El Terrero

Función de probabilidad

2012-02-05T13:52:00.000-08:00

Tenemos el experimento aleatorio de lanzar dos monedas.
El espacio muestral, el espacio de todos los resultados posibles, es: {(c,c),(c,+),(+,c),(+,+)}
Consideramos la variable aleatoria X=número de caras.
X puede tomar los valores {0,1,2}
El sistema completo de sucesos definidos por la variable X es:
{X=0}={(+,+)}
{X=1}={(c,+),(+,c)}
{X=2}={(c,c)}
La función de probabilidad queda por tanto así:
p(X=0)=1/4
p(X=1)=2/4=1/2
p(X=2)=1/4
La función de probabilidad permite calcular la probabilidad de cualquier suceso definido a través de X. Así:
p(X>=1)=p(X=1)+p(X=2)=1/2+1/4=3/4

¿Dónde hay funciones matemáticas?

2012-02-03T09:16:00.000-08:00

Funciones son el objeto del Análisis, desde Newton y Leibnitz se desarrolla esta rama de las matemáticas al poder explicarse los procesos de aproximación infinitesimal.
Tenemos:
Funciones afín y lineal: f(x)=kx, y=ax+b
Funciones exponenciales: f(x)=e^x, f(x)=a^x
Funciones racionales: f(x)=(polinomio)/(polinomio)
Funciones trigonométricas: f(x)=sen(x), f(x)=cos(x), f(x)=tg(x).
Funciones logarítmicas: f(x)=log(x), f(x)=ln(x)
Función escalera: f(x)=E(x) (E=parte entera)
Función valor absoluto: f(x)=|x|
Función redondeo inferior: devuelve la parte entera de un número
Función redondeo superior: devuelve la parte entera de un número más uno
Función random: devuelve un número aleatorio (seudoaleatorio)
Función de probabilidad para una variable aleatoria discreta: p(x_i)=a_i

¿Qué es una función matemática?

¿Dónde hay modelos matemáticos?

2012-01-22T00:54:00.000-08:00

En Aritmética encontramos por ejemplo el modelo de la sucesión de Fibonacci:

a₁=1, a₂=1, a_i=a_i-1+a_i-2

En Análisis encontramos el modelo lineal:

y=ax+b

En matemáticas financieras tenemos el modelos de crecimiento acumulado del capital:

C=C₀(1+i)^t(siendo C₀ el capital final, i el interés y t el tiempo en años)

En Topología tenemos el modelo de la cinta de Moebius:

¿Qué es un modelo matemático?

¿Dónde hay conceptos en Matemáticas?

2012-01-05T04:19:00.000-08:00

En Aritmética tenemos :

El concepto de número primo, aquel número natural que sólo es divisible por sí mismo y la unidad.
El concepto de número irracional, como aquel número real que no se puede expresar como fracción.

En Álgebra tenemos:

El concepto de raíz de un polinomio, como el de aquel número que hace que el valor numérico del polinomio sea cero.
El concepto de discriminante de una ecuación de segundo grado, la expresión que permite decidir cuantas soluciones va a tener la ecuación.

En Estadística tenemos:

El concepto de media, como el parámetro de centralización que se obtiene como suma de todos los datos dividido por el número de ellos.
El concepto de mediana, como valor de la variable que separa los datos ordenados de la serie estadística por la mitad.

¿Qué es un concepto?

¿Dónde hay fórmulas en Matemáticas?

2012-01-02T07:32:00.000-08:00

En Geometría hay muchas fórmulas para calcular áreas o volúmenes:

El área del cuadrado de lado l es A=l².
El área del círculo de radio r es A=πr².

En Estadística también hay muchas fórmulas para calcular parámetros:

La media de una serie estadística es:

La desviación típica de forma abreviada es:

¿Qué es una fórmula matemática?

¿Dónde hay métodos en Matemáticas?

2011-12-30T07:13:00.000-08:00

En el Álgebra encontramos el método de la división de Ruffini:
Por ejemplo para realizar la división (x²-5x+6):(x+4) por dicho método, debemos utilizar los coeficientes del dividendo (1 -5 6) y el termino de grado cero del divisor cambiado de signo (-4)
   1   -5    6
-4    -4   36
----|-----------------
       1   -9   42

1) El primer término, el 1, baja sin más
2) Se multiplica -4 por 1 y el resultado , -4, se pone debajo del -5.
3) Se suma -5 con -4, dando -9.
4) Se multiplica -4 por -9 y da 36 que se pone debajo del 6
5) Se suma 6 y 36 dando 42 que se pone al final.

El cociente es el polinomio de coeficientes 1 y -9, o sea, x-9, y el resto es el último número de la fila inferior, o sea, 42.

¿Qué es un método matemático?

¿Dónde hay reglas en Matemáticas?

2011-12-29T03:07:00.001-08:00

En el álgebra, por ejemplo en los productos notables:

El cuadrado de la suma es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
El cuadrado de la resta es igual al cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

En Aritmética, por ejemplo en las operaciones con potencias:

El producto de potencias de la misma base, es igual a una potencia con la misma base y de exponente la suman los exponentes.
El cociente de potencias de la misma base es igual a una potencia con la misma base y y de exponente la resta de los exponentes.

En Análisis, por ejemplo en la derivada de operaciones de funciones:

La derivada de la suma de funciones es igual a la derivada del primero por el segundo sin derivar, más la derivada del segundo por el primero sin derivar.
La derivada del cociente de funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, dividido todo por el denominador al cuadrado.

¿Qué es una regla matemática?

Consumo sostenible

2011-12-04T03:05:00.001-08:00

Parte de los resultados del aprendizaje preferencial se recogen en la wiki de consumo sostenible. Esta wiki es un intento por llevar a la práctica con alumnos estas ideas en colaboración con otros profesores.
https://consumosostenible.wikispaces.com/

Aprendizaje preferencial complementario

2011-09-22T23:16:00.000-07:00

El aprendizaje se puede ver comoun proceso continuo que de alguna forma tiene etapas. Cuando queremos aprender algo debemos decontar con una Orientación, un deseo de aprender, algo que nos motive parapoder llegar al final (en este puntotiene que surgir una llamada a la acción sobre la realidad, es la búsqueda denuevas posibilidades). Hay que contar con algo valioso aprendido previamenteque permita establecer un Razonamiento que nos permita discurrir como se llegaa alcanzar el nuevo conocimiento (este es un proceso concreto y pasivo, encuanto a que hay que detenerse a recordar y observar). Los nuevos conocimientosse crean a partir de esos valores y se van estructurando constituyendo los Conceptos(este es un proceso teórico, más propio de un pensamiento sintético). Losnuevos saberes se Trabajan para verificar hasta qué punto permiten alcanzar losobjetivos del aprendizaje (esta fase es operativa, propia de un pensamientofuncional). Una vez que se ha visto que lo que sabemos funciona, la fasesiguiente es la mecanización de lo aprendido, la construcción de nuevos productosdel conocimiento, es la búsqueda de Técnica y herramientas que permitan obtenerresultados evitando trabajos innecesarios (es la fase práctica). La consolidación del aprendizaje es lasiguiente fase, aquello que hemos aprendido bien debemos de mantenerlo en eltiempo, es la base de nuestro futuro conocimiento, así el aprendizaje seconvierte en Metodo (es cuando se organiza lo aprendido). Por último está laetapa Evaluativa en la que aprendemos a establecer criterios sobre cómo se haceun buen aprendizaje. Si se ha aprendido algo importante se debe de concluirestableciendo un criterio que nos permita juzgar lo que está bien hecho (es el espíritucrítico).

Proceso

2011-09-16T09:19:00.000-07:00

1.- MOTIVACIÓN
2.- VALORES
3.- CONOCIMIENTOS
4.- TRABAJOS
5.- PRODUCTOS
6.- MÉTODOS
7.- EVALUACIÓN
1.-.........................

¿Cómo encontrar la función?

2011-09-08T09:13:00.000-07:00

1º) Se trata de averiguar cómo funciona el taxímetro con los datos que se han visto en el trayecto.
2º) El precio del trayecto depende de un fijo inicial (fase 1) y de un incremento rítmico que depende del tiempo (fase 2). Se va acumulando todo. Se trata de averiguar como se calcula el precio del trayecto en función del tiempo transcurrido o del número de saltos que da el contador.
3º) Se tiene como datos el fijo inicial de bajada de bandera, el coste final de subida de bandera y el tiempo transcurrido. También hay una estimación del número de saltos del contador por minuto.
4º) Si descontamos el precio inicial del fijo inicial se tiene el coste que se acumuló según el tiempo transcurrido. De esta forma, este dinero es el que depende del tiempo.
5º) El coste del trayecto dependiendo sólo del tiempo se divide entre el tiempo total y da el coste que se acumula por minuto. Como se estima el número de saltos por minuto se puede dividir el coste por minuto entre el número de saltos por minuto y se tiene el coste por salto.
6º) Para calcular cualquier trayecto hay que sumar al fijo inicial (bajada de bandera) el número de saltos del contador multiplicado por el precio por salto. También se puede sumar el fijo con el número de minutos transcurridos multiplicado por el coste por minuto.
7º) En este caso: Coste=1'15+tiempo(min)·0'8=1'15+nº de saltos·0'2
Si el tiempo fue de 13 minutos, Coste(13min)=1'15+13·0'8=11'55 euros

¿Cómo funciona?

2011-07-23T08:24:00.000-07:00

Al subir a un taxi un viajero se fijó en que el taxímetro marcaba 1'15 euros. Durante el trayecto, a períodos regulares de tiempo, el taxímetro se iba incrementando, hasta que después de 13 minutos viajando en el taxí este se detuvo en el destino indicado. El marcador marcaba 11'55 euros al final.
El viajero preguntó:
--¡Oiga señor taxista!¿Cómo funciona el taxímetro?
Este le respondió todo amable:
--Hay una tarifa inicial, la bajada de bandera, que es de 1´15 euros. Es un fijo para cualquier trayecto. Después, el aparato, con ayuda de un reloj interno, va sumando una cantidad fija cada poco tiempo.
Cuando llegó a su casa, el viajero aún runruneaba algo en su cabeza:
--La carrera me costó 11'55, el fijo inicial fue de 1'15, entonces la maquina contó 11'55-1'15=10'4 euros. El viaje fue de 13 minutos, luego acumuló 10'4:13=0'8 euros el minuto.
Estimó mentalmente que el contador saltaba cada 15 segundos, y dijo en alta voz:
--¡Eureka! ¡El contador suma 20 céntimos cada 15 segundos!.

Flujo del modelo

2011-07-20T09:28:00.000-07:00

1º) La división es la operación inversa de la multiplicación, o sea, comprobar cuantas veces cabe un número en otro.
2º) Se trata de dividir un número D (>0) entre otro d (>0) por restas sucesivas.
3º) Si d>D entonces el cociente es 0 y el resto es D y se acaba la división. Si d<=D entonces se continúa.
4º) Se multiplica d por un entero positivo n elegido de tal forma que d·n<=D.Se anota el valor de n.
5º) Se resta D-d·n, cuyo resultado es el nuevo valor de D.
6ª) Si d<=D, entonces se vuelve al paso 3º), sino la división terminó y se continúa en el siguiente punto.
7ª) Se suman todos los valores de n que se anotaron y eso es el resultado del cociente C. El resto es lo que quedó de D sin poder restar más, R. Se comprueba que el resultado es correcto viendo que D=d·C+R

Modelo: Calcular una división

2011-07-20T02:16:00.000-07:00

La división es la operación inversa de la multiplicación, esto quiere decir que si la multiplicación son en su origen sumas repetidas, entonces la división son restas repetidas. Vamos a dividir 13423 entre 48. Se trata por tanto de ver cuántas veces podemos restar de 13423 el 48. Llevamos un cómputo:
1º restamos 100 veces 48, 13423-4800=8623
2º restamos otra vez 100 veces 48, 8623-4800=3823
3º ahora restamos 50 veces 48, 3823-50·48=1423
4º ahora restamos 20 veces 48, 1423-20·48=463
5º ahora restamos 8 veces 48, 463-8·48=79
6º sólo podemos restar una vez 48, 79-48=31
7º ya no se puede restar más.
En total se han restado 100+100+50+20+8+1=279 veces 48 y sobran 31. El cociente es 279 y el resto 31.
Podemos comprobar que está bien si multiplicamos 279 por 48 y sumamos 31, tiene que dar 13423.

Estructura utilizada en la resolución del problema

2011-07-15T05:15:00.000-07:00

1º) Para resolver el problema se decide utilizar una estructura algebraica. Se usan incógnitas para representar lo desconocido y se convierten las relaciones entre las incógnitas en ecuaciones.
2º) Se tienen dos animales diferentes, vaca y oveja, que consumen por separado en un determinado tiempo la provisión de pienso (27 días y 54 días, respectivamente). La vaca acaba antes el pienso que la oveja. Se quiere averiguar en cuánto tiempo se comen el pienso los dos animales juntos.
3º) Si se llama x la cantidad de pienso que se come una vaca en un día, e y a la cantidad que se come una oveja en un día. Si P es la cantidad de pienso total, entonces, por proporcionalidad: x=P/27, e y=P/54. Si T es el tiempo que tardan en comer el pienso los dos animales su velocidad es z=P/T
4º) Se pueden emplear todas las propiedades de la resolución de ecuaciones para poder resolver el problema. Hay una propiedad fundamental, y es, que la velocidad con que comen los dos animales juntos es la suma de las velocidades individuales: z=x+y. De igualar P en las dos primeras ecuaciones obtenemos que x=2·y, que es una relación importante para sustituir x en función de y.
5º) Se trata de despejar T, para ello se dispone de 4 ecuaciones con 5 incógnitas. Se pueden despejar incógnitas en unas ecuaciones y sustituir en otras, intentando eliminar incógnitas a la vez que se eliminan ecuaciones.
6º) Para averiguar T, se despeja en la tercera: T=P/z, se sustituye z por x+y, T=P/(x+y). Ahora si sustituimos x e y por sus expresiones en función de P, conseguimos una expresión de T que depende de P, que simplificando se elimina y da la solución. También se puede poner todo en función de y con lo que resulta más facil de resolver.
7º) Llegamos al final al obtener el valor de T. Conviene revisar si la solución es correcta, para ello hay que recobrar el sentido de todo lo que se ha calculado.

Resolver un problema

2011-07-15T04:21:00.000-07:00

Un labrador tiene pienso para alimentar una vaca durante 27 días, y si fuera a una oveja, para 54 días. ¿Para cuánto tiempo tendría pienso si tuviera que alimentar a la vaca y a la oveja?

Lo que consume de pienso una vaca por día le llamamos x. Lo que consume una oveja por día le llamamos y. La cantidad de pienso total es por tanto P=27·x=54·y
Si los dos animales están juntos consumen al día x+y, y el tiempo que les dura el total de pienso es T=P/(x+y)
Entonces, de la primera ecuación tenemos que x=2·y. Sustituimos en la segunda en función de y: T=54·y/(2·y+y)=54/3=18 días
¿Cómo comprobar que está bien? Vamos a dar sentido a lo que obtuvimos: Si x=2·y, entonces es que lo que consume una vaca por día es el doble de lo que consume una oveja. Si juntamos una vaca y una oveja, entonces, equivale a tres ovejas. Una oveja come todo el pienso en 54 días, entonces las tres ovejas lo comeran en la tercera parte de tiempo, 54/3=18 días.

