Educación y ficción. Los holomates (5)

5) Un patrón de medida

Algún cacique holomate debía de desear que sus dimensiones le sucedieran, o lo que es más lógico, los holomates no podían repartirse a su cacique para efectuar mediciones oficiales, lo que les llevó a fijar el paso, el pie y la cuarta en un instrumento. Tan a mano estaban las varas que lo más natural era medir el paso con una vara; marcaron las muescas de los tres pies y de las cuatro manos, y surgió el primer patrón de la historia de los holomates, la vara.

Los holomates liberan así al cuerpo humano de ser instrumento de medida y construyen su primer instrumento científico.

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Educación y ficción. Los holomates (4)

4) Medir

El trabajo agrícola hizo que surgieran nuevos oficios artesanales debido a que se necesitaban aperos de labranza.

Las mediciones también se necesitaban en la construcción de utensilios y no parecía muy adecuado hacerlas con los pies. El cuerpo, una vez más, tenía la solución, utilizar la palma de la mano con la mano extendida, como nueva unidad de medida: el palmo.

Por desgracia el palmo y el pie no coincidían; ¿esto suponía tener unidades diferentes para un mismo hecho, medir? Comparando las tres unidades, el palmo, el pie y el paso, se descubrió el segundo teorema de holomatía:

1 paso = 4 palmos =3 pies

El tamaño del palmo era divisor natural del tamaño del paso.

Incluso se reflejó este hecho lingüísticamente que pasó a llamarse al palmo, cuarta.

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Educación y ficción. Los holomates (3)

3) El poder también contribuye

A estas alturas de la historia, se puede decir que los nuevos problemas de la humanidad serían resueltos por los holomates u objeto de sus estudios cotidianos.

El aumento de la actividad comercial, popularizó las nuevas unidades de medida, aunque trajo conflictos de los llamados de precisión.

Los caciques de los holomates pronto se dieron cuenta de lo conveniente de normalizar las unidades de medida  como las suyas propias. El paso y pie oficiales serían los del jefe, y cualquier disputa había de ser dirimida por sus dimensiones.

Un hecho que podía reforzar esta decisión podía ser organizar la medición oficial de la distancia entre las dos poblaciones más importantes del lugar. Incluso se llegarían a establecer las distancias entre las diversas poblaciones, haciendo que surgiese una nueva unidad para simplificar grandes distancias, un múltiplo del paso, la legua.

1 legua=5000 pasos

Es posible que se fijase ese múltiplo a través de algún dato del cuerpo humano.

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Educación y ficción. Los holomates (2)

2) Distancias más cortas

La necesidad de hacer mediciones más cortas que el paso les planteó un nuevo problema. En su cuerpo encontraron otra vez la solución. Algunos empezaron a relacionar el paso con el tamaño de los pies, y encontraron una relación natural entre los mismos, el primer teorema de holomatía: 1 paso=3 pies.

La demostración la daba la propia Naturaleza, y su descubrimiento se hizo por sentido común. El tamaño del pie era un divisor natural del tamaño del paso.

A partir de aquí se podían controlar los pasos haciendo mediciones, algo más lentas, con los pies. Por otra parte, las distancias cortas se daban en pies.

La gran mayoría de los holomates adultos poseían un tamaño de pie bastante homogéneo, lo cual hacía más aceptable la nueva unidad.

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Educación y ficción. Los holomates (1)

Los Holomates (Cuento de ficción para introducir al estudio de la Ciencia)

1) En un principio

Los holomates siempre tuvieron fama entre sus vecinos, a lo largo de la historia, de tener sentido común para resolver problemas.

Desde que el hombre fue pastor se enfrentó a la necesidad de contar sus rebaños, no había que perder animales por los campos. Los holomates fueron de los primeros en desarrollar un sistema de numeración, basado en los dedos de las manos y ayudados por muescas en palos.

Cuando los hombres se establecieron en asentamientos agrícolas pronto empezaron a surgir nuevos problemas relacionados con las mediciones de los campos. Los holomates tampoco escaparon a esta necesidad. Su primer planteamiento fue determinar lo que hoy llamaríamos distancia entre dos puntos de un terreno. Su experiencia en la numeración y el acierto en utilizar su propio cuerpo entonces, como patrón de medida, les llevó a asociar ambas cosas para resolver este problema, de una forma tan natural como era medir dicha distancia contando los pasos en línea recta entre ambos puntos.

Adquirieron una cierta regularidad en su forma de caminar para medir, con el mismo tamaño de paso, y esto reforzó su confianza en la nueva unidad de medida: el paso.

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Una demostración con ayuda del movimiento

Una de las fórmulas habituales en geometría es la de la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n-lados:

S_n= 180º(n-2)

Para el triángulo, n=3, S3=180º(3-2)=180º
Para el cuadrilátero, n=4, S4=180º(4-2)=360º
Para el pentágono, n=5, S5=180º(5-2)=540º
..................................................................

