martes, 17 de julio de 2012

Unidad Didáctica: La ecuación de 2º grado

«El hombre, dicen, es un animal racional. No sé por qué no se haya dicho que es un animal afectivo o sentimental. Y acaso lo que de los demás animales le diferencia sea más el sentimiento que no la razón. Más veces he visto razonar a un gato que no reír o llorar. Acaso llore o ría por dentro, pero por dentro acaso también el cangrejo resuelva ecuaciones de segundo grado.» Unamuno, Del sentimiento trágico de la vida

UNIDAD DIDÁCTICA: La ecuación de 2º grado 


(MOTIVACIÓN)
Juan tiene una parcela de terreno rectangular de 6m de largo por 5m de ancho, limitada por la parcela de Antonio como se ve en el gráfico. Juan necesita tener una parcela cuadrada por lo que acuerda con Antonio el recortar el largo de su parcela dándosela a Antonio y aumentar la misma superficie al ancho con el terreno que a cambio le de éste, de tal forma que consiga una parcela cuadrada. ¿Cuánto deben de recortar al largo y aumentar al ancho para que intercambien los mismos metros cuadrados?

Puesto que la parcela final es cuadrada: 
6-x=5+y,  y=1-x
Puesto que los terrenos intercambiados tienen el mismo área:
5x=(6-x)y, 5x=(6-x)(1-x), 5x=6-6x-x+x2, x2-12x+6=0
Necesitamos resolver una ecuación de segundo grado.

(EXPERIMENTACIÓN)
En el caso concreto del problema podemos ir quitando poco a poco al largo del rectángulo y probamos si puede ser el ancho igual para formar el cuadrado comprobando si el área es 30.
x=0.1, largo=5.9, ancho=5.9, 5.9·5.9=34.81>30
x=0.2, largo=5.8, ancho=5.8, 5.8·5.8=33.64>30
x=0.3, largo=5.7, ancho=5.7, 5.7·5.7=32.49>30
x=0.4, largo=5.6, ancho=5.6, 5.6·5.6=31.36>30
x=0.5, largo=5.5, ancho=5.5, 5.5·5.5=30.25>30
x=0.6, largo=5.4, ancho=5.4, 5.4·5.4=29.16<30
La solución es un cuadrado cuyo lado está entre 5.4m y 5.5m

(CONCEPTUALIZACIÓN)
Si hemos recortado x en el largo entonces tenemos un cuadrado de lado 6-x, cuyo área tiene que ser 5·6=30, entonces la ecuación es:
(6-x)2=5·6, que despejando el cuadrado da:
6-x=(+/-)raíz(5·6), esto es, la media geométrica de los lados del rectángulo.
x=6(+/-)raíz(5·6), y=-5(+/-)raíz(5·6)

(PROCESAMIENTO)
Para resolver la ecuación x2-12x+6=0 hay que convertir esta en un cuadrado perfecto y pasar la parte numérica sobrante al segundo miembro.
x2-12x+6=x2-2·6x+36-30=(x-6)2-30=0
(x-6)2=30, x=6(+/-)raíz(30)

(MECANIZACIÓN)
Si consideramos los coeficientes como datos podemos obtener la fórmula que permite encontrar las soluciones:
a=1, b=-12, c=6
x2+bx+c=0
(x+b/2)2-(b/2)2+c=0
x+b/2=(+/-)raíz[((b/2)2-c]
x=-b/2(+/-)raíz[((b/2)2-c]
x=[-b(+/-)raíz[b2-4c]]/2
x=[12(+/-)raíz[144-24]]/2=(+/-)0.522.....
Si a es distinto de 1 se divide la ecuación por a, 
ax2+bx+c=0
x2+b/ax+c/a=0 y sustituyendo en la fórmula anterior se tiene la fórmula cuadrática general
x=[-b(+/-)raíz[b2-4ac]]/(2a)

(CONSOLIDACIÓN)
Entonces ante una ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0 para resolverla hemos seguido el método de completar cuadrados:
Por ejemplo 2x2-6x-10=0
1) Dividimos la ecuación por el coeficiente a, en este caso 2
(2x2-6x-10=0):2---->x2-3x-5=0
2)  Cambiamos el coeficiente de x multiplicando y dividiendo por 2
x2-2(3/2)x-5=0
3) Sumamos y restamos el cuadrado del número que está multiplicado por 2 en el coeficiente de x
x2-2(3/2)x+(3/2)2-(3/2)2-5=0
4) Expresamos el cuadrado del binomio con los tres primeros términos y simplificamos los últimos y lo pasamos al segundo miembro
(x-(3/2))2 =29/4
5) Despejamos el cuadrado
x=(3/2)(+/-)raíz(29/2)

(EVALUACIÓN)
Se ha encontrado un método general que resuelve cualquier ecuación de segundo grado. En la práctica se utiliza la fórmula cuadrática con los coeficientes a, b y c de la ecuación. Como la solución depende de la raíz, si el radicando es negativo no hay solución real. Si llamamos discriminante al radicando D=b2-4ac, tenemos el siguiente criterio sobre la existencia de soluciones:
Si D=0 hay una sola solución que se dice doble
SI D<0 no hay solución real
Si D>0 hay dos soluciones reales y distintas
Lo que se necesita es ampliar el dominio de los números reales para que siempre exista solución.