Etapas de la demostración de la fórmula

2011-07-09T14:51:00.000-07:00

1º) Se trata de encontrar la fórmula que permite obtener el área del rombo

2º) Se parte de la figura de un rombo y del que se pueden conocer sus dos diagonales D y d.

3º) Suponemos que la fórmula del área del cuadrado de lado l es conocida.

4º) Se descomponen las figuras más complejas en figuras simples de las que se puedan calcular sus fórmulas.

5º) El rectángulo se puede considerar como formado por cuadrados de lado unidad. El romboide se transforma en un rectángulo si quitamos un triángulo de una de sus esquina y lo pegamos en el otro extremo. El romboide se puede dividir por su diagonal y da dos triángulos iguales. Por último, el rombo se puede descomponer como el romboide

6º) Se argumenta a la inversa, se parte de que el rombo es suma de dos triángulos (dividiéndolo por una de sus diagonales) lo cual lleva a tener que buscar la fórmula del área del triángulo, que podemos sacar si se tiene la del romboide, que es suma de dos triángulos iguales. Pero la del romboide puede obtenerse de la del rectángulo, que a su vez se puede calcular de la del cuadrado. Ahora se hace la demostración desde el cuadrado hasta el rombo.

7º) Se finaliza cuando se consigue llegar a la fórmula del área del rombo

La fórmula del área de un rombo

2011-07-08T14:21:00.000-07:00

La fórmula del area del rombo es:
A=(D·d)/2
donde D es la diagonal mayor y d la diagonal menor.
¿Por qué con esta operación se obtiene el área del rombo? Vamos a demostrarlo siguiendo una lógica.
Partimos de que el área de un cuadrado es A=l·l, lado por lado. Si en lugar de un cuadrado se tiene un rectángulo de base b y altura h, se puede considerar que está formado por cuadrados de lado 1, h filas y b colunas de cuadrados unitarios, entonces su área es el número de cuadrados, A=b·h
Si tenemos un romboide de base b y altura h, podemos rectificarlo en un rectángulo, de base b y altura h, entonces el área del romboide es A=b·h. Un triángulo puede considerarse como medio romboide, dividido por la diagonal, luego el área del triángulo es, A=b·h/2. Un rombo se puede dividir a la mitad por la diagonal de longitud D y se obtienen dos triángulos iguales de base D y altura d/2. El área es: A=(D·d/2)/2+(D·d/2)/2=((D·d/2)+(D·d/2))/2=(D·d)/2

Pasos del método de la búsqueda de una palabra en un texto

2011-06-25T10:08:00.000-07:00

1º) Se trata de que se le va a decir a un ordenador cómo encontrar el número de veces que se usa una palabra patrón en un texto
2º) Se parte del texto formado por una secuencia de palabras y del patrón a buscar.
3º) Las palabras son secuencias de letras que acaban en el primer blanco o coma o punto que se encuentren.
4º) Para comparar se ve letra por letra (en el sentido de la lectura) si van coincidiendo patrón y palabra investigada. Si falla una letra, no coinciden, y si todas son iguales, ha ocurrido una coincidencia que se anota. Se acumula el contador de ocurrencias en uno si se encuentra.
5º) Una vez comparada una palabra se elige la siguiente palabra del texto mientras siga habiendo.
6º) Se vuelven a repetir los pasos 4º y 5º.
7º) Si se llega al final del texto (el punto y final), se acaba la búsqueda y se devuelve el número de ocurrencias.

Un método para buscar una palabra en un texto

2011-06-25T09:53:00.000-07:00

Dado el texto:

Yo por bien tengo que cosas tan señaladas, y por ventura nunca oídas ni vistas, vengan a noticia de muchos y no se entierren en la sepultura del olvido, pues podría ser que alguno que las lea halle algo que le agrade, y a los que no ahondaren tanto los deleite.

Buscar las veces que aparece la palabra "que".
Hay que ir palabra por palabra, empezando por la primera comparandola con "que". Si coincide se anota una ocurrencia.
Así podemos comprobar que "que" aparece 4 veces en el texto del Lazarillo de Tormes, es la 5ª, la 33ª, la 35ª, la 40ª y la 46ª palabra.
La búsqueda finaliza cuando se llegue a la última palabra.

Esquema del juego de cruzar el río

2011-06-23T08:44:00.000-07:00

El juego consta de:
a) Un número determinado de jugadores
(2 jugadores)
b) Un tablero, unas fichas y dados
(el tablero con las 12 casillas, 10 fichas y dos dados)
c) Una posición inicial de las fichas en el tablero
(cada jugador posiciona sus fichas en sus casillas, pudiendo colorar varias fichas en un misma casilla)
d) Una modo de realizar los movimientos
(se lanzan los dos dados y se suman los resultados)
e) Reglas que indiquen que hacer en cada caso

(si la suma coincide con una de las casillas ocupadas se quita una ficha significando que cruza el río)

(si ambos jugadores tienen fichas en opción de saltar el río porque coinciden en el mismo número de casilla realizan el salto a la vez)

f) Una estrategia de juego para conseguir ganar
(si no coincide, cada jugador puede cambiar de posición una de sus fichas buscando mejorar opciones)
g) Un final de partida

(finaliza la partida cuando un jugador haga saltar el río a todas sus fichas)

(puede acabar en empate si ambos jugadores finalizan conjuntamente)

El juego de cruzar un río

2011-06-22T14:34:00.000-07:00

El juego es para dos jugadores con un tablero que representa un río en el que los jugadores ponen sus cinco fichas, cada uno en su orilla. Las orillas tienen casillas numeradas del 1 al 12. En cada casilla se pone el número de fichas que se desee. En cada jugada los jugadores lanzan sus dados y suman los resultados de los dos dados.

Reglas del juego:

1) Si el número resultante de la suma coincide con el de una casilla ocupada por una ficha, en cualquier orilla, la ficha cruza el río y se quita del tablero.

2) Cada jugador puede reposicionar sus fichas antes de cada tirada si no cruzó con una ficha el río en la jugada previa.

3) El primero que haga cruzar sus fichas gana la partida.

La partida puede terminar en tablas si pasan los jugadores su última ficha a la vez.

La cuestión que deben de contestar cualquiera de los dos jugadores es: ¿cuáles son las mejores posiciones para colocar las fichas?

Estrategia de la malla

2011-05-20T14:27:00.000-07:00

Si establecemos una malla que recubra la figura tendremos:

94 rectángulos interiores
45 rectángulos en el borde, que son de distinto tamaño y podemos suponer que sólo la mitad corresponde al área, son por tanto, 22'5 rectángulos.
Total: 94+22'5=116'5 rectángulos.

Si el área de un rectángulo es a unidades cuadradas, el área final es aproximadamente:

A=116'5·a unidades cuadradas

Estrategias

2011-05-20T10:33:00.000-07:00

¿Cómo aproximar el cálculo del área de una figura poligonal irregular?

Se quiere averiguar el área de la figura siguiente, ¿cómo hacerlo?
Estrategia 1: Dividir la figura en triángulos y medir sus bases y alturas y calcular sus áreas.
Estrategia 2: Dividir la figura en triángulos, medir sus lados y calcular sus áreas con la fórmula de Herón.
Estrategia 3: Meter la figura en un rectángulo, medir el área de los triángulos que complementan la figura en el rectángulo y descontar sus áreas de la del rectángulo.
Estrategia 4: Aproximar la figura con figuras rectángulares, internamente, externamente o superponiendólas, y calcular sus áreas.
Estrategia 5: Dividir el papel con una malla suficientemente fina como para contar los cuadraditos que aproximen a la figura dada.

Una idea: Las Constantes

2011-05-07T05:28:00.000-07:00

Vamos a desarrollar la idea de las constantes:

a) La razón entre el dinero pagado con bono en la guagua y el número de viajeros que van es constante, vale 0'65 en nuestra ciudad a lo largo de este año mientras no suba el precio del bono. Representa el precio por viajero.

b) La razón entre la masa de un volumen de agua en kilos y dicho volumen en litros es constante y vale 1'03. Al menos mientras no cambien las unidades de masa y volumen, que no van a cambiar en mucho tiempo, y también, hay que decir que este resultado es un promedio. Habría mares con distintas razones. Representa la densidad del agua de mar.

c) La razón entre lo que pagamos al pescadero y los kilos de merluza que llevemos es constante, ahora mismo puede estar en los 12 euros, pero esta constante tiene poca vigencia, puede cambiar en cortos períodos de tiempo. Representa el precio por kilo que nos recuerda el cartelito que hay encima del pescado.

d) La razón entre las sombras que proyectan palos de distinta altura y su longitud, en un determinado instante, es constante, y sólo depende de la inclinación de los rayos del Sol. Representa una de las razones trigonométricas del ángulo.

e) La razón entre el espacio recorrido en autopista, en kilómetros, y el tiempo transcurrido, en horas, yendo a la máxima velocidad que permite la ley, es 110. Representa ese límite de velocidad que aparece en los letreros de la autopista.

El valor de las constantes

2011-04-30T01:48:00.000-07:00

Los precios de los productos que hay en el mercado son constantes, al menos durante un tiempo si no los sube el propietario, lo cual nos permite controlar la economía doméstica. Así, el precio de un kilo de café en una determinada época puede ser de 2 euros, un valor constante mientras no suba. En ese período en que es constante, utilizamos el dato para realizar cálculos con el que hacer compras de ese café. Por ejemplo, si queremos comprar 4 kilos de café multiplicamos 4·2 y nos da 8 euros. Si fuesen 5 kilos, serían 5·2=10 euros. Lo que tenemos delante es una fórmula que nos permite obtener el precio a pagar según los kilos que se compren. Pero también, podemos calcular la cantidad de café que podemos comprar con ese dinero. Por ejemplo, con 15 euros se pueden comprar 15/2=7'5 kilos de café. Podemos calcular los kilos según el dinero que queramos gastar. Ambas situaciones las podemos representar por la expresión:

precio/2=kilos de café

precio=2·kilos de café

o bien,

precio/kilos de café=2

Cuando dos magnitudes tiene una relación de este tipo, el cociente entre sus valores correpondientes es constante, se dice que son directamente proporcionales:

y/k=x

y=k·x

o bien,

y/x=k

Estas constantes son temporales por lo que la validez de las fórmulas depende de lo que estén vigente esas constantes, pero hay otras magnitudes que no cambian sus constantes de proporcionalidad directa. Por ejemplo, la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro siempre es pi=3'1415... También, la razón entre la altura de cada uno de los árboles de una alameda y su sombra, en un instante dado, también es constante, y está relacionada con la inclinación de los rayos de sol que haya en ese momento.

Tantos por ....

2011-04-15T11:45:00.000-07:00

Hay proporcionalidad directa entre dos magnitudes relacionadas cuando la razón entre los valores medidos, en cualquier instante o lugar, es constante.

Por ejemplo, si un coche va a velocidad constante significa que la razón entre el espacio recorrido y el tiempo transcurrido en todo momento es constante, las magnitudes espacio y tiempo son en este caso directamente proporcionales.

Si el coche tarda 2h en recorrer 120 km, entonces, la razón constante es 120/2=60 que representa lo que recorre en una hora, lo que llamamos velocidad del coche. Representa el tanto por uno, el espacio recorrido en una hora.

Otro ejemplo, si en una tienda rebajan por fin de temporada 12 euros en un vestido que costaba 120 euros, si suponemos que la razón entre el descuento y el precio antiguo debe de permanecer constante, entonces por un hipotético vestido de 100 euros deben de descontar una cantidad x que encontramos igualando la razón en los dos casos:

12/120=x/100

x=12·100/120=10 euros.

Hacen una rebaja de 10 euros por cada vestido que cueste 100 euros, es el tanto por ciento de descuento, el 10%.

Unas veces interesa presentar la razón constante de proporcionalidad como el tanto por uno y otras como el tanto por ciento. Pero también hay más representaciones de la razón de proporcionalidad directa.
Otro ejemplo, en una población de 25000 habitantes nacen al año 24 nuevos individuos. Si medimos el número de habitantes que nacerían en la misma proporción en una población de 1000 habitantes tendríamos:

24/25000=x/1000

x=24·1000/25000=0,96 habitantes

Aproximadamente nace un nuevo individuo por cada mil habitantes, es el tanto por mil, 0,96º/oo
El tanto por millón se denota como ppm, partes por millón, y se usa en cuestiones de concentraciones de pequeñas partículas. Por ejemplo, si se estudia la concentración de materia orgánica que hay en una zona del océano y se llega a que hay 567 mg de ese tipo por cada millón de mg de agua del océano (1 Kg), tenemos una concentración de 567 ppm. Siguiendo el mismo razonamiento también se puede hablar de partes por billón, ppb.

Ambigüedades a favor

2011-04-03T03:08:00.000-07:00

En matemáticas se utilizan ciertas ambigüedades en beneficio de una mayor simplificación. Una de ellas es la de usar indistintamente el signo menos de los números negativos y el operador de la resta. Veamos un ejemplo: si tengo 6 euros y contraigo una deuda de 4 euros, dispongo de 2 euros en propiedad; si tengo 6 euros y gasto 4 me quedan 2.

6 + (-4) = 2 ; 6 - 4 = 2

El guión de menos cuatro representa en el primer caso al número negativo, la deuda, y en el segundo a la resta, el gasto. Las expresiones son equivalentes porque dan el mismo resultado:

6 + (-4) ~ 6 - 4

y podemos poner:

6 + (-4) = 6 - 4 = 2

con lo cual el simbolo de igualdad y equivalencia se equiparan. Me quedo igual en ambos casos, con sólo 2 euros.

Lenguaje algebraico

2011-02-21T04:20:00.000-08:00

Una propiedad: La suma de dos naturales es independiente del orden en que se haga. a+b=b+a
Una regla: Si la suma de los dígitos de un número es múltiplo de 3 el número es divisible por 3.
Una función: En una recta la razón entre el incremento de la ordenada y de la abscisa es constante. y=mx+n
Una fórmula: El área del círculo es igual a pi veces el radio al cuadrado. A=π·r²
Un método: Para sumar fracciones con igual denominador se pone como numerador la suma de numeradores y como denominador el denominador común. a/b+c/b=(a+c)/b

Operaciones con enteros

2011-02-12T08:06:00.000-08:00

Los números enteros los forman los enteros positivos +1, +2, +3, +4,....., el cero, 0, y los enteros negativos, -1, -2, -3, -4,... Salvo el cero, todos los enteros tiene signo, y nos sirven, por ejemplo, para medir las temperaturas. El cero es el que correponde al punto de congelación del agua, por encima de cero es la temperatura que hace un día soleado y por debajo, cuando nieva. El refrigerador suele estar a 5ºC (+5) y el congelador a -15ºC (-15). Por los general, en los Polos necesitamos medir la temperatura ambiente con los números negativos y en el Ecuador con los positivos.