Para polígonos regulares se puede utilizar para calcular el valor del ángulo interior.

Para el triángulo equilátero, a=180º/3=60º
Para el cuadrado, a=360º/4=90º
Para el pentágono regular, a=540º/5=108º
...................................................................

Pero, ¿cómo se puede deducir esta fórmula? Pues con ayuda de una flecha que vaya recorriendo los lados del polígono. Veámoslo con ayuda de un hexágono:
La flecha viaja a lo largo del perímetro de hexágono, cuando llega a los vértices tiene que dar un pequeño giro de 180º-αi para continuar a lo largo del lado siguiente, siendo αi el ángulo interior correspondiente al vértice. Al dar una vuelta completa sobre el perímetro, la flecha gira sobre sí misma 360º. Con lo que: 360º=n(180º-αi), de donde n·αi=n·180º-360º, n·αi=180º(n-2), y como n·αi=Sn, queda demostrada la fórmula.

¿Cómo ordenar números con un árbol binario?

Supongamos que tenemos una lista de números naturales desordenados y los tenemos que ordenar. ¿Cómo hacerlo de forma práctica? Pues hay muchas formas aunque parezca extraño. Vamos a ver una forma usual, como lo hace un ordenador, la ordenación binaria.
Supongamos que tenemos la lista siguiente: {23,43,25,24,33,42,22,41,44,56,12,10}
Vamos tomando los números según están en la lista. Empieza el 23, a continuación se toma el 43 y se compara con el 23. Como es mayor se pone a su derecha--->{23,43}. A continuación viene el 25, se compara con el 23 y debe de ir a su derecha, ahí está el 43, como 25 es menor que 43 debe de estar a su izquierda, y la lista que se va ordenando queda --->{23,25,43}. Procedemos así con cada nuevo número, se compara con el primero, si es menor se pone a la izquierda, si es mayor se mira el siguiente de la derecha y se vuelve a comparar, si es menor se queda a la izquierda y si es mayor se pasa a comparar con el siguiente de la derecha, y así sucesivamente. Si no hay más números a la derecha se deja el número de último.

23--->{23}
43--->{23,43}
25--->{23,25,43}
24--->{23,24,25,43}
33--->{23,24,25,33,43}
42--->{23,24,25,33,42,43}
22--->{22,23,24,25,33,42,43}
41--->{22,23,24,25,33,41,42,43}
44--->{22,23,24,25,33,41,42,43,44}
56--->{22,23,24,25,33,41,42,43,44,56}
12--->{12,22,23,24,25,33,41,42,43,44,56}
10--->{10,12,22,23,24,25,33,41,42,43,44,56}

¿Cuántas comparaciones se han hecho? 0+1+2+2+4+5+1+6+8+9+1+1=40

Ordenar números

Representamos los naturales sobre la recta empezando en el 0 y poniendo hacia la derecha el 1, luego el 2, luego el 3, etc, todos a una distancia fija que consideramos que representa la unidad.

Si hay que ordenar un grupo de naturales debemos de considerar que los menores son los que se sitúan en la recta a la izquierda y los mayores a la derecha, así podemos escribir:   5<10<13<24

Los enteros negativos se ponen en la recta de la misma forma pero hacia la izquierda, de forma equidistante, el -1 es simétrico del 1, el -2 del 2, etc.

Si hay que ordenar enteros los menores están a la izquierda en la recta y los mayores a la derecha, así: -12<-8<-5<5<12<67

Las fracciones propias positivas se sitúan en el intervalo [0,1] dividiendo este en tantas partes iguales como indica el denominador y eligiendo tantos tramos como indica el numerador.

Así se tiene que 1/6<2/6<3/6<4/6<5/6, o bien simplificando, 1/6<1/3<1/2<2/3<5/6. Esto indica que es preciso reducir las fracciones a común denominador antes de ordenarlas. Por ejemplo, si tenemos 1/4 y 2/5, podemos amplificarlas de forma que tengan denominador común, 1/4=5/20 y 2/5=8/20, entonces como 5/20<8/20 se obtiene que 1/4<2/5.

Las fracciones negativas se sitúan en simétrico hacia la izquierda como se hace con las positivas.
Las fracciones impropias hay que convertirlas en forma mixta dividiendo numerador entre denominador.

Por ejemplo, 7/5, al hacer la división da de cociente 1 y de resto 2, 7=5·1+2, entonces dividiendo por 5 tenemos, 7/5=(5·1)/5+2/5=1+2/5. Se representa en el intervalo [1,2], dividiendo este en 5 partes iguales y cogiendo 2 de izquierda a derecha.

