Horarios y ecuaciones.

• Sofía camina todos los días 3/4 de hora. Si quiere acumular 6 horas, ¿cuántos días tiene que caminar?

Si x es el número de días, 3/4*x=6, 3*x=4*6, 3*x=24, x=24/3=8

• Joel ve la tele todos los días, aproximadamente 2 horas y media cada día, ¿Cuántos días tienen que pasar para que acumule un día entero de ver televisión?

Si x es el número de días, 2'5*x=24, x=24/2'5=9'6

• Gisella tiene que preparar un examen para dentro de 3 días. Si quiere dedicarle 5 horas como mucho, ¿cuánto tiene que estudiar cada día?

Si x es el tiempo diario, 5=3*x, x=5/3=1+2/3=1h 40m

• Eric va a hacer un curso de formación, tiene que hacer 60 horas, 30 no presenciales y el resto presenciales. Los días que tiene que asistir son de 5 horas, ¿cuántos días tiene que estar presente recibiendo el curso?

Si x es el número de días, 60=30+5*x, 60-30=5*x, 30=5*x, x=30/5=6

• Noelia tiene que elegir entre ponerse en la cola A o en la B. En la A hay 30 personas y en la B hay 20. En la A van más rápido, atienden a 2 personas cada 5 minutos y en la B más lentos, 1 persona por cada 5 minutos. ¿En que cola debe ponerse?

Si x es el tiempo que tardan las dos colas en igualarse, 30-(x/5)*2=20-(x/5)*1, 30*5-2*x=20*5-1*x, 150-2*x=100-x, 150-100=2*x-x, x=50 min, quedan 10 personas, luego debe ponerse en la cola A.

El trabajo y el sueldo, y las ecuaciones

• Un trabajador cobra por un trabajo por horas 550 euros. El primer día trabajó 2 horas y media, y el segundo 3 horas. ¿A cuánto le pagan la hora?

Si x es lo que le pagan por hora, 550=(2+1/2+3)*x, 550=(11/2)*x, x=2*550/11, x=100

• Un trabajador cobra por un trabajo 300 euros, le pagan a razón de 20 euros la hora. Trabajó dos días, el primero hizo 8 horas y el segundo no se acuerda. ¿Cuántas horas trabajó el segundo día?

Si x son las horas trabajadas el segundo día, 300=20*8+20*x, 300=160+20*x, 300-160=20*x, 1400=20*x, x=140/20=7

• Un trabajador cobra por su trabajo 500 euros en bruto, pero le entregan 480 euros porque el resto es lo que contribuye al fisco. ¿Qué porcentaje del bruto le aplican para el descuento fiscal?

Si x es el porcentaje, 500=480+500*x, 500-480=500*x, 20=500*x, x=20/500=0'04=4%

• Un trabajador puede elegir entre dos empleos, en el primero le pagan 700 euros al mes y una gratificación de 300 euros en Navidad, y en el otro le pagan 650 euros al mes y una gratificación de 550 euros en Navidad. ¿En qué momento se igualará lo que cobra en una empresa y en la otra?

Si x es el número de meses trabajados, y suponemos que cobra una vez la gratificación, 700*x+300=650*x+550, 700*x-650*x=550-300, 50*x=250, x=5

Los ingresos y gastos, y las ecuaciones

• Tenemos 300 euros y hay que pagar una mensualidad de 12 euros, ¿para cuántos meses da?. 

Si x es el número de meses, 300=12*x, x=300/12=25.

• Tenemos 300 euros y hay que pagar una mensualidad de 12 euros con una fianza de 70 euros, ¿para cuantos meses da?

Si x es el número de meses, 300=12*x+70, 300-70=12*x, 230=12*x, x=288/12=19'17, da para 19 meses.

• Tenemos 300 euros y todos los meses nos van a ingresar de un alquiler 20 euros, ¿cuántos meses tardaremos en juntar 5000 euros?

Si x es el número de meses, 5000=300+20*x, 4700=30*x, x=4700/20=235.

• Tenemos 300 euros y cada mes nos ingresan 30 euros de alquiler, pero por otro lado pagamos un alquiler de 40 euros, ¿cuántos meses se podrá mantener el sistema?

Si x es el número de meses, 300+30*x=40*x, 300=40*x-30*x, 300=10*x, x=300/10=30.

