UNIDAD DIDÁCTICA: La recursividad en el recuento

MOTIVACIÓN:
Supongamos que queremos contar cuantas monedas de un euro tenemos en un grupo en fila:

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Esto nos ha pasado alguna vez, por ejemplo cuando recogemos dinero en la escuela para hacer una excursión. Podemos contar en pequeños grupos y juntar los subtotales.
Actividad: Relata situaciones reales en las que hay que hacer recuentos

EXPERIMENTACIÓN:
Podemos ir contando de una en una desde el principio, pero lo que solemos hacer habitualmente, sobre todo para no equivocarnos, es contar no todo el grupo sino subgrupos más pequeños, por ejemplo de cinco en cinco:

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1

En realidad sumamos de cinco en cinco mientras haya subgrupos y añadimos las últimas monedas restantes. Da un total de 33
Actividad: ¿Qué formas de recuento empleas usualmente?

CONCEPTUALIZACIÓN:
Reducimos el problema de contar a un tamaño más pequeño, el caso base es cuando hay menos de cinco monedas que contar y  al final podemos tener el recuento total.
El algoritmo queda así:

Total=0
Cuenta(el grupo que hay)
            si hay monedas suficientes tacha 5
            Total = Total+5
            Cuenta(el grupo que hay-5 tachadas)
                  sino
            Total=Total+ las monedas sobrantes
            fin si
fin Cuenta
Actividad: ¿Cómo ampliarías la estructura si además tienes que hacer el recuento automático del número de subgrupos?
PROCESAMIENTO:
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=0
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=0+5=5
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=5+5=10
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=10+5=15
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=15+5=20
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=20+5=25
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Total=25+5=30
Monedas sobrantes=3
Total=30+3=33
MECANIZACIÓN:
Podemos esperar al final para contar.
Tachamos y cuando llegamos a las monedas sobrantes empezamos a contar
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Ahora contamos el número de subgrupos de cinco que hay, salen 6, y sobran 3, por lo tanto el total de monedas de un euro que tenemos es: 5·6+3=33.

Total=5·número de subgupos de cinco+monedas sobrantes

Puede utilizarse un ábaco o regletas para tal fin si no se puede tachar lo que contamos.
Actividad: ¿Cónoces otras herramientas que se puedan utilizar para hacer un recuento?

CONSOLIDACIÓN:
Ante una nueva situación de recuento los pasos a seguir son:
1º. Elegir de cuanto en cuanto queremos contar. Lo habitual es contar de cinco en cinco, pero según lo que contemos y el tamaño también podemos variar esta cantidad. Si hay que contar 358 unidades podemos agrupar de 10 en 10, o de 20 en 20.
2º. A continuación ver el número que nos va a sobrar en el último paso. Si contamos de 10 en 10 sobraran menos de 10 en el último caso. Incluso se pueden hacer recuentos recursivos de 100 en 100 , pero en este caso hay que tener en cuenta que tengamos una buena técnica para no equivocarse.
3º. Hay contar bien el número de grupos y multiplicar por la cantidad que contamos por grupo. Y finalmente sumar lo que sobra.
Actividad: ¿Qué pasos seguirías si tuvieras que hacer el recuento de un número determinado de puntos del plano?
EVALUACIÓN:
¿En qué casos emplear un recuento recursivo?
Evidentemente si son pocas unidades se cuentan de seguido. A partir de cantidades de más de dos cifras se hace necesario hacerlo de forma recursiva.  También es importante asignar nombre a los subgrupos, por ejemplo lustros para años, docenas para productos alimenticios, .. Tiene que haber un compromiso entre la cantidad de cada subgrupo y el número de subgrupos, puesto que también hay que contar el número de subgrupos.

Actividad: ¿Ha habido distintas formas de contar según las civilizaciones? ¿El sistema de numeración decimal tiene que ver algo con el recuento?

Probabilidad condicionada

En los experimentos aleatorios empezamos por hacer una extracción, por ejemplo sacar una carta de una baraja de 40. Si encadenamos experimentos aleatorios o hacemos extracciones consecutivas estamos ante un experimento compuesto, por ejemplo sacar una segunda carta de la baraja suponiendo que la primera quedó fuera. La probabilidad en las extracciones consecutivas puede quedar condicionada por lo que ocurre con anterioridad, así, por ejemplo, supongamos que extraemos dos cartas sin reemplazamiento, la probabilidad de sacar una figura la segunda vez puede variar según lo que haya salido la primera vez:

• Si la 1ª vez no salió figura, en la 2ª vez la probabilidad es 12/39, ya que hay 12 figuras en las 39 cartas que quedan. Decimos que la probabilidad de salir figura condicionada por haber salido "no figura" es P(figura2ª/no_figura1ª)=12/39=4/13.
• Si la 1ª vez sale figura, en la 2ª extracción la probabilidad de salir figura condicionada por ese hecho es P(figura2ª/figura1ª)=11/39, ya que en la 2ª extracción sólo quedan 11 figuras de 39 cartas.

