viernes, 24 de diciembre de 2010

Solsticio de invierno

El 24 de Diciembre se celebra la Navidad y es una fecha que coíncide aproximadamente con el solsticio de invierno que cae entre el 21 y el 22 de Diciembre.  Este año el solsticio fue el 21 de Diciembre a las 23:38h (UTC) y es el momento de la máxima declinación sur del Sol (-23º 27'). En el hemisferio norte comienza el invierno astronómico y en el sur el verano astronómico. En el hemisferio norte se alcanza la noche más larga del año y en el sur el día más largo, y, a partir de ahí, en el norte empiezan a crecer los días hasta el día más largo que es en el solsticio de verano, que en el año 2011 será el 21 de Junio a las 17:16h (UTC).









jueves, 16 de diciembre de 2010

Perfil y frente

Ejercicio PISA(4)

Vamos a suponer que es una construcción en la que se emplea el máximo número posible de cubos.
En la base, según la visión lateral, hay 4 cubos por un lado, y, según la frontal, otros 4 por el otro lado. La base es un cuadrado 4x4 (4 filas x 4columnas), es decir, está formado (en una construcción de máximos) por 16 cubos.
En el nivel superior, hay 2 cubos en la fila primera y otros 2 en la fila tercera, si consideramos que se están ocultando estos últimos, en la visión lateral, por los primeros.
En una construcción de máximos hay, por tanto, 16+4=20 cubos.

Vamos a suponer que es una construcción con el mínimo número de cubos.
Considerando el nivel superior, con solo 2 cubos en las columnas segunda y tercera tenemos las visiones de frente y perfil. En la base hay que situar un cubo debajo de cada uno de los 2 cubos del nivel superior. Entonces sólo faltan otros 2 cubos, uno en la fila segunda y otro en la cuarta, que definan la primera y cuarta columna de la base en la visión lateral.
En una construcción de mínimos hay, por tanto, 4+2=6 cubos

En conclusión, se tienen que emplear entre 6 y 20 cubos para formar el objeto con esa planta y ese perfil.

lunes, 13 de diciembre de 2010

sábado, 11 de diciembre de 2010

Caminando

Primero despejamos n. La fórmula que relaciona n con P es n/P=140. Despejando n, pasando la P dividiendo al segundo miembro de la igualdad, obtenemos que n=140P.
Ahora calculamos n para el caminar de Bernardo. En este caso P=0'80m, luego, sustituyendo en la última expresión, obtenemos que n=140·0'80=112p/min. En metros por minuto es 112·0'80=89'6.
Por últimos, hay que pasar esta velocidad a kilómetros por hora. Para ello los metros se ponen en kilómetros, dividiendo por mil, 89'6m=0'0896km. También ponemos los minutos en horas, dividiendo por 60, 1min=1/60h. Entonces la velocidad queda:
n=89'6m/min=0'0896km/(1/60)h=60·0'0896 km/h=5'376km/h

Ejercicio PISA (3)

La fotografía nos muestra las huellas de un hombre caminando. La longitud del paso P es la distancia entre el talón de dos huellas consecutivas. Para el hombre la fórmula n/P=140 da aproximadamente la relación entre la n y P, donde n es el número de pasos por minuto.
Sabemos que Bernardo tiene una longitud de paso de 0'80m. Aplicando la fórmula al caminar de Bernardo, calcula la velocidad con la que camina en metros por minuto y en kilómetros por hora.

jueves, 9 de diciembre de 2010

Elegir el modelo de depósito

Esta cuestión del ejemplo PISA es sencillo de contestar si se concretan bien los porcentajes.

La primera opción es un 4% anual. El 4% de 1000 euros se calcula multiplicando 1000 por 4 y dividiendo por 100. El resultado es 40 euros. El pimer año se tiene, por tanto, un capital de 1040 euros. Al segundo año el 4% de 1040 se calcula multiplicando 1040 por 4 y dividiendo por 100. El resultado es 41.6 euros. Por tanto, con el primer plan se acumulan 1040+41.6=1081.6 euros a los dos años.
La segunda opción a elegir es 10 euros iniciales y una renta anual del 3%. Si guardamos los 10 euros en cuenta desde el principio tendremos 1010 euros. Al año producen un 3%, o sea, 3*1010/100=30.3 euros, que acumulan 1010+30.3=1040.3 euros. Es un poquito mejor este plan a un año que el anterior. El segundo año la renta de estos 1040.3 euros es, 3*1040.3/100=31.209 euros, con lo que se acumula el segundo año un total de 1040.3+31.209=1071.209 euros. Si lo comparamos con el plan anterior se comprueba que es mejor el primer plan a dos años que el segundo.

Ejercicio PISA (2)

 Ejercicio ejemplo de PISA


1000 euros se depositan en una cuenta bancaria. Hay dos opciones: a) recibir una renta anual del 4%; b) recibir 10 euros iniciales y una renta anual del 3%
¿Qué opción es mejor al cabo de un año? ¿Y al cabo de dos años?

miércoles, 8 de diciembre de 2010

El teorema de Euler para los poliedros convexos

El ejercicio PISA se inscribe en la órbita del teorema de Euler para poliedros convexos.
En primer lugar hay que decir que el ejercicio requiere la capacidad de ver en tres dimensiones, tanto para imaginar los posibles cortes como para ver las partes ocultas del poliedro que resulta. ¿Qué posibilidades reales hay de obtener poliedros convexos diferentes al seccionar el cubo por un plano? ¿Cómo podemos sistematizar el estudio?
Un alumno que tenga que responder a este ejercicio en un test PISA, lo más probable es que se limite a responder sobre los poliedros que aparecen en la figura.
De los cinco poliedros que tiene la figura, empezando por el cubo, el segundo tiene una sección que es un triángulo, el tercero, un hexágono, el cuarto, otro hexágono y el quinto, un triángulo. No obstante hay que decir que también se pueden obtener secciones que son cuadriláteros o pentágonos. Siempre convexos.
Con ayuda de la capacidad de visualización espacial, imaginándo la parte oculta de los poliedros, por atrás, podemos hacer una tabla para contabilizar las caras, las aristas y los vértices. La relación entre estos tres elementos para cada poliedro viene establecida por el teorema de Euler:
caras+vértices=aristas+2


martes, 7 de diciembre de 2010

Ejercicio PISA (1)

Ejercicio ejemplo de PISA: Espacio y formas

¿Qué figuras se forman cuando un plano corta un cubo?
¿Cuántas caras, ejes o vértices se obtienen cuando se secciona un cubo de esta manera?




PISA 2009 Assessment Framework Key competencies in reading, mathematics and science