogénito debía recibir 200 coronas más que el segundo y el segundo 100 coronas más que el último. ¿Qué cantidad recibió cada uno de los hijos?

PASADO: RESTA
CAMBIO: DIVISIÓN
REALIDAD: SUMA

HAY QUE IMAGINAR QUE SE ESTÁ ENTREGANDO LA HERENCIA A LOS HIJOS: DEL TOTAL DE LA HERENCIA HAY QUE DESCONTAR LO QUE SE LE DA AL SEGUNDO Y AL PRIMOGÉNITO DE MÁS, DESPUÉS SE REPARTE LOS QUE QUEDA EN PARTES IGUALES Y, FINALMENTE, SE SUMA CADA PARTE A LO QUE SE LE DIO YA AL SEGUNDO Y AL PRIMOGÉNITO PARA SABER LO QUE LLEVA CADA UNO.

Pensamiento:
Inverso=Del total de la herencia hay que descontar las 100 coronas de más que hay que dar al segundo. Es una posición del pasado de lo que había de herencia.
Directo=Si al segundo se le dan 100 y al primogénito hay que darle 200 más que a este, entonces al primogénito hay que darle 300 coronas. Es lo que realmente hay que dar al primogénito de más.
Inverso=De lo que queda de la herencia hay que descontar 300 coronas que hay que darle ya al primogénito. Es una posición del pasado de lo que había de herencia.
Inverso regular=De lo que queda de la herencia, una vez desquitado lo que se dio al primogénito y al segundo, se hace un reparto por igual a los tres, ya no hay deferencias y se acaba de pagar el total de la herencia. Es el ciclo de repartir en el que todos llevan la misma parte.
Directo=Averiguamos lo que se lleva el segundo, sumando las 100 coronas con lo que le toca en el reparto igualitario. Es lo que realmente se lleva el segundo.
Directo=Averiguamos lo que lleva el primogénito, sumando las 300 coronas con lo que le toca en el reparto. Es lo que realmente se lleva el primogénito.

RESTA (1600-100=1500), SUMA (100+200=300), RESTA (1500-300=1200), DIVIDE (1200:3=400), SUMA (400+100=500), SUMA (500+200=700)

Solución: 400, 500 y 700 coronas

Potencias y exterior

PROBLEMA DE APLICACIÓN DE POTENCIAS
Hay 7 casas: en cada casa hay 7 gatos, cada gato mata 7 ratones, cada ratón se  comió 7 espigas de trigo. ¿Cuántas espigas de trigo se comieron en total los ratones?

Exterior: Potencias

¿Por qué es exterior? Exterior significa que está fuera de algo y para hablar de lo que está fuera hay que establecer clasificaciones. En este caso los gatos y ratones están dentro de las casas (que definen lo que está dentro y lo que está fuera) pero los ratones van afuera a comer las espigas de trigo (suponemos que están en el campo). Los gatos se los comen bien dentro o bien fuera de estas. Pero, para contabilizar casas hay que hacerlo desde fuera de estas. Y para contabilizar los gatos que hay en cada casa, los ratones que come cada gato o las espigas que come cada ratón, hay que hacer una investigación de "campo".

PRIMERO HAY QUE CONTAR LOS GATOS QUE HAY EN LAS CASAS, LUEGO LOS RATONES QUE SE COMEN LOS GATOS Y, FINALMENTE, LAS ESPIGAS QUE SE COMEN LOS RATONES.

Exterior: Es un proceso de recuento directo, en cada paso hay que hacer la misma multiplicación, multiplicar por 7, luego es un pensamiento regular reiterado, 7·7·7·7=7⁴=2041 espigas