Para sumar y restar utilizamos los mismos signos, + y -, que empleamos para indicar los enteros positivos y negativos. En principio esto supondría una dificultad, usar el mismo signo para representar dos cosas diferentes. Sin embargo esta desventaja se convierte en virtud, ya que resulta engorroso estar continuamente poniendo un signo menos o más delante de los números. Para simplificar se asume que el signo más para los positivos no es necesario ponerlo, por defecto si un número no tiene signo suponemos que es positivo. Así +3=3. Solamente usamos el signo menos para indicar un número negativo y, si está implicado en medio de operaciones, hay que usar el paréntesis para estos números cuando operamos con ellos. Así +4+(-5) = 4+(-5). Aquí viene la ventaja de usar el mismo signo para la operación y para especificar el número, puesto que sumar a un número positivo uno negativo (bajar la temperatura en los ejemplos), es equivalente a restar a ese número positivo el opuesto del negativo. Por ejemplo: 4+(-5) = 4-(+5) = 4-5. Es decir, se cumple la regla del producto de signos, + · + = +, + · - = -, - · + = -, - · - = +, que permite simplificar el tema de los signos y los paréntesis, hasta el punto de convertir todo en sumas y restas de positivos. Por ejemplo: (-4)+(-5)-(-3)+(+4) = (-4)+(-5)-(-3)+4 = (-4)-5+3+4 = -4-5+3+4

Sustitución

2011-02-04T09:12:00.000-08:00

Resolver por el método de sustitución el sistema de ecuaciones siguiente:

3x+4y=11

5x-2y=1

Paso 1: Despejar la x en la primera ecuación para obtener una expresión de la variable x en función de la y
x=(11-4y)/3

Paso 2: Sustituir la expresión de x obtenida en la segunda ecuación para obtener una ecuación de primer grado en y
5(11-4y)/3-2y=1

Paso 3: Resolver la ecuación para obtener el valor de y
55-20y -6y=3
-26y=-52
y=2

Paso 4: Obtener el valor de x a partir de la expresión anterior sustituyendo el valor de y
x=(11-4·2)/3
x=1

Paso 5: Comprobar la correctitud del resultado poniendo los valores de x e y en el sistema inicial
3·1+4·2=11
5·1-2·3=-1

En el paso 1 se puede despejar la x en lugar de la y también.
En cada paso se realiza una acción y se obtiene un dato que se emplea en el paso siguiente o posteriores.

Problemas

2011-01-17T08:50:00.001-08:00

Silvia compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en 505 euros. Calcula los precios respectivos, si la falda vale 25 veces más que el pañuelo, y el abrigo, el triple de la falda.

Un camión de reparto ha traído a un bar agua, cervezas y refrescos de cola. En total son 505 botellas. Calcula cuántas botellas han traído de cada clase teniendo en cuenta que por cada agua hay 25 cervezas y por cada cerveza hay 3 colas.

En una cadena trófica la especie A come a la B y esta a la C. Cada individuo de la especie A come 25 de la B, y cada uno de la B come 3 de la C. En una comunidad en la que hay 505 individuos de las tres especies, ¿cómo tienen que estar distribuidos para que todos los individuos de la especie A puedan comer?

¿Dónde estamos atrapados?
Desconocemos la cantidad de individuos de cada especie. Supongamos que hay x individuos de la especie A (botellas de agua/precio del pañuelo), entonces tiene que haber 25x de la B (cervezas/precio de la falda), y 3·25x de la C (colas/precio del abrigo). Los 25x individuos de la especie B comen los 3·25x de la C y los x de la A a los 25x de la B.

¿A dónde queremos llegar?
El conocimiento que tenemos es que en conjunto son 505 individuos, y si juntamos el principio con la llegada obtenemos que: x+25x+3·25x=505, esto es, una ecuación de primer grado.

¿Cómo salimos?
Resolviendo la ecuación de primer grado:
x+25x+75x=505
101x=505
x=505/101=5

Comprobación

El resultado de x=5 representa a los 5 individuos de la especie A

Los de la especie B eran 25x, o sea, 25·5=125

Y, por último, los de la C eran 3·25x=75x=375.
En conjunto 5+125+375=505

Polya establece cuatro partes: Entender el problema, concebir un plan, ejecutarlo y comprobar los resultados.

Calendarios

2011-01-13T08:09:00.000-08:00

El reloj biológico de los seres vivos viene determinado en gran medida por el Sol y por la Luna. Los días solares van aumentando desde el solsticio de invierno hasta el de verano, pasando por el equinocio de primavera, y disminuyendo de nuevo desde el de verano al de invierno, pasando por el equinocio de otoño (corresponden al cambio de las cuatro estaciones del año). El aumento o disminución de la luz lo perciben los seres vivos para determinar la época de apareamiento, hay procesos fisiológicos que están determinados por la cantidad de luz que disparan la actividad reproductiva. De igual forma la Luna hace cuatro fases, nueva, cuarto creciente, llena y cuarto menguante, en 28 días aproximadamente. Las mareas vivas se producen en la Luna llena o nueva y las muertas en la Luna en cuarto creciente o menguante, este reloj lo aprovechan los animales que viven entre el medio marino y terrestre para controlar el recorrido que hacen al buscar alimento.

El día

2011-01-04T01:48:00.000-08:00

El día solar es el tiempo que tarda el Sol en pasar dos veces consecutivas por el mismo meridiano del lugar. De 12h a 12h en el cómputo ordinadio. Por tanto, el día solar dura 24h, pero ¿que pasaría si en lugar de considerar el Sol empleamos otra estrella y computamos el tiempo que tarda en pasar dos veces por el meridiano del lugar?, pues veríamos que ese tiempo es de 23 h 56 min 4,0905 s. A ese tiempo de duración se le llama día sideral y como se ve es inferior al día solar. Si se observa el gráfico se ve que la Tierra va moviendose en su traslación y tiene que rotar un mayor ángulo para orientar un meridiano con el Sol (>360º) que con una estrella de referencia lejana (aprox. 360º). Por esta razón, al observar en el cielo nocturno una estrella determinada en el plano meridiano, ésta va cambiando cada día, se va adelantando casi cuatro minutos.

Años bisiestos

2011-01-01T14:22:00.000-08:00

El año solar, el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta completa alrederor del Sol, dura un poco más de 365 días, casí un cuarto de día más, lo cual hace que tengamos que añadir un día al computo del año de vez en cuando, para no quedarnos retrasados. Los años que se añade un día son de 366 días, con el 29 de Febrero, y se llaman bisiestos. Se consideran bisiestos aquellos años que son divisibles por 4, salvo que sean divisibles por 100 y no por 400.

Así, el próximo año bisiesto será el 2012, luego el 2016, y así sucesivamente de 4 en 4. Pero el año 2100 no es bisiesto, aún siendo divisible por 4, porque es divisible por 100 y no por 400. El año 2400, divisible por 4, es bisiesto porque aunque es divisible por 100 también lo es por 400.

De esta forma se controla en el cómputo del tiempo que el calendario gregoriano que tenemos no se desfase con el solar.

Uno de enero de dos mil once

2011-01-01T01:49:00.000-08:00

Uno de Enero de 2011, uno de enero de 2011, 1 de enero de 2011, 1/enero/2011, 1/1/2011 o 1/1/11. Tenemos varias opciones de escribir la fecha, el mes en mayúsculas o en minúsculas (esta última parece ser la correcta), los números del día y del mes separados por guiones o por barras,..., en cualquier caso el orden es, DIA, MES, AÑO. En inglés se pone primero el mes, luego el día y luego el año, January, 1st 2011, y en USA lo ponen en número separado por barras, 1/1/11, en cualquier caso el orden es MES, DIA, AÑO. Este año tenemos varias fechas curiosas por la simetría de su notación, por su carácter palindrómico, sin ir mas lejos el once de enero, 11/1/11, o todos los once de mes salvo en octubre y diciembre. El más vistoso es el once de noviembre (11/11/11).

Nota: Si consideramos la fechas como operaciones tenemos para una persona que nazca el 1/1/11=0.090909... Otra que nazca el 14/5/11=0.25454545... El del 11/11/11=0.090909..., igual que el del 1/1/11.

Solsticio de invierno

2010-12-24T09:27:00.000-08:00

El 24 de Diciembre se celebra la Navidad y es una fecha que coíncide aproximadamente con el solsticio de invierno que cae entre el 21 y el 22 de Diciembre. Este año el solsticio fue el 21 de Diciembre a las 23:38h (UTC) y es el momento de la máxima declinación sur del Sol (-23º 27'). En el hemisferio norte comienza el invierno astronómico y en el sur el verano astronómico. En el hemisferio norte se alcanza la noche más larga del año y en el sur el día más largo, y, a partir de ahí, en el norte empiezan a crecer los días hasta el día más largo que es en el solsticio de verano, que en el año 2011 será el 21 de Junio a las 17:16h (UTC).

Perfil y frente

2010-12-16T07:36:00.000-08:00

Ejercicio PISA(4)

Vamos a suponer que es una construcción en la que se emplea el máximo número posible de cubos.

En la base, según la visión lateral, hay 4 cubos por un lado, y, según la frontal, otros 4 por el otro lado. La base es un cuadrado 4x4 (4 filas x 4columnas), es decir, está formado (en una construcción de máximos) por 16 cubos.

En el nivel superior, hay 2 cubos en la fila primera y otros 2 en la fila tercera, si consideramos que se están ocultando estos últimos, en la visión lateral, por los primeros.

En una construcción de máximos hay, por tanto, 16+4=20 cubos.

Vamos a suponer que es una construcción con el mínimo número de cubos.

Considerando el nivel superior, con solo 2 cubos en las columnas segunda y tercera tenemos las visiones de frente y perfil. En la base hay que situar un cubo debajo de cada uno de los 2 cubos del nivel superior. Entonces sólo faltan otros 2 cubos, uno en la fila segunda y otro en la cuarta, que definan la primera y cuarta columna de la base en la visión lateral.

En una construcción de mínimos hay, por tanto, 4+2=6 cubos

En conclusión, se tienen que emplear entre 6 y 20 cubos para formar el objeto con esa planta y ese perfil.

Ejercicio PISA (4)

2010-12-13T12:47:00.000-08:00

Ejemplo de ejercicio PISA:
¿Cuántos cubos se han empleado en la construcción de este objeto?.

Caminando

2010-12-11T14:38:00.000-08:00

Primero despejamos n. La fórmula que relaciona n con P es n/P=140. Despejando n, pasando la P dividiendo al segundo miembro de la igualdad, obtenemos que n=140P.

Ahora calculamos n para el caminar de Bernardo. En este caso P=0'80m, luego, sustituyendo en la última expresión, obtenemos que n=140·0'80=112p/min. En metros por minuto es 112·0'80=89'6.

Por últimos, hay que pasar esta velocidad a kilómetros por hora. Para ello los metros se ponen en kilómetros, dividiendo por mil, 89'6m=0'0896km. También ponemos los minutos en horas, dividiendo por 60, 1min=1/60h. Entonces la velocidad queda:

n=89'6m/min=0'0896km/(1/60)h=60·0'0896 km/h=5'376km/h

Ejercicio PISA (3)

2010-12-11T00:30:00.000-08:00

La fotografía nos muestra las huellas de un hombre caminando. La longitud del paso P es la distancia entre el talón de dos huellas consecutivas. Para el hombre la fórmula n/P=140 da aproximadamente la relación entre la n y P, donde n es el número de pasos por minuto.
Sabemos que Bernardo tiene una longitud de paso de 0'80m. Aplicando la fórmula al caminar de Bernardo, calcula la velocidad con la que camina en metros por minuto y en kilómetros por hora.

Elegir el modelo de depósito

2010-12-09T14:45:00.000-08:00

Esta cuestión del ejemplo PISA es sencillo de contestar si se concretan bien los porcentajes.

La primera opción es un 4% anual. El 4% de 1000 euros se calcula multiplicando 1000 por 4 y dividiendo por 100. El resultado es 40 euros. El pimer año se tiene, por tanto, un capital de 1040 euros. Al segundo año el 4% de 1040 se calcula multiplicando 1040 por 4 y dividiendo por 100. El resultado es 41.6 euros. Por tanto, con el primer plan se acumulan 1040+41.6=1081.6 euros a los dos años.
La segunda opción a elegir es 10 euros iniciales y una renta anual del 3%. Si guardamos los 10 euros en cuenta desde el principio tendremos 1010 euros. Al año producen un 3%, o sea, 3*1010/100=30.3 euros, que acumulan 1010+30.3=1040.3 euros. Es un poquito mejor este plan a un año que el anterior. El segundo año la renta de estos 1040.3 euros es, 3*1040.3/100=31.209 euros, con lo que se acumula el segundo año un total de 1040.3+31.209=1071.209 euros. Si lo comparamos con el plan anterior se comprueba que es mejor el primer plan a dos años que el segundo.

Ejercicio PISA (2)

2010-12-09T08:10:00.000-08:00

Ejercicio ejemplo de PISA

1000 euros se depositan en una cuenta bancaria. Hay dos opciones: a) recibir una renta anual del 4%; b) recibir 10 euros iniciales y una renta anual del 3%
¿Qué opción es mejor al cabo de un año? ¿Y al cabo de dos años?

El teorema de Euler para los poliedros convexos

2010-12-08T08:24:00.000-08:00

El ejercicio PISA se inscribe en la órbita del teorema de Euler para poliedros convexos.

En primer lugar hay que decir que el ejercicio requiere la capacidad de ver en tres dimensiones, tanto para imaginar los posibles cortes como para ver las partes ocultas del poliedro que resulta. ¿Qué posibilidades reales hay de obtener poliedros convexos diferentes al seccionar el cubo por un plano? ¿Cómo podemos sistematizar el estudio?

Un alumno que tenga que responder a este ejercicio en un test PISA, lo más probable es que se limite a responder sobre los poliedros que aparecen en la figura.

De los cinco poliedros que tiene la figura, empezando por el cubo, el segundo tiene una sección que es un triángulo, el tercero, un hexágono, el cuarto, otro hexágono y el quinto, un triángulo. No obstante hay que decir que también se pueden obtener secciones que son cuadriláteros o pentágonos. Siempre convexos.

Con ayuda de la capacidad de visualización espacial, imaginándo la parte oculta de los poliedros, por atrás, podemos hacer una tabla para contabilizar las caras, las aristas y los vértices. La relación entre estos tres elementos para cada poliedro viene establecida por el teorema de Euler:

caras+vértices=aristas+2

Ejercicio PISA (1)

2010-12-07T14:51:00.000-08:00

Ejercicio ejemplo de PISA: Espacio y formas

¿Qué figuras se forman cuando un plano corta un cubo?
¿Cuántas caras, ejes o vértices se obtienen cuando se secciona un cubo de esta manera?

PISA 2009 Assessment Framework Key competencies in reading, mathematics and science

Llamar a las cosas por su nombre

2010-11-29T01:14:00.000-08:00

Hacer matemáticas sin números:

Consideraremos los números naturales incluido el cero.

Dividendo, divisor, cociente y resto, son los cuatro nombres que empleamos para hablar de la división euclidea. Cuando dividimos un número, el dividendo, entre otro, el divisor, obtenemos un resultado, el cociente, y un residuo que sobra, el resto. De tal manera que nos sirven para para establecer un criterio para comprobar si la división está bien hecha, la prueba de la división euclidea, que dice: en una división el dividendo tiene que ser igual al divisor multiplicado por el cociente más el resto. No hay que olvidar que el resto tiene que ser mayor o igual que cero y menor que el divisor para considerar finalizada la división. Aquellas divisiones que dan de resto cero, se denominan exactas, y las que no, son inexactas.

