De la observación nace la idea

La integral de una función es la operación inversa de la derivación. Mientras que la derivada de una función es única, la integral da infinitos resultados que sólo se diferencian en una constante.

Si tenemos f(x)=sen(x), su derivada es f'(x)=cos(x). La integral de f(x)=cos(x), es F(x)=sen(x)+C

Supongamos que queremos calcular la integral,

Lo primero es observar la expresión del radicando. El denominador tiene una forma que recuerda a algo, si hemos trabajado anteriormente con identidades notables podemos caer en la cuenta que es el cuadrado de la suma: 

Gracias a este hecho reescribimos la integral,

Ahora nos nace la idea de cómo resolver la misma. Tiene estructura de integral potencial compuesta,

¿Cómo integrar una función potencial compuesta? Si tenemos f(x)=(g(x))ⁿ, su derivada es, usando la regla de la cadena, f'(x)=n(g(x))^(n-1)·g'(x). Entonces si tenemos que integrar una expresión que tenga una potencia por la derivada de la función base, por el exponente más uno, el resultado es la potencia incrementada en una unidad.

Ahora sólo tenemos que aplicar la regla de integración de una función potencial compuesta para obtener la solución:

Lo importante es que si no hay experiencia de haber trabajado con las identidades notables, guardada en la memoria a largo plazo, no puede surgir la idea para resolver la integral.

Pasos para resolver un problema algebraico

Un plátano y una manzana cuesta 3 euros, una manzana y una manga cuestan 5 euros y un plátano y una manga cuestan 4 euros. ¿Cuánto cuesta una manzana?

1) Leer el enunciado y comprobar que es un problema que se puede resolver con pensamiento algebraico: Hay datos numéricos y hay que usar letras para poder representar los datos desconocidos, como es el precio del plátano, el de la manzana y el de la manga.

2) Llamar x al valor desconocido que se quiere averiguar (usaremos siempre el menor número posible de letras): el precio de la manzana=x

3) Escribir las expresiones algebraicas en función de la x de todo lo que desconocemos aún: el precio de un plátano=3-x; el precio de una manga=5-x

4) Buscar una igualdad entre los datos conocidos y desconocidos del problema: hay tres igualdades, plátano y manzana cuestan 3 euros, manzana y manga cuestan 5 euros y la que no se ha usado todavía es la de que un plátano y una manga cuestan 4 euros. Relaciona datos conocidos (4 euros) y desconocidos (el precio del plátano y la manga).

5) Construir una ecuación: Entonces queda la igualdad,

(3-x)+(5-x)=4

que constituye la ecuación que se buscaba.

6) Resolver la ecuación para obtener x:

-x-x=4-3-5

-2x=-4

x=2

7) Verificar el resultado:

El precio de una manzana es 2, el de un plátano 3-2=1 y el de la manga 4-2=3. Sumando plátano y manzana dan 3, manzana y manga 5 y, por último, plátano y manga 4. Coinciden con los datos del enunciado