UNIDAD DIDÁCTICA: La coma flotante III (Táctica vs estrategia)

¿Cómo sumar o restar números grandes en notación científica?

Si son del mismo orden sacamos factor común y operamos los coeficientes, arreglando al final para que quede en notación científica en caso de que salga del rango [1,10).

Por ejemplo:

a) 5'78·10^3+6'8·10^3-2'778·10^3=(5'78+6'8-2'778)·10^3=9'802·10^3

b) 5'66·10^5+6'33·10^5=(5'66+6'33)·10^5=11'99·10^5=1'199·10·10^5=1'199·10^6

Si son de distinto orden se pueden pasar a notación ordinaria, se hacen las operaciones y, finalmente, se vuelve a notación científica, o bien transformar para que las potencias de 10 coincidan.

Por ejemplo:

a) 4'778·10^4+5'6·10^5=47780+560000=607780=6'0778·10^5

b) 4'778·10^4+56·10^4=(4'778+56)·10^4==6'0778·10^5

¿Cómo multiplicar o dividir números en notación científica?

Se multiplica o divide la parte coeficiente, se multiplican o dividen las potencias de 10 y se arregla al final para que quede en notación científica.

Por ejemplo:

a) (5'777·10^6)·(3'02·10^4)=5'777·3'02·10^6·10^4=17'44654·10^(6+4)=1'744654·10^11

¿Cuando operamos con números grandes en notación científica cuántos decimales debemos de considerar? 

Cuando se mide algo y se da en notación científica se considera que a partir de determinados dígitos ya no hay precisión suficiente como para seguir obteniendo cifras válidas y entonces se ponen ceros.

Cuando hay distintas medidas en notación científica que sumar o restar se cogen tantos decimales como indique la menor precisión, y la regla a emplear es: "Quedarse con la posición del menor dígito común y redondear"

Por ejemplo:

a) 5'78·10^3+6'8·10^3-2'778·10^3=9'802·10^3 y como el menor dígito común está en las décimas (6'8) el resultado queda 9'8·10^3

b) 4'65·10^3+2'566·10^5=2'6125·10^5 en este caso es la milésima dando 2'613·10^5, ya que si se escribiesen con igual orden (4'65·10^3+25'66·10^3) veríamos que el menor dígito común es el último 6

Para la multiplicación y la división se consideran las cifras significativas que tienen los números, ya que el resultado no va a tener más precisión que los números operados, y la regla es: "Dar el resultado redondeado con tantas cifras significativas como el número que tenga menos cifras significativas"

Por ejemplo:

a) (6'304·10^3)·(8'7·10^6)=5'48448·10^10, y como un número tiene sólo dos cifras significativas queda, 5'5·10^10

b) (4'325·10^4):(3'43·10^2)=126'0932945, y como son tres las cifras significativas queda, 1'26·10^2

UNIDAD DIDÁCTICA: La coma flotante II (Teoría vs práctica)

Escribir un número grande resulta engorroso por la cantidad de cifras que tiene, entonces es necesario utilizar una notación que simplifique la expresión. Sea, por ejemplo, el número 345 349 800 746 387 622, lo primero cuestionar la representatividad de las cifras, por ejemplo,  en un contexto de grandes distancias la escala nos indica que las cifras de la derecha son poco representativas con respecto a las de la izquierda. Si la distancia es en metros los 622 últimos metros son poco significativos con respecto a la cantidad total. Además, una máquina que llegue a esa precisión en la medida es muy improbable, el universo está en continuo movimiento y las distancias son promedios. Entonces podemos decidir aproximar la cantidad sustituyendo cifras de la derecha por ceros. ¿Cuántas cifras sustituir? Se puede tomar un criterio acordado, coger las cuatro cifras significativas de la izquierda: 345 300 000 000 000 000. Ahora eliminamos tantos ceros con potencias de 10, 3453·10^14. Para que quede más preciso el criterio, se decide que el número inicial esté entre 1 y 10, con lo cual queda 3'453·10^3·10^14=3'453·10^17, la notación científica final. La importancia de la potencia de 10 es que la cantidad real es de orden 17, es decir es a groso modo un tres seguido de diecisiete ceros. También podemos decir que es 34 y 16 ceros, ó 345 y 15 ceros, ó 3453 y 14 ceros. Más precisión ya no se necesita.

Vamos a ver los resultados en la práctica:
Consideremos las distancias del Sol a los planetas en Km
Mercurio 57 910 000=5'791·10^7
Venus 108 200 000=1'082·10^8
La Tierra 146 600 000=1'466·10^8
Marte 227 940 000=2'2794·10^8
Júpiter 778 330 000=7'7833·10^8
Saturno 1 429 400 000=1'4294·10^8
Urano 2 870 990 000=2'87099·10^9
Neptuno 4 504 300 000=4'5045·10^9
Plutón 5 913 520 000=5'91352·10^9

Lo primero que se observa es que hay distancias de orden 7, 8 y 9
El número de cifras decimales varía pero las de orden menor tiene menos cifras decimales que las de orden mayor. Como criterio general, cuando se tienen varias cifras deberían de tener un decimal más por cada orden que aumente, así se podría comparar cuánto es mas distante un planeta que otro del Sol. Por ejemplo si restamos la distancia de Júpiter de la de la Tierra, 778 330 000-146 600 000=631 730 000, la distancia de la Tierra al Sol debería de tener una cifra decimal más para ajustar mejor el 3 que está en la 5ª posición.

UNIDAD DIDÁCTICA: La coma flotante I (Método vs razón)

Si queremos poner un número grande en notación científica podemos usar el siguiente método:
23 240 000 000 000
Asumimos que hay una coma decimal detrás del último dígito,
23 240 000 000 000,
y ahora debemos de situar la coma entre el 2 y el 3 iniciales, y por cada lugar que movamos la coma hacia la izquierda incrementamos en 1 la potencia de diez, así,
23 240 000 000, 000·10^3
23 240 0,00 000 000·10^8
2,3 240 000 000 000·10^13
ahora eliminamos los ceros a la derecha
2,324·10^13
y ya tenemos la notación científica del número, con coeficiente 2,324 y de orden 13.

El método queda asentado para poder repetir las cosas sin pensar. Pero, que pasa si nos olvidamos por falta de uso, ¿cómo razonamos para recuperar el método?
Empezamos por acordarnos de que hay un número decimal que debe de estar entre 1 y 10, [1,10), y luego la potencia de 10. Suponiendo que el número es pequeño, por ejemplo 23, no es difícil recordar que
23=2,3·10
la coma se movió un lugar a la izquierda y la potencia de 10 es uno. Ahora, si es uno de tres cifras,
232=2,32·100=2,32·10^2
la coma se mueve dos lugares, la potencia es 2. Para otro más grande de cuatro cifras,
2324=2,324·1000=2,324·10^3
y así sucesivamente, cada cifra nueva que nos movemos a la izquierda es un nuevo múltiplo de 10,
2324000= 2,324·1000000= 2,324·10^6
Entonces podemos reconstruir el método si empezamos razonando con los casos sencillos.