domingo, 13 de octubre de 2013

La derivada de una función, un concepto

Una función es derivable cuando es suave.
¿Cómo podemos caracterizar ésto geometricamente? Pues, es cuando podemos dibujar en todos sus puntos una recta tangente.
¿Cómo podemos caracterizar esto algebraicamente sin ver el dibujo? Pues, es cuando podemos escribir la ecuación de la recta tangente, esto es, disponemos del punto y la pendiente.
Pero, ¿cómo obtenemos la pendiente de la tangente? Pues, usando el hecho de que la tangente es el límite (analíticamente) de las cuerdas que pasan por ese punto fijo y otro punto variable que se acerca al punto fijo.
¿Cuál es la pendiente de la cuerda?:   m=(f(x)-f(a))/(x-a)
Por lo tanto la pendiente de la tangente es el límite de las pendientes de las cuerdas: f'(a)=lim(f(x)-f(a))/(x-a) cuando x->a
Por tanto una función es derivable en un punto cuando existe f'(a), y lo es en un intervalo abierto cuando lo es en todos los puntos.
Evidentemente en los extremos del intervalo no podemos dibujar la recta tangente porque esta queda indefinida, lo mismo que pasaría en un pico de la curva. Analíticamente sólo podríamos hablar de límites laterales y, por tanto, de derivadas laterales.