• Tenemos 300 euros, ingresamos un fijo mensual de 50 euros y tenemos un gasto mensual de 40 euros, además, tenemos que hacer un gasto fijo de 1000 euros, ¿en que mes se puede hacer ese gasto fijo?

Si x es el mes en que se puede hacer el gasto, 1000=(300+50*x)-40*x, 1000-300=50*x-40*x, 700=10*x, x=700/10=70.

Ecuaciones: El reino del pensamiento inverso

Si tenemos 100 euros y le añadimos 200 euros, entonces juntamos 100+200=300 euros. Pensemos al revés. Si tenemos 100 euros y queremos sumar una cantidad x para juntar 300 euros, ¿cuánto vale esa cantidad?. En notación algebraica, la ecuación es 10+x=300. La operación que hay que hacer es la inversa de la suma, la resta, x=300-100=200.
Si juntamos durante 5 meses 40 euros todos los meses, al final, tendremos 5·40=200 euros. Al revés, ¿cuantos meses hay que poner 40 euros mensualmente para tener 200 euros? La ecuación es 40x=200, la operación que hay que hacer para despejar x es la inversa de la multiplicación, x=200/40=5 meses.
Supongamos que tenemos 100 euros y durante 5 meses vamos acumulando 40 euros, al final habremos juntado 100+5·40=100+200=300. Si pensamos al revés, partimos de 100 euros y vamos acumulando durante varios meses 40 euros mensuales, ¿cuántos meses hay que acumular para tener al final 300 euros? En lenguaje algebraico, 100+40x=300. Como ya se parte de 100 euros, entonces hay que ahorrar 300-100=200 euros, es la operación inversa de la suma, y la ecuación simplificada es, 40x=200. ¿Qué cantidad hay que multiplicar por 40 para que de 200? Pues es la operación inversa de la multiplicación, x=200/40=5 meses.

Pensamiento matemático: El prime-time

Se lee en un blog: "El Prime-Time es el horario televisivo de máxima audiencia, que se ubica entre las 21:00 y las 00:00 horas, siendo España uno de los países de Europa y del mundo con el prime time más tardío".
No es difícil comprender que detrás de esta frase está un pensamiento matemático. Y no sólo en los números, si uno se fija en lo que significa el Prime-Time, el concepto que se transmite es el de la hora de máxima audiencia de TV.
Cualquier persona puede comprender este concepto sin mucho esfuerzo y es en sí un concepto matemático importante. La cuestión es, ¿hasta que punto se quiere ir en el intento de desentrañar este pensamiento matemático? Si una persona tuviera que explicar qué sentido matemático tiene tendría que hablar de las dos variables que se manejan en la frase: t=el tiempo y S=nº de televidentes. T corresponde al tiempo en que se emite la TV, se puede suponer 24 h. Se supone S>0. Se asume que hay una relación entre t y S, la S "crece" con el tiempo y después "decrece" , alternativamente a lo largo del tiempo de emisión, alcanzando un instante t en el que hay máximo valor de S, que está entre las 21:00 y las 00:00 horas. 
Si se consiguiese establecer una relación funcional entre S y t, S(t), en cada país, se podría intentar encontrar ese instante a partir las técnicas de derivación y comprobar que la afirmación es correcta. 
A las televisiones les interesa esta función porque con ella establecen la tarifación de publicidad.

Una aproximación funcional la da el siguiente problema:

Una cadena local de TV ha determinado, por medio de encuestas, que el porcentaje de ciudadanos que la ven entre las 6 de la tarde y las 12 de la noche viene dado por la función:
s(t) = 660 - 231t + 27t² - t³  
donde t indica las horas transcurridas desde las 12 en punto de la mañana. 
Calcular a qué hora tiene la televisión su máxima audiencia y cuándo tiene su mínima audiencia. 

s'(t)=-231+54t-3t² 
s'(t)=0, t=7, t=11
s''(t)=54-6t
s''(7)=12, mínimo
s''(11)=-12, máximo

¿Cómo se determina la función por medio de encuestas? Pués a través de la inferencia estadística, del estudio de la regresión. Se muestrean una serie de puntos, pares de valores (t, s(t)), obteniéndose así una nube de puntos y a partir de ahí se estudia el tipo de dependencia entre las dos variables y su grado, y la regresión a un modelo de curva, y se halla esa función.