Los divisores de un número (*) son aquellos que hacen que la división del número por éstos números sea exacta, o sea, el resto de dividir un número entre un divisor suyo es cero. Cuando tenemos dos números y calculamos todos sus divisores puede haber coincidencia en varios de ellos, y al mayor de los divisores comunes se le llama el máximo común divisor.

El algoritmo de Euclides establece que: el máximo común divisor de dos números coincide con el máximo común divisor del menor y del resto de la división del mayor entre el menor.

Para demostrar esto hay que hacer uso de la prueba de la división euclídea. Por la propia prueba de la división, el máximo común divisor del dividendo y del resto es un divisor del divisor y del dividendo. Y, también, el resto de la división es igual al dividendo menos el divisor por el cociente, por tanto, el máximo común divisor del dividendo y del divisor también tiene que ser un divisor del resto y del divisor. Por la doble desigualdad, tienen que ser iguales.

(*) El nombre de divisor de un número coíncide con el del término divisor como parte de la división, pudiendo llevar a la confusión.

Multiplicación rusa

2010-11-11T09:08:00.000-08:00

El método de la multiplicación rusa usa las multiplicaciones y las divisiones sucesivas por 2 para obtener el producto de dos números. Si queremos multiplicar 73 por 162 se colocan los dos números en columna, el más grande a la izquierda y el menor en el centro. Se va duplicando por dos el mayor y se va diviviendo por dos el menor. Si el menor es impar se usa el par inmediato inferior y se pone un 1 en la columna de la derecha. Se finaliza al llegar a 1 en la división. El resultado final se obtiene sumando el último duplicado con aquellos que están en la misma fila dónde se anotaron los 1 en la tercera columna.
73*162=10368+1296+162=11826

Multiplicación musulmana

2010-11-11T08:26:00.000-08:00

Para multiplicar 76 por 562 siguiendo la multiplicación musulmana (*) hay que poner los números en una tabla como se indica en la imagen. El 76 se pone en la primera columna de la izquierda, de abajo hacia arriba, y el 562 se coloca en la primera fila, de izquierda a derecha. Las casillas interiores se dividen y en cada parte ponemos el resultado de multiplicar el dígito de la fila con el de la columna. Si algún producto da como resultado una cifra se completa con un cero delante del resultado, de forma que siempre se tengan dos cifras para poner en las casillas internas. Se suma las cifras de las diagonales y se colocan en la última columna y en la última fila. Se empieza por la parte superior de la última columna. Si la suma excede de 10 se lleva y se acumula en la diagonal siguiente. El resultado se lee empezando por la celda mas a la izquierda de la última fila. Resultado: 76*562=42712

(*) "Los números y sus misterios", André Warusfel. Ed. Martínez Roca, S.A. - Barcelona, 1968

Problemas abiertos

2010-10-31T04:18:00.000-07:00

Los problemas abiertos en matemáticas son aquellos que aún no se han podido resolver. Los que son antiguos son fácilmente comprensibles en su enunciado, los nuevos ya son un poco más complicados de explicar al gran público.
Aquí hay dos problemas abiertos antiguos debidos a Goldbach, llamados conjeturas, son afirmaciones que aún no se ha podido comprobar si son verdaderas o no. Hasta ahora no se ha encontrado ningún caso que contradiga tales afirmaciones. Estos son:

1) Todo número par mayor que 2 se puede poner como suma de dos números primos.
2) Todo número impar impar mayor que 5 se puede poner como suma de tres números primos.

En el caso de la primera conjetura se pueden encontrar facilmente los números primos para los primeros números pares, incluso hay varias opciones:

4=2+2
6=3+3
8=5+3
10=7+3=5+5
12=7+5
14=11+3=7+7
...............................
El problema está en probar que siempre se va a poder hacer esta suma sea cual sea el número par.

Hay que recordar que los números pares mayores que 2 son de la forma: 4n ó 4n+2 con n=1,2,3,4....

Nexos

2010-10-10T08:44:00.000-07:00

Consideremos la suma: 12+34=46. Si conocemos el resultado, 46, y uno de los sumandos, por ejemplo el 12, obtenemos el otro con la operación inversa de la suma, la resta: 46-12=34.

Por otro lado, si hacemos sumas repetidas tenemos la multiplicación: 45+45+45=45·3=135. Ahora, si conocemos el resultado, 135, y uno de los factores, por ejemplo el 45, obtenemos el otro con la operación inversa, la división: 135:45=3. En realidad, la división corresponde a la resta sucesiva, así como la multiplicación era la suma repetida. Así, si restamos a 135 repetidamente 45, podemos hacerlo hasta 3 veces: 145-45=90; 90-45=45; 45-45=0.

También, si multiplicamos repetidamente un número, por ejemplo 4·4·4·4·4=1024, tenemos la potencia: 4⁵=1024. El 4 es la base y el 5 el exponente. Ahora, si conocemos el resultado 1024 y el exponente,5, podemos hallar la base con la operación inversa, la radicación: 5√1024=4. La radicación es la división repetida, pero en este caso, hay que buscar el cociente partiendo de que sabemos que sólo podemos hacer 5 divisiones sucesivas. El 2 es divisor de 1024, y se puede dividir 1024 repetidamente por 2 hasta 10 veces, entonces, es el 4 el que se puede utilizar para hacer la división sucesiva cinco veces: 1024:4=256; 256:4=64; 64:4=16; 16:4=4; 4:4=1. Pero si lo que concocemos es el resultado, 1024, y la base, 4, podemos calcular el exponente con la otra operación inversa, el logaritmo: log₄1024=5. El logaritmo es la división repetida, considerando en este caso que el cociente es el 4 buscamos cuántas veces podemos hacer la división por 4. Se puede dividir 1024 entre 4, 5 veces: 1024:4=256; 256:4=64; 64:4=16; 16:4=4; 4:4=1

¡Curioso que sea más conocida la raíz que el logaritmo, cuando ésta es más dificil de encontrar!

Los números tienen nombre

2010-10-04T08:31:00.000-07:00

uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez, once, doce, trece, catorce, quince, dieciseis, diecisiete, dieciocho, diecinueve, veinte, veintiuno, veintidos, veintitres, veinticuatro, veinticinco, veintiseis, veintisiete, veintiocho veintinueve, treinta, treinta y uno, treinta y dos, treinta y tres, treinta y cuatro, treinta y cinco, treinta y seis, treinta y siete, treinta y ocho, treinta y nueve, cuarenta, cuarenta y uno, cuarenta y dos, cuarenta y tres, cuarenta y cuatro, cuarenta y cinco, cuerenta y seis, cuarenta y siete, cuarenta y ocho, cuarenta y nueve, cincuenta.

Se puede jugar con el nombre de los números. Adivina como sigue la serie numérica en cada caso fijándote en el nombre de los números:
a) 1, 2, 4, 5, 8, 11, 12,.....
b) 3, 7, 13, 14, 17, 20,.....
c) 2, 3, 6, 16, 22, 23,.....

¿Cuál es la estructura?

2010-07-02T04:55:00.000-07:00

Pedro compró dos bolígrafos y un bloc y pagó con un billete de 5 euros. En el bloc encuentra una etiqueta que pone que cuesta 3 euros y quiere averiguar lo que le costó cada bolígrafo.

En síntesis:

x (el precio de un bolígrafo)
2·x

2·x+3 (el precio de 2 bolígrafos y de un bloc)

2·x+3=5

2·x+3-3=5-3

2·x=2

2·x/2=2/2

x=1

¿Qué pasó?

2010-07-02T01:01:00.000-07:00

Pedro compró dos bolígrafos y un bloc y pagó con un billete de 5 euros. En el bloc encuentra una etiqueta que pone que cuesta 3 euros y quiere averiguar lo que le costó cada bolígrafo.

Cada bolígrafo costaba x euros

y como eran 2 bolígrafos costaron 2·x euros,

luego compró un bloc que le costó 3 euros

y pagó en total 5 euros.

Si descuento los 3 euros del bloc,

quedan 2 euros de gasto

que corresponden a los 2 bolígrafos,

pero si 2 bolígrafos cuestan 2 euros, entonces es que cada uno costó 1 euro.

¿Qué hay que hacer?

2010-06-28T00:10:00.000-07:00

Volvemos al principio del blog otra vez y al problema de los bolígrafos:

Pedro compró dos bolígrafos y un bloc y pagó con un billete de 5 euros. En el bloc encuentra una etiqueta que pone que cuesta 3 euros y quiere averiguar lo que le costó cada bolígrafo.

Deshacer las operaciones del camino supone tener camino presente para desandarlo. Vamos a llamar x al precio de cada boligráfo, y como son 2 bolígrafos han costado 2x, entonces, hagamos cuentas:

Los boligrafos cuestan ----->2x

El bloc cuesta ----------------->3

-----------------------------------------

Total: ----------------------------->5

-----------------------------------------
Si quitamos el precio del bloc en la cuenta sólo queda 2x y en el total 2. Entonces x=1.

¿Para qué sirven las matemáticas?

2010-06-24T01:00:00.000-07:00

Volvemos al problema inicial, ¿para qué sirven las ecuaciones?

Pedro compró dos bolígrafos y un bloc y pagó con un billete de 5 euros. En el bloc encuentra una etiqueta que pone que cuesta 3 euros y quiere averiguar lo que le costó cada bolígrafo.

¿Cuál es la relación entre objetos y dinero?
Mentalmente deshacemos el camino desde el final hasta el principio. A los 5 euros le descontamos los 3 y quedan 2 euros. Los bolígrafos costaron 2 euros. Ahora, como eran 2 bolígrafos debemos dividir 2 euros entre 2 bolígrafos y sale a 1 euro cada bolígrafo.

La orientación a seguir es deshacer el camino realizando operaciones inversas. Si se fue acumulando el precio ahora debemos restarlo y si en algún momento se multiplicó, debemos dividirlo.

Los problemas del camino

2010-06-13T03:09:00.000-07:00

Reflexión:

Vamos a iluminar el asunto. Se desea poder averiguar la cantidad de mantequilla que va con una cantidad dada de harina. Asumiendo que el reparto es homogéneo, en la mitad del pastel hay mitad de harina y mitad de mantequilla.

250g de harina van con 50g de mantequilla
125g de harina van con 25g de mantequilla.
Si el pastel fuese el doble grande tendría doble de harina con doble de mantequilla.
500g de harina van con 100g de mantequilla.
Problema 1:
No es fácil encontrar cómo pasar mentalmente de 250g de harina a 800g de harina. Se hace pesado, hay que aligerarlo.

Estrategia:
Si nos fijamos en la posiciones de los números se trata de multiplicar o dividir los números al unísono.
250g de harina ---------> 50g de mantequilla
250/2=125-------------> 50/2=25
2·250=500------------> 50·2=100
800---------------------> 50·800/250=160g de mantequilla

La regla es multiplicar la nueva cantidad de harina por la cantidad de mantequilla que se conoce y dividir por la cantidad de harina inicial.

Con esto se descarga la mente para centrarlo en la multiplicación y en la división.

Problema 2:
Las cantidades con las que operar pueden ser grandes y complica la obtención del resultado. Hay que hacerlo sencillo.

Razonamiento:
Racionamos el proceso averiguando la mantequilla que va con 1g de harina.
250g de harina---->50g de mantequilla
1g de harina ------> x
x=50/250=0'2
Esta cantidad es la razón r
1g ------> 0'2 g
800g---->x
Entonces x=800.0'2=160.
Es suficiente multiplicar la nueva cantidad de harina por la razón.
Problema 3:
La razón de proporcionalidad no explica si es de la cantidad de mantequilla sobre la de harina o viceversa, puede llevar a confusión. Hay que aclararlo.

Estructura:
La razón representa el cociente entre la cantidad de mantequilla y la de harina, para cualquier cantidad que consideremos que hacen el mismo pastel.
r=gramos de mantequilla/gramos de harina.
Pero, también podíamos haber definido la razón al revés, gramos de harina entre gramos de mantequilla.
En cualquier caso, lo que se cumple siempre es que el producto cruzado coíncide.
r=gramos de mantequilla/gramos de harina=50/250=0'2/1=160/800.
50·1=250·0'2; 0'2·800=1·160; 50·800=250·160
Problema 4:

El tema es hacer operativo este proceso.

Funcionalidad:
El proceso tiene dos fases: Simplificar la fracción inicial al tanto por uno y amplificar para cualquier otro caso.
Tenemos 250g de harina con 50 g de mantequilla. La razón mantequilla/harina es r=50/250=0'2/1. A partir de aquí para 800g de harina amplificamos poniendo 800·1=800 en el denominador y 800·0'2=160 en el numerador. Para otra cantidad de harina, por ejemplo 600g, amplificamos poniendo 600.1=600 en el denominador y 600·0'2=120 en el numerador. Para cualquier cantidad de harina debemos de operar de esta forma.
mantequilla/harina=50/250=0'2/1=160/800=120/600=y/x
Problema 5:
Para simplificar el proceso necesitamos definirlo.

Formulación:
En esencia para magnitudes directamente proporcionales podemos calcular la magnitud dependiente "y" a partir de la independiente "x" sin más que multiplicar ésta por la razón de proporcionalidad "r":
y=r·x
Si y es la cantidad de mantequilla y x la de harina. La razón, con los datos es; r=50/250=0'2. Entonces,
y=0'2·x.
Por ejemplo, para x=600, tenemos, y=0'2·600=120
Problema 6:
La sustitución de variables puede llevar a cierta inconsistencia en el manejo de los datos.

Método:
Pasos a seguir:
1) Dividir datos conocidos distinguiendo lo que se pone en el numerador del denominador. Procurar poner en el denominador la magnitud que tenemos como nuevo dato.
r=y/x=mantequilla/harina
2) Igualar el cociente a una nueva fracción, poniendo en el denominador la nueva cantidad conocida.
y/x₀=r
3) Pasar x₀ multiplicando a r.
y=x₀·r
4) Repetir desde el paso 2) para otro nuevo dato que corresponda a la magnitud del denominador.
Problema 7:
La rutina requiere introducir novedad para que no lleve a falta de realismo.

El aprendizaje como experiencia personal y colectiva

2010-06-06T02:45:00.000-07:00

Aprender es realizar un camino con mucha gente. Hay una serie de etapas que nos van enseñando:

Relación: Motivar para realizar un camino, soñar con el sitio a donde se va y entusiasmarse.
Estrategia: Los preparativos del camino, su inicio, tomándolo como un juego divertido.
Razonamiento: La primeras hambres del camino y el establecimiento de las raciones.
Estructura: Los primeros cansancios y flaqueo en el seguir, la firmeza del sentido del camino.
Funcionamiento: Los esfuerzos y trabajos para poder continuar, las primeras enfermedades.
Formulación: La disciplina y mecanización, la practicidad en el caminar.
Método: La llegada con todo lo aprendido y la selección de lo absolutamente necesario para repetir el camino.

Una receta de cocina

2010-06-02T08:35:00.000-07:00

Para hacer un pastel se deben de emplear 250 g de harina con 50 g de mantequilla (aparte de otros ingredientes). Si queremos que sea más grande y utilizamos 1000 g de harina, ¿cuánta mantequilla debemos de añadir?¿Cuánta mantequilla se necesita con 800 g de harina?