viernes, 13 de julio de 2012

El ciclo de aprendizaje 2

Cada fase del ciclo utiliza un aspecto de las matematicas, así:

MOTIVACIÓN --> RELACIONES
EXPERIMENTACIÓN --> CÁLCULOS
CONCEPTUALIZACIÓN--> PROPIEDADES
PROCESAMIENTO --> FUNCIONES
MECANIZACIÓN --> FÓRMULAS
CONSOLIDACIÓN --> MÉTODOS
EVALUACIÓN --> CRITERIOS


jueves, 12 de julio de 2012

La desigualdad triangular, un criterio

La desigualdad triangular es un criterio que dice que en cualquier triángulo la suma de dos de sus lados es mayor o igual que el tercero.
a+b>=c

Es evidente, si suponemos que los vértices A, B y C son pueblos de un mapa, y los lados, a, b y c, son carreteras rectas entre los pueblos, comprendemos que ir de A a B recorriendo c km es más corto que ir primero de A a C, recorriendo b km, y, luego, de C a B, recorriendo a km.

Es un criterio porque sirve para comprobar si es posible tener un triángulo con determinadas dimensiones de sus lados. Por ejemplo, un triángulo cuyos lados sean a=6, b=3, c=2, no puede existir porque 3+2<6. Sin embargo un triángulo con a=7, b=5, c=10, sí existe porque en cualquier combinación que hagamos se cumple la desigualdad triangular:
7+5>=10; 7+10>=5; 5+10>=7

jueves, 5 de julio de 2012

Un viaje algebraico en guagua

Suponemos la linea 1 de guaguas de la ciudad que va de A a E, parando en B, C y D (simplificando). La línea es de ida y vuelta, cuando llega a E vuelve hacia A parando en los mismos puntos. Un pasajero no tiene por qué bajarse en el principio o final de línea, puede continuar. Tenemos las siguientes operaciones que puede hacer un pasajero que sube a la guagua:

  1. Subir en una parada y bajar en otra. Si x son las paradas que recorre, entonces está garantizado que acaba en una parada
  2. También puede no subir cuando llega la guagua. Sería la operación nula.
  3. Si va de un punto a otro, puede tomar la de vuelta y retornar al punto de partida. Si recorre x paradas, al recorrer las mismas en sentido opuesto, -x, vuelve al mismo sitio.
  4. Puede asociar de distintas formas tres trayectos consecutivos llegando siempre al mismo punto. Si recorre primero x paradas, después y, y después z, el resultado final es el mismo contabilizado como (x+y)+z=x+(y+z)
  5. El recorrido es conmutativo. Si recorre primero x paradas y luego y paradas, es lo mismo que si recorre primero y paradas y después x, x+y=y+x.

Estamos ante una estructura de grupo conmutativo.

domingo, 1 de julio de 2012

Una estructura algebraica

Un conjunto con una operación interna que cumple una serie de propiedades tiene una estructura algebraica. 
Pongamos por caso que Luis tiene un cerdito en el que añade monedas de un euro (por simplicidad) aunque algunas veces quita algunas monedas. Cuando no tiene que quitar recurre a su padre aunque adquiere una deuda.
Veamos el estado en que se encuentran las finanzas de Luis según su cerdito:
Necesitamos los números enteros para llevar la contabilidad. La operación que hace es echar monedas de un euro, la suma de positivos, pero también quita monedas, la suma con negativos. Esta operación siempre tiene sentido si suponemos que el cerdito puede llegar a contener ingentes cantidades de dinero, y también, que él puede quitar aunque no haya nada pidiendo dinero a su padre contrayendo una deuda todo lo grande que se quiera (al menos en teoría). La operación también es conmutativa, es lo mismo echar cuatro euros y después siete, que echar siete y después cuatro. La operación nula es ver el cerdito sin sacar ni meter nada. Y puede echar tres y cuatro monedas juntas y, más tarde, cinco, obteniendo el mismo resultado que si echa tres y, más tarde, cuatro y cinco, conjuntamente.
Las finanzas de Luis en su cerdito siguen una estructura algebraica, que podemos llamar "grupo conmutativo"

Supongamos ahora que Luis ya es mayor y tiene una cuenta corriente en el banco haciendo las operaciones de meter o sacar dinero por un cajero automático. Este debe de operar con las imposiciones o extracciones siguiendo la estructura de grupo conmutativo:
  • Cada imposición o extracción queda reflejada con un saldo en positivo o en negativo.
  • Puede operar en el cajero para ver el estado sin por ello modificar su saldo total.
  • Lo que ingresa lo puede sacar y queda igual, o viceversa.
  • Las operaciones se pueden asociar de distinta manera importando solamente el resultado neto final.
  • El orden de las operaciones no influye en el saldo final.