¿Ahora cómo calculamos la probabilidad encadenada?¿Cuál es la probabilidad de sacar figura1ª y figura2ª? Supongamos que hacemos el experimento encadenado 100 veces. El número de veces que esperamos que ocurra figura1ª es (12/40)·100=30 y en la segunda extracción, de esas 30 ocurrencias que salio figura1ª, esperamos que salga figura2ª (11/39)·30=8.46 veces (aprox.), o sea, el 8.46% de las veces, entonces P(figura1ª y figura2ª)=(12/40)·(11/39), y se cumple que:

P(figura 1ª y figura 2ª)=P(figura 1ª)·P(figura2ª/figura1ª)

Matemáticas en "El buscón"

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Preguntóme si iba a Madrid por línea recta, o si iba por camino circumflejo. Yo, aunque no lo entendí, le dije que circumflejo. Preguntóme cúya era la espada que Ilevaba al lado.

Respondíle que mía, y mirándola, dijo: -"Esos gavilanes habían de ser más largos, para reparar los tajos que se forman sobre el centro de las estocadas". Y empezó a meter una parola tan grande, que me forzó a preguntarle qué materia profesaba. Díjome que él era diestro verdadero, y que lo haría bueno en cualquiera parte. Yo, movido a risa, le dije: -"Pues, en verdad, que por lo que yo vi hacer a v. m. en el campo denantes, que más le tenía por encantador, viendo los círculos". -"Eso" -me dijo- "era que se me ofreció treta por el cuarto círculo con el compás mayor, cautivando la espada para matar sin confesión al contrario, porque no diga quién lo hizo, y estaba poniéndolo en términos de matemática". -"¿Es posible" -le dije yo- "que hay matemática en eso?". -"No solamente matemática" -dijo-, "mas teología, filosofía, música y medicina". -"Esa postrera no lo dudo, pues, se trata de matar en esa arte". -"No os burléis" -me dijo-, "que ahora aprendo yo la limpiadera contra la espada, haciendo los tajos mayores, que comprehenden en sí las aspirales de la espada". -"No entiendo cosa de cuantas me decís, chica ni grande". -"Pues este libro las dice" -me respondió-, "que se llama Grandeza de la espada, y es muy bueno y dice milagros; y, para que lo creáis, en Rejas que dormiremos esta noche, con dos asadores me veréis hacer maravillas. Y no dudéis que cualquiera que leyere en este libro, matará a todos los que quisiere". -"U ese libro enseña a ser pestes a los hombres, u le compuso algún doctor". -"¿Cómo doctor? Bien lo entiende" -me dijo-: "es un gran sabio, y aun, estoy por decir, más"

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Francisco de Quevedo (El buscón) 

Un producto igual a cero implica que algún factor debe de ser cero

Esta ley matemática suele ser difícil de comprender por parte de los alumnos: si un producto es cero algún factor debe de ser cero.

Cuando multiplicamos números en la aritmética y el resultado es cero, necesariamente algunos de los factores debe de ser cero, 4·5·0·8=0. No es posible que de cero si ninguno no lo es. No puede quedar la duda de que haya algunos números "tramposos" que sin ser cero hagan que el producto sea cero.

En ecuaciones polinómicas se suele factorizar el polinomio para utilizar esta ley, x^2-5x+6=0 se convierte en (x-3)(x-2)=0. Ahora razonamos, un producto de dos factores igual a cero implica que alguno de ellos debe de ser cero. Si x-3=0, entonces x=3, y si x-2=0 entonces, x=2, por tanto 2 y 3 son las soluciones. El razonamiento es correcto, sin embargo algunos alumnos no están convencidos y preguntan, si siempre que tengan la factorización deben de igualar a cero cada factor, prefieren afianzar su aprendizaje en una ley garantizada por el profesor.

Expandir y contraer, dos estrategias matemáticas

En muchas ocasiones interesa expandir las expresiones matemáticas, en otras contraerlas. Las reglas permiten hacer este proceso: por ejemplo, la regla del logaritmo del producto dice que, log(x·y) = log(x)+log(y) (esto es válido en cualquier base). Aplicar la regla de izquierda a derecha se puede considerar una expansión, mientras que hacerlo de derecha a izquierda sería una contracción. Pues bien, en determinados casos se aplica la expansión como cuando queremos simplificar cálculos haciendo sumas en lugar de productos, log(2·100) = log(2)+log(100) = 0' 0.301029996+2 = 2' 0.301029996 y el antilogaritmo es en este caso 200 (este caso es trivial pero ejemplifica el que fue uno de los propósitos iniciales de los logaritmos en sus comienzos (Neper)). Otras veces es necesario contraer como ocurre cuando se resuelve una ecuación logarítmica, como es el caso del siguiente ejemplo: log(x+3)+log(5) = log(x), log(5x+15) = log(x), 5x+15 = x, x = 15/4.

Entonces aparte de reglas también existen estrategias matemáticas que sería conveniente definir junto con las reglas, como puede ser la expansión o la contracción de expresiones matemáticas.