1) Relación

¿Cómo relacionamos las cantidades de harina y mantequilla? Hay una relación de proporcionalidad directa entre la cantidad de harina y la de mantequilla:

Si usamos 1000 g de harina cuadruplicamos la cantidad inicial de los 250 g de harina. Entonces debemos de cuadruplicar la cantidad de mantequilla, es decir, necesitamos 200 g de mantequilla. Ahora, si por 1000 g de harina empleamos 200 g de mantequilla, estamos poniendo 20 g de mantequilla por cada 100 g de harina, y si queremos que el pastel tenga 800 g de harina, entonces hay que multiplicar por 8 los 20 g, esto es, se necesitan 160 g de mantequilla.

2) Estrategia
¿Cómo hacemos para que no sea pesado buscar la relación? Vamos a emplear la estrategia de movimiento de números que se llama regla de tres simple:

Por cada 250 g de harina ponemos 50 g de mantequilla.
Por 1000 g tenemos que poner x.

250 g de h.-----> 50 g de m.

1000 g de h.----> x

Como 1000/250=4 veces, entonces, x=(1000/250)·50=4·50=200 g de m. Podemos poner x=1000·50/250, con lo cual, para despejar x, hacemos el producto cruzado de 1000 por 50 y dividimos por 250.
Por 800 g tenemos que poner y

250 g de h.-----> 50 g de m.

800 g de h.---->y

Hacemos el producto cruzado: y=800·50/250=160 g de mantequilla

3) Razonamiento
¿¿Cómo buscar un nexo que permita dar significación a lo que hacemos? Vamos a determinar primero la mantequilla que lleva un gramo de harina, lo que se llama la razón de proporcionalidad, y en base a eso resolvemos.

Si dividimos la mantequilla entre la harina tenemos los gramos de mantequilla por gramo de harina.
r=gramos mantequilla/gramos de harina

r=50/250=0'2 gramos de mantequilla por 1 gramo de harina

Entonces si queremos saber la mantequilla que va con una cantidad determinada de harina (en gramos) no hay más que multiplicar la razón por esa cantidad. Así, con 1000 gramos de harina van 1000·0'2=200 g de mantequilla, y con 800 g de harina, 800·0'2=160 g de mantequilla.

4) Estructura
¿Cómo sabemos si hay que multiplicar por los gramos de harina o de mantequilla? Ponemos en paralelo cada opción y sacamos la estructura.

La razón es como la fracción irreducible en una clase de equivalencia de fracciones:
r=gramos mantequilla/gramos de harina=50/250=0'2/1=x/1000=y/800.
Comparando la segunda con la tercera fracción, teniendo en cuenta que el producto cruzado coincide, tenemos:
x=0'2·1000/1=200
Comparando la segunda con la cuarta:
y=0'2·800/1=160

5) Funcionamiento

¿Pero qué se hace primero y que se hace después? El proceso tiene dos fases: obtener fracciones equivalentes primero por simplificación y después por amplificación.

Si partimos de 50/250 para pasar una fracción equivalente con denominador 1, debemos dividir por 250, numerador y denominador, con lo que queda 0'2/1. Si ahora amplificamos con denominador 1000, debemos multiplicar esta segunda fracción por 1000, en el numerador y denominador, obteniendo 200/1000. Si queremos una fracción equivalente con denominador 800, multiplicamos la segunda fracción por 800, arriba y abajo, el resultado es 160/800.

6) Formulación

¿Cómo hacer las cosas independientemente? Establecemos la fórmula que permite obtener los gramos de mantequilla a partir de los de harina.

Si H₀ y M₀ son las cantidades iniciales de harina y mantequilla, respectivamente, como la razón es constante si las magnitudes son directamente proporcionales, entonces r=M_0/H₀. Para otras cantidades diferentes H y M, que sirvan para hacer el pastel, se tiene que cumplir también que: r=M/H. Entonces M/H=M_0/H₀ y de aquí obtenemos la fórmula que permite obtener los gramos de mantequilla (M) que se necesitan para una cantidad dada de harina (H) en gramos .

M=(M_0/H₀)·H

(Proposición: Si dos magnitudes X e Y son directamente proporcionales, entonces existe una constante K tal que, Y=K·X)

En el enunciado H₀=250, M₀=50, y H=1000, entonces:
M=(50/250)·1000=200 g.
Para el segundo caso, H=800, entonces:
M=(50/250)·800=160 g.

7) Método
¿Cómo recoger todo de forma organizada? Finalmente tenemos los pasos a dar para obtener los gramos de mantequilla para cualquier cantidad de harina.

Ponemos en el numerador los gramos de mantequilla (lo que se va a averiguar) y en denominador los gramos de harina (lo que se da)
a) El primer paso es poner en el numerador 50 g de mantequilla y en denominador 250 g de harina. Se hace este cociente y es la razón.
b) La siguiente fracción tiene 1 en el denominador y la razón en el numerador.
c) Cualquier fracción equivalente tendrá en el denominador el dato de la harina y en el numerador la razón por los gramos que dan de harina.

Cálculo del tanto por ciento

2010-05-25T13:37:00.000-07:00

Un traje tiene una etiqueta que indica la variación del precio por rebajas:
ANTES-->140 euros
AHORA-->130.2 euros
¿Cuál es el porcentaje de descuento que hace la tienda?¿Cuánto costará ahora un traje que antes marcaba 89 euros?

Relación.-
Hay una relación entre los precios (antes y ahora) que es común a todos los artículos, o, al menos, a los trajes. La rebaja es la medida de lo que varía un precio antiguo con respecto al nuevo en general. La rebaja en tanto por cien indica sobre un hipotético traje que cueste 100 euros lo que están dispuestos a descontar al poner el nuevo precio. Si en 140 euros rebajan 9'8, entonces en la mitad, 70 euros, rebajaran la mitad, 4'9 euros, y en la séptima parte de éste último, 10 euros, la séptima parte, 0'7 euros. Entonces por 100 euros de compra rebajan 7 euros.

Estrategia.-
El descuento es proporcional al precio en relación directa, "a más precio más descuento y a menos precio menos descuento". Sobre los 100 euros hay que calcular la misma fracción que representa el descuento conocido de los 9'8 euros sobre 140. Con ayuda de una regla de tres simple se puede resolver: Si sobre 140 euros descuentan 9'8 euros, sobre 100 harán un descuento de x euros.
140---->9'8
100---->x
x=100·9'8/140=7, es decir, el 7%

Razonamiento.-
Se trataría de averiguar lo que se descuenta por cada euro, esto permitirá luego averiguar el descuento del traje que sea, sería la razón constante del descuento. Si a un traje de 140 euros le descuentan 9'8 euros, entonces por cada euro descuentan 9'8/140=0'07 euros, es decir 7 céntimos de euro. Si el traje costase 100 euros entonces descontarían 100·0'07=7 euros, estos es, hacen un descuento del 7%.

Estructura.-
La razón representa una relación de equivalencia entre el descuento y el precio del traje, y el tanto por ciento es el descuento sobre un hipotético traje que cueste 100 euros, por tanto:

razón=descuento/precio del traje=9'8/140=x/1=y/100
multiplicando en cruz:

x=9'8·1/140=0'07

y=x·100/1=0'07·100/1=7

El funcionamiento.-
Si en el denominador pasa de 140 a 1, entonces, en el numerador pasa de 9'8 a x=9'8/140=0'07. Por cada euro que cuesta el traje descuentan 7 céntimos. En la última igualdad de las fracciones anteriores se pasa en el denominador de 1 a 100, luego el numerador se pasa de 0'07 a y=0'07·100=7. El descuento es del 7%
9'8/140=0'07/1=7/100

En la práctica.-
Se obtiene el tanto por ciento dividiendo el descuento entre el precio del traje y multiplicando por 100.
Porcentaje= (descuento/precio del traje)·100
Porcentaje= (9'8 euros de descuento/140 ~~euros del precio del traje~~)·100 ~~euros del precio de un traje~~ =7 %
Para un nuevo traje que cuesta 89 euros tenemos:
7=(descuento/89)·100=> descuento=7·89/100=6'13 euros.

Método.-
Establecemos una igualdad entre fracciones:
1) Ponemos en el numerador el descuento y en el denominador el precio conocidos.
2) La siguiente fracción se obtiene poniendo en el denominador 1 y en el numerador el cociente de la primera fracción.
3) La tercera fracción la obtenemos poniendo 100 en el denominador y en el numerador, el numerador de la anterior multiplicado por 100.

La proporcionalidad directa

2010-05-21T12:46:00.000-07:00

Problema: Un barco lleva navegado 150 millas en 3 horas, ¿cuánto tardó en recorrer las 100 primeras millas?, y, ¿cuánto tardará en hacer un viaje de 500 millas?.

La relación entre las magnitudes.
Hay dos magnitudes, la distancia recorrida en millas y el tiempo transcurrido en horas. Vamos a suponer que el barco viaja a velocidad constante, esto implica que la razón entre el tiempo y la distancia (o viceversa) debe de permanecer constante en todo el trayecto. Recorre la misma distancia en el mismo tiempo en cualquier tramo del recorrido.

Los antecedentes.
Son magnitudes directamente proporcionales, a más recorrido más tiempo manteniendo la proporción. Se puede establecer una regla de tres simple:

150 millas ---->3 horas

100 millas----->x horas

150·x=100·3 =>x=(3·100)/150=2 horas

El razonamiento.
Si dividimos el tiempo transcurrido en un tramo entre la distancia recorrida obtendremos el tiempo que tarda en recorrer una milla, que es lo que se llama la razón de proporcionalidad. Calculamos la razón con los datos iniciales, dividiendo 3 entre 150, y da 0,02. Es decir, cada milla navegada lleva 0,02 horas. A partir de este dato se pueden obtener los tiempos que tarda al recorrer cualquier distancia, multiplicando la distancia por la razón.

razón=3/150=0'02 h/milla

tiempo al recorrer 100 millas = 0'02·100=2 horas

La estructura.
La razón es el cociente entre un tiempo y una distancia, representa una relación de equivalencia entre fracciones:

razón=horas/millas=3/150=x/1=y/100=z/500

Si consideramos la igualdad como la representación de fracciones equivalentes, la primera igualdad es una simplificación y las siguientes son amplificaciones. Al ser equivalentes el producto cruzado entre dos de las fracciones da lo mismo:

3·1=150·x => x=3/150=0'02 horas

0'02·100=y·1 => y=2 horas

0'02·500=z·1 => z=10 horas

El funcionamiento.
Entonces podemos resolver cada fracción multiplicando o dividiendo por una misma cantidad, según amplifiquemos o simplifiquemos.La segunda fracción se obtiene haciendo el cociente de la primera, el resultado se puede poner como numerador y como denominador se pone 1, que da el mismo resultado.

3/150=0,02/1=2/100=10/500

Para pasar de la segunda fracción a la tercera se multiplica numerador y denominador por 100, y para pasar de la segunda a la cuarta se multiplica numerador y denominador por 500. hay que fijarse como objetivo el buscar la fracción de denominador 1 y a partir de ella resolver las siguientes.

En la práctica.
Lo que dice la equivalencia anterior es que: el barco tarda 0,02 horas en recorrer una milla, 2 horas en recorrer 100 millas y 10 horas en hacer 500 millas. Cuando queramos hallar tiempos ponemos nuevas fracciones con el denominador conocido. Las fracciones se pueden invertir, arriba puede aparecer la distancia y abajo el tiempo, es ambivalente. De forma invertida tenemos que la razón es millas/hora, lo que se conoce como velocidad media. El barco navega a 25 millas por hora (130/3=25).
Por ejemplo, ¿cuántas millas recorre en 3 horas?

25 millas

----------- · 3 ~~horas~~ = 25·3=75 millas

1 ~~hora~~

El método.
a) Se pone en el numerador la magnitud que deseamos calcular.
b) La primera fracción son los datos iniciales del problema.
c) En la segunda se pone un 1 en el denominador y en el numerador ponemos el cociente de la primera fracción.
d) Al tener la fracción del tanto por uno podemos obtener cualquier otra fracción sin más que poner en el denominador la nueva distancia y en el numerador el producto de esa distancia por la razón.

La siguiente fracción, la tercera, como pide lo que tarda en recorrer 100 millas, ponemos 100 en el denominador y multiplicamos por 100 el numerador de la segunda fracción. Si pide otro trayecto, ponemos una nueva fracción con el denominador con la nueva distancia y en el numerador ponemos el producto del numerador de la segunda fracción por esa distancia (la llamada razón).

Transformando al sistema decimal

2010-05-17T13:22:00.000-07:00

Todavía subsisten muchos sistemas de numeración diferentes al decimal, bien por la rutina, bien por la costumbre o bien por la comodidad. Por ejemplo, el computo del tiempo en años, meses, semanas, días, horas, minutos y segundos. O el de ángulos en grados, minutos y segundos ¿Cómo se transforma una cantidad en estas unidades al sistema de numeración decimal? Pues es bien fácil, por ejemplo, 3 días, 13 horas y 30 minutos, pasados a días serán:

3+13/24+30/60/24=3.5625 días.

Otro ejemplo, 23º 34' 55'' a minutos:

23*60+34+55/60=1414.91666... minutos

¿Cómo hacerlo al revés? Por ejemplo, 4.56 horas a horas, minutos y segundos:

4 h + 0.56*60 min = 4 h + 33.6 min = 4 h + 33 min + 0.6*60 seg = 4 h 33 min 36 seg

Aún es común contar huevos o piezas de fruta en docenas, y hasta hace poco tiempo se hacían transacciones comerciales en ferias contando en duros en lugar de pesetas. En el campo se suelen emplear unidades antiguas como las fanegas para medir superficies. Esto indica que hay una componente de costumbre en la medida de las cosas, que el sistema de numeración decimal implantado en el siglo XIX aún no ha conseguido sustituir.

Educación y ficción. Los holomates (9)

2010-05-10T10:07:00.000-07:00

9) Racionalismo

En este momento, una febril actividad aritmética se desarrollaba para resolver problemas de fracciones. Para acumular longitudes debían de sumar, y para calcular áreas multiplicar.

Por otra parte, las conversiones de unidades requerían un buen conocimiento de los múltiplos y divisores, junto con las fracciones.

Los problemas de mediciones más precisas, inferiores a una pulgada, realmente ya tuvieron que ser planteados por sectores específicos de la sociedad. Este problema les obligó a dividir la pulgada en puntos, y esta fue una decisión racional, el cuerpo humano como instrumento de medida había quedado relegado. La nueva unidad de medida era el punto y el primer axioma de holomatía racional decía:

1 pulgada = 12 puntos

Este era el nuevo rumbo de la holomatía.

Fin

Día escolar de las matemáticas (12-Mayo-2010)

2010-05-04T10:29:00.000-07:00

Este año está dedicado a la prensa y las matemáTICas. Como homenaje a este día propongo esta actividad lúdica: Usar tres hojas de periódico para construir un triángulo rectángulo como se describe a continuación y demostrar que está bien construido.

