Ecuaciones e identidades

Una igualdad entre expresiones algebraicas es una relación del tipo A=B, siendo A y B expresiones algebraicas que en principio podemos suponer dependientes de la variable x, A(x) y B(x). Por ejemplo 3x-4=(7x^2+3)/4.

La cuestión es que la igualdad puede ser cierta para todo x, en cuyo caso tenemos una identidad, o para algunos valores de x, en cuyo caso tenemos una ecuación. Pero también puede que no sea cierta para ningún valor de x, en cuyo caso, es una igualdad falsa. Las identidades se usan para definir las propiedades algebraicas fundamentalmente, por ejemplo la distributividad, 3(x+2)=3x+6. Si intentamos resolver una identidad como una ecuación llegamos a la expresión 0=0. En este caso concluiríamos que la posible ecuación tiene infinitas soluciones. Si intentamos resolver una igualdad falsa como una ecuación, por ejemplo 3x+5=3x-8, llegamos a un absurdo numérico, como en el ejemplo anterior nos daría 5=-8. También puede ocurrir que tengamos ecuaciones que no podamos decidir si tiene o no solución, porque no tenemos método para resolverla, o bien, puede ocurrir que en un campo numérico no tengamos solución pero en otro sí, por ejemplo x+3=0, no tiene solución para los naturales pero sí para los enteros.
Para resolver una ecuación A(x)=B(x), lo que haríamos es utilizar identidades que sustituyan ambas partes por expresiones cada vez más simples, A1(x)=B1(x), siendo A(x)=A1(x) y B(x)=B1(x) identidades; y quitarmos finalmente dos expresiones idénticas en ambas partes, A1(x)-A2(x)=B1(x)-B2(x), siendo A2(x)=B2(x) una identidad, de forma que nos quede la igualdad simple x=a.
Por ejemplo:
3(x-4)+7=4(x-2)
Usamos las identidades 3(x-4)=3x-12 y 4(x-2)=4x-8 para sustituir y tenemos,
3x-12=4x-8
Restamos la identidad 3x-8=3x-8 en ambas partes y tenemos,
-4=x, o bien, x=-4