Unidad didáctica: Poner un suelo

Motivación:

Bricolaje Decoración

Una habitación cuadrada de 36 m² se va a recubrir usando losas cuadradas de 1.60 m² cada una (las medidas son aproximativas a escala de centésimas). ¿Cuántas losas se necesitan?

Experimentación:
Empezamos a poner losas:

2 losas: 36-2·1.6=36-3.2=32.8 m²  faltan por cubrir
3 losas: 36-3·1.6=36-4.8=31.2 m²  faltan por cubrir
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10 losas: 36-10·1.6=36-16=20 m²  faltan por cubrir
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20 losas: 36-20·1.6=36-32=4 m²  faltan por cubrir
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23 losas: 36-23·1.6=-0.8 m²  sobran

Conceptualización:
Como la habitación es cuadrada y las losas también los son, formamos grupos de losas que sean cuadrados perfectos:

1 losa (1x1): 36-1.6=34.4 m² faltan por cubrir
4 losas (2x2): 36-1.6·4=36-6.4= 29.6 m²
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16 losas (4x4): 36-1.6·16=36-25.6=10.4 m²
Los 10.4 m² que faltan hay que rellenarlos de otra forma, hay que partir losas.

Procesamiento:
16 losas son un cuadrado de 4x4 losas. La habitación tiene de lado 6 m y cada losa la raíz de 1.6, aproximadamente 1.2 m si hacemos un redondeo inferior (perdiendo unos 0.06 m=6 cm). Entonces, las cuatro losas son 4·1.2=4.8 m, cabe otra losa rebajando un poco, 5·1.2=6. Entonces el total de losas será 16+4+4+1=25. Si hacemos esto añadimos 2 losas más. Si corregimos el redondeo con dos cifras, el lado es 1.25 m, 4·1.25=5 m. Hay que recortar las últimas para hacer 8 cuadrados de 1x1, y con lo que sobra se ahorra una losa si usamos los recortes para hacer la última. Aún así son 24 y el resultado queda poco estético.

Mecanización:
Asumimos que las losas son de 1.25 m de lado, por tanto con cuatro losas por lado son 5 m y falta 1 m para los 6 m. Si partimos las losas grandes en losas cuadradas más pequeñas, pero lo más grandes posible, tienen que tener de lado un divisor de 100 cm y de 125 cm, es el máximo común divisor de ambos números:
mcd(100,125)=25
Las losas grandes se cortan en losas cuadradas de 0.25 m de lado y cada losa da 25 losas cuadradas más pequeñas de 0.0625  m²  . Para rellenar todo el espacio se necesitan 36:0.0625=576, 576:25=23.04 losas, serían por tanto 24 losas. Aunque se podría ajustar para obtener las 23 losas, cabe pensar que no es posible en la práctica obtener precisión de milímetros para hacer cortes.

Consolidación:
Ante el problema de recubrir una habitación cuadrada (de lado L en m) usando losas cuadradas (de lado l en m) de forma que obtengamos un resultado estético, procederemos de la siguiente manera:
1º) Dividir L² entre l², si no es exacta tomar el redondeo superior como primera aproximación del número de losas. Si es exacta, el cociente es el resultado buscado.
2º) Dividir L entre l, tomar el cociente entero, ci=Ent(L/l). El número de losas máximo es ci·ci+2ci+1.
3º) Si es posible dividir en cuadrados más pequeños las losas cuadradas y el recubrimiento es aceptable usando el máximo tamaño posible, calcular en cm el mcd(l , L-ci·l)=d.  Hay que cortar las losas en cuadrados de lado d cm. El número de losas pequeñas que salen de una grande es l²:d²=n, con l en cm
4º) El número final de losas grandes es el redondeo superior de (L²:d²):n, o sea, Ent(L²/l²)+1

Evaluación:
¿En qué casos se debe de dividir la losa en cuadrados y en qué casos es suficiente con rebajar la última fila y columna?
Si hay que dividir la losa en cuadrados más pequeños de lado d, este valor debe de ser suficientemente grande para que no queden losas demasiado pequeñas. Pero si hay que rebajar la última fila y columna debe de quedar suficientemente recortado para que no quede mal.
El número de losas necesarias N siempre cumplirá:

[Ent(L/l)]²<=N<=[Ent(L/l)+1]²

[Ent(L/l)]²<=Ent(L²/l²)+1<=[Ent(L/l)+1]²

Problemas cotidianos - el tráfico

Otra de las fuentes habituales de problemas matemáticos está en el tráfico de las ciudades. Para un ciudadano que está acostumbrado a circular por la ciudad siguiendo una misma ruta, puede encontrarse un día con que el trayecto habitual está cortado, que están realizando un determinado evento que impide pasar por un tramo del trayecto, entonces, ¿cómo buscar un nuevo trayecto óptimo?.

Por ejemplo, consideremos un segmento del plano de la ciudad, con sus direcciones, como el de la figura siguiente:

Si el conductor tiene que ir de A a F y está cortado el tramo BF, ¿qué trayecto debe seguir que le lleve el menor tiempo posible?.

Problemas de la vida cotidiana

¿Qué problemas matemáticos podemos tener en el día a día?

http://motor.terra.es/addon/img/1f2898parking_598p.jpg

Por ejemplo, todos podemos recordar haber escuchado a alguien decir que se había perdido al ir a recoger el coche en el aparcamiento del centro comercial (CC). ¿Podemos usar las matemáticas para encontrar el coche en el aparcamiento?. Normalmente hay dos indicativos, el número de plaza y el color de la plaza. El número podemos olvidarlo y el color también, podemos no habernos fijado suficientemente en él. También tenemos toda una serie de pistas que podrían ayudar, desde un coche próximo que nos llamó la atención hasta un cartel que había cerca y que anunciaba determinado producto. En última instancia tenemos información de por dónde estamos entrando en el aparcamiento y, tal vez, por dónde entramos en el centro comercial desde el garaje.
Supongamos que en un aparcamiento de un CC hay 4 plantas de garaje, cada una con 100 plazas de aparcamiento. La primera es azul (0-99), la segunda en verde (100-199), la tercera roja (200-299) y la cuarta amarilla (300-399). Una persona no sabe dónde dejo su coche, recuerda que el color era azul o verde y que su plaza acababa en 8, ¿qué estrategia debe seguir para buscarlo?

En principio tiene dos plantas donde buscar, la azul y la verde, en total 200 plazas. Dentro de ellas, que terminen en 8 hay 10 para la azul y 10 para la verde, por tanto tiene que buscar como mucho 20 opciones de un total de 200. Es el 10% de las plazas de las dos plantas, que es el 5% de las plazas de todo el garaje. Si durante la búsqueda alguna pista nos reafirma en el color de la planta, optimizamos la búsqueda buscando en una sola planta, reduciendo así las opciones a buscar en el 2'5% del total de plazas del aparcamiento. Si otra pista nos permite dividir la planta en dos mitades y buscar solo en una de ellas, pasaríamos al 1'25%, y así sucesivamente hasta llegar al 0%. Es la estrategia de dividir y vencer.