Se parte de tres hojas de periódico, la primera se deja abierta, la segunda se dobla por la mitad y la tercera se dobla dos veces por la mitad. En la primera se dobla una esquina haciendo un cuadrado y se marca la diagonal (A), en la segunda doblada se marca simplemente la diagonal del rectángulo que forma (B) y en la tercera doblemente doblada se hace como con la primera, se dobla una esquina haciendo un cuadrado y se marca su diagonal (C). Ahora uniendo las tres diagonales de las tres hojas se tendrá un triángulo rectángulo.(Si desean la solución manden un e-mail)

Educación y ficción. Los holomates (8)

2010-05-04T09:46:00.000-07:00

8) Mayor precisión

En su civilización evolutiva los holomates refinaron aun más su vara debido a que necesitaban mediciones mas pequeñas que el palmo, para una mayor precisión. El dedo pulgar o pulgada fue la solución a sus problemas que también surgió de su cuerpo. La afirmación de esta unidad fue mayor cuando se descubrió su relación con las anteriores unidades, era un divisor de ellas. El tercer teorema de holomatía afirmaba que:

1 paso = 4 palmos = 3 pies = 36 pulgadas

1 cuarta = 9 pulgadas

1 pie = 12 pulgadas

Este resultado les permitió completar su vara con nuevas divisiones.
Esto enriqueció su aritmética con nuevas fracciones. Resultados notables en este sentido fueron:

1 pulgada = 1/36 de vara

1 pulgada = 1/12 de pie

1 pulgada = 1/9 de palmo

sigue...

Educación y ficción. Los holomates (7)

2010-05-02T14:33:00.000-07:00

7) La geoholomática

Paralelamente a todo este proceso resolvieron un problema que les era fundamental, la medición de sus campos.

La figura geométrica más elemental en la que pensaron fue el cuadrado de lado un paso.

Por alguna razón sus campos tenían formas rectangulares, y la forma de plantar en filas les sugirió que aquella figura debía de ser lo más elemental. Un cuadrado de lado un paso era un trozo razonable de perreno donde plantar una planta.

El precedente del concepto de superficie estaba en la necesidad de dar una medida de los campos en función del número de plantas que admitían para cultivar.

Algunas cuestiones que se plantearon fueron:

a) ¿Cuál es la superficie de un cuadrado de lado una cuarta?

La respuesta fue 1/16 del cuadrado de 1 paso de lado.

b) ¿Cuál es la superficie de un cuadrado de lado un pie?

La respuesta fue 1/9 del cuadrado de lado un paso.

sigue...

Educación y ficción. Los holomates (6)

2010-05-01T10:12:00.000-07:00

6) La holomatía

La necesidad de relacionar tres unidades de medida les lleva a los holomates a construir una aritmética, la holomática. Se puede medir en pies, palmos y pasos, pero el problema es convertir unas unidades en otras. Las ecuaciones fundamentales de esta aritmética son:

x pasos = 4x palmos = 3x pies

La holomática es la ciencia de los múltiplos y los divisores, que dan lugar a un nuevo conjunto de números, las fracciones:

1 pie = 1/3 vara

1 palmo =1/4 vara

sigue...

Educación y ficción. Los holomates (5)

2010-04-30T08:08:00.000-07:00

5) Un patrón de medida

Algún cacique holomate debía de desear que sus dimensiones le sucedieran, o lo que es más lógico, los holomates no podían repartirse a su cacique para efectuar mediciones oficiales, lo que les llevó a fijar el paso, el pie y la cuarta en un instrumento. Tan a mano estaban las varas que lo más natural era medir el paso con una vara; marcaron las muescas de los tres pies y de las cuatro manos, y surgió el primer patrón de la historia de los holomates, la vara.

Los holomates liberan así al cuerpo humano de ser instrumento de medida y construyen su primer instrumento científico.

sigue...

Educación y ficción. Los holomates (4)

2010-04-29T14:07:00.000-07:00

4) Medir

El trabajo agrícola hizo que surgieran nuevos oficios artesanales debido a que se necesitaban aperos de labranza.

Las mediciones también se necesitaban en la construcción de utensilios y no parecía muy adecuado hacerlas con los pies. El cuerpo, una vez más, tenía la solución, utilizar la palma de la mano con la mano extendida, como nueva unidad de medida: el palmo.

Por desgracia el palmo y el pie no coincidían; ¿esto suponía tener unidades diferentes para un mismo hecho, medir? Comparando las tres unidades, el palmo, el pie y el paso, se descubrió el segundo teorema de holomatía:

1 paso = 4 palmos =3 pies

El tamaño del palmo era divisor natural del tamaño del paso.

Incluso se reflejó este hecho lingüísticamente que pasó a llamarse al palmo, cuarta.

sigue...

Educación y ficción. Los holomates (3)

2010-04-28T07:40:00.000-07:00

3) El poder también contribuye

A estas alturas de la historia, se puede decir que los nuevos problemas de la humanidad serían resueltos por los holomates u objeto de sus estudios cotidianos.

El aumento de la actividad comercial, popularizó las nuevas unidades de medida, aunque trajo conflictos de los llamados de precisión.

Los caciques de los holomates pronto se dieron cuenta de lo conveniente de normalizar las unidades de medida como las suyas propias. El paso y pie oficiales serían los del jefe, y cualquier disputa había de ser dirimida por sus dimensiones.

Un hecho que podía reforzar esta decisión podía ser organizar la medición oficial de la distancia entre las dos poblaciones más importantes del lugar. Incluso se llegarían a establecer las distancias entre las diversas poblaciones, haciendo que surgiese una nueva unidad para simplificar grandes distancias, un múltiplo del paso, la legua.

1 legua=5000 pasos

Es posible que se fijase ese múltiplo a través de algún dato del cuerpo humano.

sigue...

Educación y ficción. Los holomates (2)

2010-04-27T13:46:00.000-07:00

2) Distancias más cortas

La necesidad de hacer mediciones más cortas que el paso les planteó un nuevo problema. En su cuerpo encontraron otra vez la solución. Algunos empezaron a relacionar el paso con el tamaño de los pies, y encontraron una relación natural entre los mismos, el primer teorema de holomatía: 1 paso=3 pies.

La demostración la daba la propia Naturaleza, y su descubrimiento se hizo por sentido común. El tamaño del pie era un divisor natural del tamaño del paso.

A partir de aquí se podían controlar los pasos haciendo mediciones, algo más lentas, con los pies. Por otra parte, las distancias cortas se daban en pies.

La gran mayoría de los holomates adultos poseían un tamaño de pie bastante homogéneo, lo cual hacía más aceptable la nueva unidad.

sigue...

Educación y ficción. Los holomates (1)

2010-04-27T13:39:00.000-07:00

Los Holomates (Cuento de ficción para introducir al estudio de la Ciencia)

1) En un principio

Los holomates siempre tuvieron fama entre sus vecinos, a lo largo de la historia, de tener sentido común para resolver problemas.

Desde que el hombre fue pastor se enfrentó a la necesidad de contar sus rebaños, no había que perder animales por los campos. Los holomates fueron de los primeros en desarrollar un sistema de numeración, basado en los dedos de las manos y ayudados por muescas en palos.

Cuando los hombres se establecieron en asentamientos agrícolas pronto empezaron a surgir nuevos problemas relacionados con las mediciones de los campos. Los holomates tampoco escaparon a esta necesidad. Su primer planteamiento fue determinar lo que hoy llamaríamos distancia entre dos puntos de un terreno. Su experiencia en la numeración y el acierto en utilizar su propio cuerpo entonces, como patrón de medida, les llevó a asociar ambas cosas para resolver este problema, de una forma tan natural como era medir dicha distancia contando los pasos en línea recta entre ambos puntos.

Adquirieron una cierta regularidad en su forma de caminar para medir, con el mismo tamaño de paso, y esto reforzó su confianza en la nueva unidad de medida: el paso.

sigue...

Una demostración con ayuda del movimiento

2010-04-25T09:27:00.000-07:00

Una de las fórmulas habituales en geometría es la de la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n-lados:

S_n= 180º(n-2)

Para el triángulo, n=3, S3=180º(3-2)=180º
Para el cuadrilátero, n=4, S4=180º(4-2)=360º
Para el pentágono, n=5, S5=180º(5-2)=540º
..................................................................

Para polígonos regulares se puede utilizar para calcular el valor del ángulo interior.

Para el triángulo equilátero, a=180º/3=60º
Para el cuadrado, a=360º/4=90º
Para el pentágono regular, a=540º/5=108º
...................................................................

Pero, ¿cómo se puede deducir esta fórmula? Pues con ayuda de una flecha que vaya recorriendo los lados del polígono. Veámoslo con ayuda de un hexágono:
La flecha viaja a lo largo del perímetro de hexágono, cuando llega a los vértices tiene que dar un pequeño giro de 180º-αi para continuar a lo largo del lado siguiente, siendo αi el ángulo interior correspondiente al vértice. Al dar una vuelta completa sobre el perímetro, la flecha gira sobre sí misma 360º. Con lo que: 360º=n(180º-αi), de donde n·αi=n·180º-360º, n·αi=180º(n-2), y como n·αi=Sn, queda demostrada la fórmula.

¿Cómo ordenar números con un árbol binario?

2010-04-21T13:34:00.000-07:00

Supongamos que tenemos una lista de números naturales desordenados y los tenemos que ordenar. ¿Cómo hacerlo de forma práctica? Pues hay muchas formas aunque parezca extraño. Vamos a ver una forma usual, como lo hace un ordenador, la ordenación binaria.
Supongamos que tenemos la lista siguiente: {23,43,25,24,33,42,22,41,44,56,12,10}
Vamos tomando los números según están en la lista. Empieza el 23, a continuación se toma el 43 y se compara con el 23. Como es mayor se pone a su derecha--->{23,43}. A continuación viene el 25, se compara con el 23 y debe de ir a su derecha, ahí está el 43, como 25 es menor que 43 debe de estar a su izquierda, y la lista que se va ordenando queda --->{23,25,43}. Procedemos así con cada nuevo número, se compara con el primero, si es menor se pone a la izquierda, si es mayor se mira el siguiente de la derecha y se vuelve a comparar, si es menor se queda a la izquierda y si es mayor se pasa a comparar con el siguiente de la derecha, y así sucesivamente. Si no hay más números a la derecha se deja el número de último.

23--->{23}
43--->{23,43}
25--->{23,25,43}
24--->{23,24,25,43}
33--->{23,24,25,33,43}
42--->{23,24,25,33,42,43}
22--->{22,23,24,25,33,42,43}
41--->{22,23,24,25,33,41,42,43}
44--->{22,23,24,25,33,41,42,43,44}
56--->{22,23,24,25,33,41,42,43,44,56}
12--->{12,22,23,24,25,33,41,42,43,44,56}
10--->{10,12,22,23,24,25,33,41,42,43,44,56}

¿Cuántas comparaciones se han hecho? 0+1+2+2+4+5+1+6+8+9+1+1=40

Ordenar números

2010-04-18T14:36:00.000-07:00

Representamos los naturales sobre la recta empezando en el 0 y poniendo hacia la derecha el 1, luego el 2, luego el 3, etc, todos a una distancia fija que consideramos que representa la unidad.

Si hay que ordenar un grupo de naturales debemos de considerar que los menores son los que se sitúan en la recta a la izquierda y los mayores a la derecha, así podemos escribir: 5<10<13<24

Los enteros negativos se ponen en la recta de la misma forma pero hacia la izquierda, de forma equidistante, el -1 es simétrico del 1, el -2 del 2, etc.

Si hay que ordenar enteros los menores están a la izquierda en la recta y los mayores a la derecha, así: -12<-8<-5<5<12<67

Las fracciones propias positivas se sitúan en el intervalo [0,1] dividiendo este en tantas partes iguales como indica el denominador y eligiendo tantos tramos como indica el numerador.

Así se tiene que 1/6<2/6<3/6<4/6<5/6, o bien simplificando, 1/6<1/3<1/2<2/3<5/6. Esto indica que es preciso reducir las fracciones a común denominador antes de ordenarlas. Por ejemplo, si tenemos 1/4 y 2/5, podemos amplificarlas de forma que tengan denominador común, 1/4=5/20 y 2/5=8/20, entonces como 5/20<8/20 se obtiene que 1/4<2/5.

Las fracciones negativas se sitúan en simétrico hacia la izquierda como se hace con las positivas.
Las fracciones impropias hay que convertirlas en forma mixta dividiendo numerador entre denominador.

Por ejemplo, 7/5, al hacer la división da de cociente 1 y de resto 2, 7=5·1+2, entonces dividiendo por 5 tenemos, 7/5=(5·1)/5+2/5=1+2/5. Se representa en el intervalo [1,2], dividiendo este en 5 partes iguales y cogiendo 2 de izquierda a derecha.

Si tenemos 4/3 y 8/5, como son fracciones impropias buscamos la forma mixta, 4/3=1+1/3 y 8/5=1+3/5, ambas fracciones están en el intervalo [1,2]. Comparamos 1/3 y 3/5, que amplificamos para que tengan denominador común, y como 1/3=5/15 y 3/5=9/15, entonces 1/3<3/5, por lo que concluimos que 4/3<8/5.

En el caso de las fracciones 5/2 y 8/5, 5/2=2+1/2 y 8/5=1+3/5, como 5/2 está dentro del intervalo [2,3] y 8/5 dentro del intervalo [1,2], entonces 8/5<5/2. Nótese que en este caso el producto cruzado mantiene la relación "menor que": 16<25.

Las fracciones se pueden convertir en expresiones decimales exactas, periódicas puras o mixtas. Entonces también se pueden ordenar junto con los irracionales con su expresión decimal. En ese caso para ordenar los números en notación decimal se ordenan en primer lugar según su parte entera y si esta es coincidente se ordenan según la parte decimal. Si hay que ordenar según la parte decimal se comparan las décimas, si coinciden entonces se comparan las centésimas, si coinciden, las milésimas, y así sucesivamente.

Así, 3'456<6'333...<6'454647...6'454850...<7

La razón de proporcionalidad

2010-04-14T08:52:00.000-07:00

En una granja con 30 gallinas se producen 150 huevos a la semana. ¿Qué podemos esperar en cuanto a la producción si el número de gallinas es de 50?
Lo que produce una gallina no debe de depender del número de gallinas. Si mantenemos la alimentación por gallina constante el animal debe de poner lo mismo. Este es el fundamento de proporcionalidad directa, el número de huevos por gallina permanece constante, lo que se llama la razón de proporcionalidad.
Según este razonamiento, si 30 gallinas ponen 150 huevos a la semana, entonces, una gallina pone 150/30=5 huevos por semana. Ahora, si tenemos 50 gallinas esperamos que pongan, a ese ritmo cada una, en total, 50·5=250 huevos.

¿Cómo evolucionan los números?

2010-04-03T09:39:00.000-07:00

Los números nacen, en algún momento aparecen para superar una necesidad, o como algo extraño, y siguen viviendo entre nosotros. El caso más conocido es el de raíz de 2, que cuando los pitagóricos descubren que la diagonal del cuadrado de lado unidad no es racional se produce un pequeño colapso. Es un número que durante mucho tiempo permanece oculto para no contradecir la armonía del universo supuestamente regida por los números racionales. Veamos cómo es que raíz de 2 no es un número racional usando una razonamiento por reducción al absurdo:

Si raíz(2)=p/q, suponiendo que p y q no tienen ningún factor común porque hemos simplificado la fracción, elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad tendríamos que 2=(p/q)²=p²/q². Esto significa que el 2 es un divisor de p, entonces p=2r. Sustituyendo en la igualdad anterior, 2=(4r²)/q², y simplificando dividiendo por 2, 1=(2r²)/q². O sea, q²=2r², y de aquí concluimos que 2 es también divisor de q. Pero esto no puede ser porque habíamos supuesto que p y q no tenían ningún factor común. Lo que ocurre es que la suposición inicial de que raíz de 2 era igual a una fracción no es posible hacerla.

Pero es otra raíz la que posteriormente da lugar a otro nuevo nacimiento, la raiz(-1), número al que Euler llamó la unidad imaginaria i.

El problema estaba en que raíz(-1)=i no podía ser un número real, ya que el resultado de una raíz cuadrada debe de cumplir que al elevarlo al cuadrado dé el radicando, i²=-1, y, como no hay ningún número real que al elevarlo al cuadrado de negativo, i tenía que ser un nuevo número.

Si raíz(2) es el comienzo de los números irracionales, en este caso, con i surgen todos los números complejos. En lenguaje de ecuaciones podíamos decir que dos ecuaciones son las matrices de gestación de una gran parte de los números: x²-2=0 y x²+1=0

¿Para qué sirven los números?

2010-04-03T02:40:00.000-07:00

Los números forman parte de nuestra vida y los utilizamos en multitud de ocasiones. Por ejemplo:
-Para contar: Enero tiene 31 días. Este pendrive tiene 3 Gigas de capacidad. Traje 3 botellas de refresco.
-Para numerar: El día 12 de Enero. Fernando Alonso quedó 4º en los entrenamientos. Tengo el número 126 en la cola de la charcutería.
-Para medir: Son las 12h 30m. Vivo a 2'3 Kilómetros de donde trabajo. Hace 30º de temperatura.
-Para calcular: Las rebajas de este verano son de un 35%. El banco da un 1'2% de interés.
-Para explicar un mundo en movimiento: La velocidad del coche es de 38 Km/h. Mi corazón late en descanso unos 75 latidos por minuto.

¿De dónde salen los números?

2010-04-02T14:55:00.000-07:00

Los números surgen de la necesidad de numerar y contar. Los antiguos pastores y agricultores por el Oriente Medio hacían muescas en los palos y tablillas de barro para contar el ganado o las dimensiones de sus campos. Poniendo rayas consecutivamente surgieron los primeros números, |, ||, |||, ... y la necesidad de abreviar notaciones dieron lugar a los numerales actuales, los llamados números arábigos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. El 0 surge muy posteriormente ante la necesidad de representar el vacío. En la actualidad, ante la necesidad de usar máquinas de cómputo, el contar con ayuda de máquinas electromagnéticas queda limitado a lo que es la señal eléctrica o magnética, la presencia o ausencia de electricidad o de campo magnético. Por lo tanto hay que contar en base 2 o un múltiplo de 2, por ejemplo, octal o hexadecimal. Las unidades de memoria mínimas son los bits, y en un bit se puede contar un 0 (ausencia de campo magnético) o un 1 (presencia). Para poder contar más se debe de ampliar el tamaño de la "palabra" de memoria, así se determina éste en 8 bits, dando lugar al byte. Con el byte se puede contar, teniendo en cuenta todas las variaciones con repetición de dos elementos (0,1) en los 8 bits, desde 0 hasta 2⁸=256. Esta posibilidad de contar y numerar da lugar a la codificación ASCII que permite que los primeros ordenadores entiendan los caracteres del alfabeto.

VER ASCII EN WIKIPEDIA

¿Cómo se generan los números?

2010-04-02T10:57:00.000-07:00

El sistema de numeración decimal permite escribir los números con los diez dígitos usuales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Para seguir escribiendo números usamos la posición poniendo en secuencia detrás de lo que tenemos todos los demás dígitos. Así, después del 9 viene el 10, después el 11, después el 12, después el 13 y así hasta el 19. Acabado el 1 se toma el 2 y se le añaden los diez dígitos. Se obtienen el 20, el 21, el 22,..., hasta el 29. Se sigue así indefinidamente. ¿Qué pasa si limitamos los numerales? Pongamos por caso que sólo disponemos del 0 y del 1. Vamos a escribir la serie de números que podemos escribir:
0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1110, 1111,.....
Si comparamos este sistema de numeración binario con el decimal tendremos la equivalencia entre ambos:
0-->0
1-->1
2-->10
3-->11
4-->100
5-->101
6-->110
7-->111
8-->1000
9-->1001
10-->1010
11-->1011
12-->1110
13-->1111
..................

¿De qué forma se escriben los números?

2010-04-01T07:35:00.000-07:00

Vamos a dividir por 2 todas la veces que se pueda el número 123. En cada división elegimos el cociente y lo volvemos a dividir por 2 hasta que no podamos hacer más esta operación.
123=2·61+1
61=2·30+1
30=2·15+0
15=2·7+1
7=2·3+1
3=2·1+1
Pongamos todo el proceso en conjunto y simplifiquemos los paréntesis dejando las operaciones indicadas como potencias:
123=
2·61+1=
2(2·30+1)+1=
2(2(2·15+0)+1)+1=
2(2(2(2·7+1)+0)+1)+1=
2(2(2(2(2·3+1)+1)+0)+1)+1=
2(2(2(2(2(2·1+1)+1)+1)+0)+1)+1=
2(2(2(2(2²·1+2·1+1)+1)+0)+1)+1=
2(2(2(2³·1+2²·1+2·1+1)+0)+1)+1=
2(2(2⁴·1+2³·1+2²·1+2·1+0)+1)+1=
2(2⁵·1+2⁴·1+2³·1+2²·1+2·0+1)+1=
2⁶·1+2⁵·1+2⁴·1+2³·1+2²·0+2·1+1=1111011₂
Podemos obviar las potencias de 2 porque son consecutivas y siempre las podemos incorporar porque están implícitas en la posición de cada dígito. Lo que obtenemos es la notación binaria del número 123

¿Cómo se obtiene el resultado de una operación numérica?

2010-03-30T09:39:00.000-07:00

Dividir un número D entre otro d es averiguar cuantas veces podemos restar d de D. Los ingleses empiezan dividen a groso modo, más fielmente a la definición, y los españoles empiezan más ajustadamente pero enmascarando más la definición. Veamos un ejemplo:
Dividir 345 entre 53.
Según los ingleses, podemos ir quitando los grupos de 53 que queramos, por ejemplo 4 grupos de 53, 4·53=212, entonces quedan, 345-212=133. Podemos quitar a este resto dos grupos de 53, 2·53=106, entonces quedan, 133-106=27. Aquí ya no podemos quitar 53 a 27, queda de resto final 27 y los grupos de 53 quitados son, 4+2=6, que representa el cociente. Lo mejor es quitar los 6 grupos de 53 desde el principio porque ahorra restas.
Según los españoles, para dividir 345 entre 53, el 3 no cabe en 5 así que cogemos dos cifras, 34, 34 entre 5 cabe a 6. Multiplicamos 6 por 3, da 18, al 25 van 7, llevamos 2, y 6 por 5 da 30, más 2, 32, 34 menos 32 da 2, el resto es por tanto 27 y el cociente 6. Es el método pero para enseñar a dividir se debería empezar por lo anterior.

Tablas de apoyo

2010-03-28T13:49:00.000-07:00

El triángulo de Pascal o de Tartaglia es un ejemplo de una tabla que puede ser práctica para obtener los números combinatorios.
----------------------------------------
01--01--01--01--01--01--01.....
01--02--03--04--05--06.....
01--03--06--10--15.....
01--04--10--20....
01--05--15....
01--06....
01....
----------------------------------------
Hay que verlo como un triángulo "ladeado" y fijarse que las diagonales son simétricas.
Los lados superiores del triángulo son todos unos (fila uno y columna uno) y para construirlo hay que sumar dos números consecutivos de la diagonal para obtener el número intermedio entre esos dos números de la diagonal siguiente. En la tabla se observa que el 6 y el 4 sumados dan el 10.
Cada diagonal coincide con la serie de números combinatorios, así por ejemplo, en la diagonal 5ª están:
C_5,0=1; C_5,1=5; C_5,2=10; C_5,3=10; C_5,4=5; C_5,5=1

La demostración de que es así está en las siguientes propiedades de los números combinatorios: C_n,0=1; C_n,n=1; C_n,r+C_n,r+1=C_n+1,r+1

Matemática mental versus álgebra

2010-03-21T14:22:00.000-07:00

Si decimos que el dinero que tiene Juan más 12 euros suman 20 euros, es fácil hacer el computo mental del dinero que tiene Juan, no hay más que restar 12 euros a los 20 y obtenemos 8.
Si x es la cantidad de Juan, x+12 es la suma del dinero de Juan más 12 euros. Si decimos que en total son 20 euros, entonces tenemos, x+12=20. Debemos de quitar 12 euros a los 20, en ambos lados de la ecuación, entonces tenemos, x=20-12, es decir, x=8.

Si el doble del dinero de Pepe más 7 euros hacen 25 euros, mentalmente podemos sacar el dinero que tiene Pepe. Quitamos los 7 euros a 25, 25-7 es 18, entonces el doble del dinero de Pepe es 18. Entonces el dinero de Pepe es la mitad de 18, 18/2, o sea, 9 euros.
Si x es el dinero que tiene Pepe, el doble es 2x, y el doble más 7 es 2x+7. Como hacen 25 euros en total tendremos, 2x+7=25. Sacamos los siete euros en ambas partes de la igualdad, 2x=25-7, o sea, 2x=18. Ahora, dividimos a la mitad para obtener x, x=18/2, entonces, x=9 euros.

Si María paga 3 refrescos con un billete de 20 euros y le devuelven 14 euros, mentalmente podemos averiguar cuanto cuesta cada refresco. Empezamos por descontar de los 20 euros los 14 que le devolvieron, eso significa que le costaron 6 euros, ahora como son 3 refrescos debemos dividir los 6 entre 3, dando como resultado 2 euros por refresco.
Si x es el precio de cada refresco, cuestan 3x, si paga con 20 euros y le devuelven 14, se tiene que 20-3x=14. descontamos lo 14 euros en ambos lados, 20-14-3x=0, 6-3x=0, o sea, 3x=6, y de aquí, dividiendo por 3, x=6/3=2 euros por refresco.

Generalizar

2010-03-11T09:38:00.000-08:00

Empezamos por los números de uno en uno (el 1, el -3), pasamos a los pares de números (el (2,3), el (-3,5)), luego a los triples (el (-2,3,0), el (-3,2,-1)), ... , luego a las matrices (las cajas de números en filas y columnas) y de ahí... a los tensores. Todo un proceso de generalización.

Los números de uno en uno sirven para magnitudes escalares como la temperatura, la altura o la amplitud de un ángulo. Por ejemplo: 23º C, 120 m, 23'5 kg ó 90º sexagesimales.
Los pares de números sirven para magnitudes vectoriales (en 2D). Por ejemplo: estar en la posición 30º Este, 24º Norte; empujar un carro con una fuerza de 12 N y un ángulo de 45º con la vertical.
Los triples numéricos sirven para magnitudes vectoriales (en 3D). Por ejemplo: un globo aerostático se encuentra en la posición 35º Este, 88º Norte, a una altura de 245 m; un gas ideal ocupa un volumen de 20 l, tiene una presión de 4'5 at y está a una temperatura de 35º C.
Las matrices sirven para manejar conjuntos de datos bidimensionales. Por ejemplo:la intensidad de los campos electromagnéticos de los electrodomésticos mas usuales según la distancia.

El proceso inverso

2010-03-08T14:17:00.000-08:00

En Matemáticas se suele tener en cuenta si un proceso determinado tiene su inverso o no (la vuelta atrás). Veamos algunos ejemplos:
1) Dados dos números, 3 y 5, podemos calcular su suma: 3+5=8. Ahora dado el resultado, 8, y uno de los sumandos, por ejemplo el 3, podemos calcular el otro: 8-3=5.
2) Dada una fracción, por ejemplo 3/5, podemos calcular su expresión decimal, 0.6. Ahora, dada la expresión decimal, 0.6, podemos calcular la fracción generatriz de la que proviene: 0.6=6/10=3/5.
3) Dada una base, 3, y un exponente, 2, podemos calcular la potencia, 3²=9. Ahora, dada la potencia y la base podemos calcular el exponente: 2=log₃9. O bien, dado el resultado, 9, y el exponente, 2, podemos calcular la base: 3=sqrt(9).
4) Dada una expresión combinada de operaciones con números, 2·5-6·4, podemos obtener el resultado final, -14. Ahora, dada la expresión final, -14, podemos averiguar uno de los números implicados en la expresión suponiendo que lo hubiésemos perdido, 2x-6·4=-14, resolviendo la ecuación.

Aplicando matemáticas

2010-03-07T02:05:00.000-08:00

Calcular el coste del trayecto de un taxi.
Supongamos que en una determinada ciudad la bajada de bandera del taxi cuesta 2 euros y que el precio por Km recorrido es de 0.7 euros. Lo que cuesta la carrera según los Kms del trayecto es una progresión aritmética en la que n es el número de kilómetros, el primer término es 2 y la diferencia 0.7.

a1=2.7
d=0.7
a_n=2.7+(n-1)·0.7=0.7·n+2

(nº Kms, euros): (1, 2.7), (2, 3.4), (3, 4.1), (4, 4.8),....

Si un taxi recorre entre 3 y 4 kilómetros, el precio estaría entre a₃ y a₄, esto es, entre 4.1 y 4.8 euros.

Hay páginas web que se dedican a calcular el coste de trayectos en diversas ciudades. Hay que dar el origen y el final, a partir de ahí la página averigua el precio con el número aproximado de kilómetros del recorrido. Muestran además el coste de bajada de bandera y las taxas que hay que pagar en aeropuertos. En cómputos relacionados con el tiempo de viaje se calcula el posible retraso en el trayecto.
WORLD TAXIMETER

Lo que rodea a la tarea

2010-03-06T01:34:00.000-08:00

Muchos conceptos generan a su alrededor una serie de tareas que es necesario saber resolver. Por ejemplo, en el caso de las progresiones aritméticas hay que saber hacer entre otras cosas:
1) Determinar el primer término y la diferencia a partir de una sucesión.
2) Calcular los n primeros términos a partir del primero y la diferencia.
3) Calcular el término general a partir del primero y la diferencia.
4) Calcular cualquier término y la diferencia a partir del término general.
5) Calcular la suma de los n primeros términos de la progresión.
6) Interpolar varios términos entre dos dados para que formen progresión aritmética.
7) Aplicar estos conocimientos en ejemplos.

Historia de las espirales

2010-03-02T08:41:00.000-08:00

ARQUÍMEDES (287 a.C-21 2 a.C)
Nació y murió en Siracusa. Fué sin duda el mayor matemático y físico de la antigüedad. Arquímedes, aristócrata en cuerpo y alma, era hijo del astrónomo Feidias.

Define la espiral con el movimiento: Es la curva que describe un punto que se mueve con velocidad constante que se mueve, a su vez, girando con velocidad constante.

La distancia entre dos espiras consecutivas siempre es la misma.

Es la espiral más sencilla que se puede construir y por ese motivo aparece en muchas obras de arte.

Evolución de la espiral

2010-03-01T11:13:00.001-08:00

En un sistema de coordenadas polares, como se ve en la figura, la espiral se desarrolla de acuerdo con dos progresiones aritméticas: El ángulo sigue la sucesión de los naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...., y la distancia al centro evoluciona con una progresión aritmética de primer término 1 y diferencia 2, es decir con la sucesión: 1, 3, 5, 7, 9, 10,.... Curiosamente estos valores corresponden a una recta en un sistema de coordenadas cartesianas.
a_i=a_i-1+1; a₀=1
b_i=b_i-₁+2; b₀=1

Construyendo una espiral

2010-02-28T10:02:00.000-08:00

Con ayuda de triángulos semejantes (ángulos iguales) se puede construir una espiral. Se empieza por un triángulo cualquiera y se va pegando sobre uno de los lados (siempre en el mismo orden coincidiendo la longitud) un triángulo semejante, como se indica en la figura:

Generando una espiral

2010-02-27T12:11:00.000-08:00

Supongamos que tenemos una plataforma circular que se mueve girando, con una determinada velocidad, sobre un punto fijo o centro. Una persona se mueve en línea recta -- visto desde la plataforma--, con otra determinada velocidad, desde el centro hasta un punto del borde de la plataforma. Para un observador que está fuera de la plataforma el trayecto que sigue la persona no es en línea recta, es en espiral. Es la composición de dos movimientos: el circular y el rectilíneo.

Supongamos que r(t) es la distancia al centro y α(t) el angulo girado en el instante t. Las coordenadas cartesianas serán:
x(t)=r(t)*cos(α(t))
y(t)=r(t)*sen(α(t))

Ejemplos de espirales con Maxima:
Para r(t)=a·t y α(t)=b·t

Para r(t)=a·t² y α(t)=b·t

Espiral

2010-02-25T03:53:00.001-08:00

La espiral la encontramos en la Naturaleza en multitud de ocasiones aunque las formas más populares están en las conchas y caparazones calcáreos de los moluscos. Pero también la vemos en las borrascas, por efecto de las fuerzas (entre ellas la de Coriolis), o en galaxias lejanas. ¿Por qué la predilección de la Naturaleza por esta forma?

Foto realizada por Erik Dávila Jiménez

Volumen del cilindro

2010-02-24T09:56:00.001-08:00

Foto sacada en una excursión con alumnos en busca de fotografías matemáticas. Es un tronco de árbol hueco visto desde dentro hacia arriba. Un tronco tiene básicamente la forma de un cilindro, su volumen viene dado por la fórmula: V=π*r²*h; siendo r, el radio del círculo y h, la altura. Pero, ¿de dónde viene esta fórmula?

(Para alumnos de bachillerato)
Supongamos que un árbol tiene un tronco cilíndrico perfecto y que cada año crece su volumen de forma perfecta añadiendo una capa más a su grosor, como vemos que ocurre en los anillos concéntricos cuando cortamos su tronco.
Cada nueva capa la podemos imaginar estirada y tendremos una hoja de altura Δx, de ancho 2π*x, y de largo h. El volumen de esa capa que contribuye al volumen total es: 2π*x*h*Δx. El volumen final será la suma de todas esas capas que se forman año tras año: V=∑ 2π*x*h*Δx.
Si consideramos que Δx-->0, que las capas son muy finas porque las contabilizamos segundo a segundo, el sumatorio se convierte en la integral definida entre 0 y r. Como ∫2π*x*h*dx=π*x²*h+C, entonces V=π*r²*h

Un modelo matemático

2010-02-19T04:19:00.000-08:00

En una granja de animales la población se incrementa un 20% cada mes. Si se parte de 100 animales y se quiere duplicar la población en 1 año, ¿cuántos animales como máximo se pueden vender cada mes?

Podemos contar los meses con los índices y la población de cada mes, con el incremento acumulado, la calculamos multiplicando por 1'2 la población del mes anterior. Llamamos x_i a la población que hay en el mes i y n al número de animales que podemos vender cada mes, entonces, el modelo a seguir es:

a) x₀=100
b) x_i+1=1'2·x_i-n
c) x₁₂>200

solución n=17

programa de Maxima que lo resuelve:
x:100;
lista:[[0,x]];
n:17;
for i:1 thru 12 do(x:x*1.2-n,lista:endcons([i,x],lista));
lista;

[[0,100],[1,103.0],[2,106.6],[3,110.92],[4,116.104],[5,122.3248],[6,129.78976],[7
,138.747712],[8,149.4972544],[9,162.3967052799999],[10,177.8760463359999],[11,
196.4512556031999],[12,218.7415067238399]]

wxplot2d([discrete,lista])$

El infinito aleph0

2010-02-17T06:49:00.000-08:00

El infinito es una herramienta importante a la hora de construir matemáticas.
Los número naturales empiezan en 1 y van aumentando de 1 en 1. ¿Pero, hasta cuando? Pues, hasta el infinito.

Definición axiomática de los números naturales:
a) El primer natural es el 1.
b) Cada número natural se obtiene del anterior (el llamado predecesor) sumándole 1 (obteniendo así el sucesor).

El suces or de 1 es el 2, 2=1+1; el sucesor del 2 es el 3, 3=2+1;... así hasta infinitos números naturales. A este infinito, el cardinal del conjunto de los naturales, se le llama aleph₀.

Podemos tener una imagen de este número si ponemos un espejo paralelo enfrentado a otro.

Los números enteros contienen a los naturales, que coinciden con los enteros positivos, --luego ya habrá infinitos enteros--, pero también hay que tener en cuenta que hay otra parte que son los enteros negativos y el cero. ¿Esto quiere decir que hay más enteros que naturales?

Proposición:
Hay igual número de naturales que de enteros.
Demostración:
Se puede equiparar cada número natural con cada número entero de la siguiente forma: Al 1 natural le asignamos el 0 entero; al 2 natural le asignamos el 1 entero; al 3 natural le asignamos el -1 entero;...
1--->0
2--->1
3--->-1
4--->2
5--->-2
6--->3
7--->-3
............
de esta forma, salvo el 1 que va con el 0, todos los números pares de los naturales se equiparan con los enteros positivos y todos los números impares de los naturales se equiparan con los enteros negativos. Entonces los infinitos números naturales son la misma cantidad que los infinitos números enteros, tienen el mismo cardinal, aleph₀.

EL INFINITO

El azar

2010-02-11T08:41:00.000-08:00

El azar no es otra cosa que la imposibilidad de controlar todos los factores que concurren en un suceso. Así, al lanzar un dado y ver el número que hay en la cara superior no podemos controlar qué va a salir. Si lanzásemos el dado y recorriese exactamente el mismo trayecto en su caída volveríamos a obtener el mismo resultado, pero, como todo el mundo sabe, es prácticamente imposible hacer el mismo recorrido. Lo que si sabemos, es que sólo pueden salir seis resultados: {1,2,3,4,5,6}, lo que se llama el Espacio Muestral, lo cuál nos permite controlar en cierta medida el azar. A cada uno de los posibles resultados se les llama Suceso Elemental.
Se puede medir, lo que se llama, la probabilidad de que salga cada uno de esos seis sucesos elementales. Una forma de hacerlo sería suponer que el dado es ideal, no físico, y que la probabilidad es la misma en cada uno de los seis casos. Si suponemos que la probabilidad es la fracción que representa cada caso en el total, la llamada Regla de Laplace, estaríamos diciendo que la probabilidad de salir cada número es 1/6.
El problema surge cuando no todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad. Si lanzamos una chincheta y observamos si sale con la punta hacia arriba o apoyada, tenemos un espacio muestral con dos sucesos elementales {hacia arriba, apoyada}. No podemos medir fácilmente, apriorísticamente, lo que representa la fracción en cada caso por lo peculiar de la situación. En este caso no queda mas remedio que hacer un ensayo con una chincheta concreta. Si lanzamos la chincheta un número elevado de veces (n) y contabilizamos las veces que caen "hacia arriba" (h) y "apoyada" (a), se observa una cierta constancia en la frecuencia relativa --el número de veces que cae en uno de los sentido entre el número de lanzamientos, h/n y a/n--, y es que ese número tiende a un valor fijo conforme aumenten los lanzamientos. Esta regularidad se conoce como la Ley de los Grandes Números. Esas constantes representan la medida de la probabilidad de cada uno de los sucesos.

Lo cotidiano

2010-02-08T15:02:00.000-08:00

¿En qué medida estamos en contacto con las matemáticas en nuestra vida cotidiana?
Me levanto a las 6:30 para entrar en el trabajo a las 8:00. Desayuno un café con 4 o 5 galletas. Estoy a las 7:20 en la parada de guagua para coger la línea 22. Suelen pasar una 2, una 25, una 81 y luego aparece la 22. El bono de 10 viajes me cuesta 13 euros. Trabajo de 8:00 a 13:00, aproximadamente, en turnos de 55 min. En el descanso de 30 min tomo un café que cuesta 70 cent. El centro de trabajo tiene 4 pisos y suelo estar en el 3º. Tardo unos 30 min en volver a casa, en la 22 o la 21. Si vuelvo en la 21 tengo que caminar aproximadamente 1 km.
Tengo un pendrive de 2 G en el que guardo los trabajos, un móvil con tarjeta de prepago con un saldo de 12 euros aproximadamente y un portátil de 10'' de pantalla, 1024 de RAM y 80 G. En el mercado suelo comprar café que está a 6 o 7 euros el kilo. El pescado está por término medio entorno a los 15 euros el kilo. Juego algunas veces a la lotería pero no tengo muchas esperanzas porque las probabilidades de que me toque son muy bajas. No estoy seguro de cuál es la lotería que me da más probabilidades de acertar. Mi equipo favorito va de 5º y estamos a mitad del campeonato. Me fijo en la bolsa cuando baja observando si la gráfica está en franco descenso. Estos días estoy fijándome en el mapa del tiempo, he aprendido a leer las borrascas y los anticiclones, la dirección y sentido de los vientos y los frentes cálidos y fríos. Ha habido un terremoto entre islas de magnitud 4 que apenas se ha sentido en la de aquí. El epicentro estaba localizado en el mar, lo he visto dibujado en la tele con ondas concéntricas. Son las 11:30 y me tengo que ir a dormir para poder hacerlo con 7 horas al menos.

Casos no permitidos

2010-02-07T14:08:00.000-08:00

Las operaciones matemáticas presenta toda una serie de casos especiales que pueden cerrar el paso o dar lugar a nuevos resultados.

Así por ejemplo, en las fracciones no se permite que el denominador sea 0, aunque sí lo puede ser el numerador. No se permite en las fracciones: 4/0, 5/0, -3/0,.... El caso es que como la fracción es una división no se puede dividir por 0 --¿qué entenderíamos por 4 caramelos repartidos entre 0 niños?.

Caso curioso es el hecho de que 1=0.99999...., porque duplica la notación de todos los números reales. Así 2=1.999999...., 3.45=3.4499999..., ...Aunque está permitida esta duplicidad se obvia evitando la notación decimal con los nueves. Es fácil comprobar que 1=0.99999...., ya que si x=0.99999..., entonces 10x=9.99999..., y restando 10x-x=9x=9, luego, x=1.

En los reales no se permiten radicandos negativos en raíces pares, pero sí se permite si estamos en los números complejos. No se permite en los reales: sqrt(-3), sqrt(-5),....; pero estas expresiones sí tienen sentido en los números complejos porque se define la unidad imaginaria, i=sqrt(-1). Las raíces cuadradas de los números negativos no pueden existir en los reales ya que por definición el resultado tiene que ser un número que elevado al cuadrado dé el radicando, pero un número al cuadrado es positivo y el radicando estamos diciendo que es negativo.

Las potencias de base negativa tienen muchas limitaciones. En ningún caso se permite en los reales base negativa y exponente irracional: (-2)^sqrt(2), (-5)^pi,... Sin embargo se puede calcular (-3)^4/3. Las potencias de exponente fraccionario se pueden calcular siempre que la raíz correspondiente esté permitida. El caso es que las potencias pares de números negativos, son positivas, y las impares, negativas, pero cuando el exponente es irracional no hay manera de saber si es par o impar.

Los logaritmos de números negativos tampoco se pueden calcular. En ningún caso se permite utilizar en los reales argumento negativo: log(-3), ln(-5),... El logaritmo es el exponente al que elevar la base para que nos dé el número del argumento. En este caso no se pueden calcular los logaritmos porque las bases (10 y e) son números positivos y nunca podemos calcular potencias de base positiva que den negativo.

Matemáticas visuales (todo al detalle)

2010-02-01T00:29:00.000-08:00

La calculadora suele funcionar con una precisión de 10 dígitos lo cual implica que los resultados que tienen más de estos dígitos hay que expresarlos en notación científica. Si tenemos que realizar una operación del tipo, 245x1234567890, nos encontramos que en el display aparece 3.024691331x10¹¹. Pero, ¿cuál es el resultado exacto?. Vamos a lograr el objetivo de multiplicar con todas las cifras con la calculadora.
Para realizar las operaciones trabajaremos fragmentando el multiplicando y multiplicamos en cada tramo de forma que podamos ver en el display todas las cifras.

Dividimos en grupos de dos cifras (se pueden coger más cifras siempre y cuando los productos que se hagan quepan en el display):
R=245x1234567890=
245x(12x10⁸+34x10⁶+56x10⁴+78x10²+90)=
245x12x10⁸+245x34x10⁶+245x56x10⁴+245x78x10²+245x90

Cada operación particular se realiza en la calculadora por separado:
245x12=2940
245x34=8330
245x56=13720
245x78=19110
245x90=22050

¿Cómo arreglamos el resultado final? Sumando con la calculadora en columnas.
R=
294 000 000 000+
008 330 000 000+
000 137 200 000+
000 001 911 000+
000 000 022 050=
---------------------
302 469 133 050

Matemáticas generadas (todo está en la idea)

2010-01-24T00:30:00.000-08:00

Etimología: Fracción=rotura
Concepto: Una fracción es la razón entre la parte y el todo.
Si una tarta está dividida en 13 raciones y se comen 5, decimos que se han comido las 5/13 partes de la tarta. Si esas trece raciones se dividiesen a la mitad y se comiese el doble de antes, se habrían comido las 10/26 partes de la tarta, que coinciden con las 5/13 partes. La segunda fracción es la amplificada de la primera y la primera es la simplificada de la segunda.

5/13=10/26

Es cualquier caso es tan importante conocer la parte como el todo. Por eso sumar o restar fracciones no es tan trivial como pretenden algunos, porque tenemos que disponer de un todo común y referenciar cada parte a ese todo común.

Si en un grupo las 2/5 partes son aficionados del equipo A y las 3/8 partes del equipo B, juntos ¿qué fracción suman?. Suponemos que es excluyente ser aficionado de A y B.

Como el todo (denominador) no coincide en ambos casos es que se han simplificado las fracciones, luego debemos amplificarlas. El total en el primer caso tendría que ser un múltiplo de 5 y en el segundo de 8. Un múltiplo común de 5 y 8 es 40, y es el menor múltiplo común. Podemos suponer que es 40 el total para ambos casos; la parte también cambia, ahora hay que amplificar las fracciones para que tengan denominador 40.

2/5=16/40 y 3/8=15/40.

Entonces, respecto a 40, la parte de los aficionados al equipo A son 16 y la parte de los aficionados al B son 15, entonces los dos grupos suman una parte conjuntamente de 31 personas de un total de 40, o sea, son las 31/40 partes del grupo.

2/5+3/8=16/40+15/40=31/40