Si tenemos 4/3 y 8/5, como son fracciones impropias buscamos la forma mixta, 4/3=1+1/3 y 8/5=1+3/5, ambas fracciones están en el intervalo [1,2]. Comparamos 1/3 y 3/5, que amplificamos para que tengan denominador común, y como 1/3=5/15 y 3/5=9/15, entonces 1/3<3/5, por lo que concluimos que 4/3<8/5.

En el caso de las fracciones 5/2 y 8/5, 5/2=2+1/2 y 8/5=1+3/5, como 5/2 está dentro del intervalo [2,3] y 8/5 dentro del intervalo [1,2], entonces 8/5<5/2. Nótese que en este caso el producto cruzado mantiene la relación "menor que": 16<25.

Las fracciones se pueden convertir en expresiones decimales exactas, periódicas puras o mixtas. Entonces también se pueden ordenar junto con los irracionales con su expresión decimal. En ese caso para ordenar los números en notación decimal se ordenan en primer lugar según su parte entera y si esta es coincidente se ordenan según la parte decimal. Si hay que ordenar según la parte decimal se comparan las décimas, si coinciden entonces se comparan las centésimas, si coinciden, las milésimas, y así sucesivamente.

Así, 3'456<6'333...<6'454647...6'454850...<7

La razón de proporcionalidad

En una granja con 30 gallinas se producen 150 huevos a la semana. ¿Qué podemos esperar en cuanto a la producción semanal si el número de gallinas aumenta hasta 50?

Lo que produce una gallina no debe de depender del número total de gallinas. Si mantenemos la alimentación por gallina constante cada animal debe de poner lo mismo. Este es el fundamento de proporcionalidad directa, el número de huevos por gallina permanece constante, lo que se llama la razón de proporcionalidad.

Según este razonamiento, si 30 gallinas ponen 150 huevos a la semana, entonces, una gallina pone 150/30=5 huevos por semana, la razón de proporcionalidad es de 5. Ahora, si tenemos 50 gallinas esperamos que pongan semanalmente a ese ritmo, en total, 50·5=250 huevos.

¿Cómo evolucionan los números?

Los números nacen, en algún momento aparecen para superar una necesidad, o como algo extraño, y siguen viviendo entre nosotros. El caso más conocido es el de raíz de 2, que cuando los pitagóricos descubren que la diagonal del cuadrado de lado unidad no es racional se produce un pequeño colapso. Es un número que durante mucho tiempo permanece oculto para no contradecir la armonía del universo supuestamente regida por los números racionales. Veamos cómo es que raíz de 2 no es un número racional usando una razonamiento por reducción al absurdo:

Si raíz(2)=p/q, suponiendo que p y q no tienen ningún factor común porque hemos simplificado la fracción, elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad tendríamos que 2=(p/q)²=p²/q². Esto significa que el 2 es un divisor de p, entonces p=2r. Sustituyendo en la igualdad anterior, 2=(4r²)/q², y simplificando dividiendo por 2, 1=(2r²)/q². O sea, q²=2r², y de aquí concluimos que 2 es también divisor de q. Pero esto no puede ser porque habíamos supuesto que p y q no tenían ningún factor común. Lo que ocurre es que la suposición inicial de que raíz de 2 era igual a una fracción no es posible hacerla.

Pero es otra raíz la que posteriormente da lugar a otro nuevo nacimiento, la raiz(-1), número al que Euler llamó la unidad imaginaria i.

El problema estaba en que raíz(-1)=i no podía ser un número real, ya que el resultado de una raíz cuadrada debe de cumplir que al elevarlo al cuadrado dé el radicando, i²=-1, y, como no hay ningún número real que al elevarlo al cuadrado de negativo, i tenía que ser un nuevo número.

Si raíz(2) es el comienzo de los números irracionales, en este caso, con i surgen todos los números complejos. En lenguaje de ecuaciones podíamos decir que dos ecuaciones son las matrices de gestación de una gran parte de los números: x²-2=0 y x²+1=0

¿Para qué sirven los números?

Los números forman parte de nuestra vida y los utilizamos en multitud de ocasiones. Por ejemplo:
-Para contar: Enero tiene 31 días. Este pendrive tiene 3 Gigas de capacidad. Traje 3 botellas de refresco.
-Para numerar: El día 12 de Enero. Fernando Alonso quedó 4º en los entrenamientos. Tengo el número 126 en la cola de la charcutería.
-Para medir: Son las 12h 30m. Vivo a 2'3 Kilómetros de donde trabajo. Hace 30º de temperatura.
-Para calcular: Las rebajas de este verano son de un 35%. El banco da un 1'2% de interés.
-Para explicar un mundo en movimiento: La velocidad del coche es de 38 Km/h. Mi corazón late en descanso unos 75 latidos por minuto.

¿De dónde salen los números?

Los números surgen de la necesidad de numerar y contar. Los antiguos pastores y agricultores por el Oriente Medio hacían muescas en los palos y tablillas de barro para contar el ganado o las dimensiones de sus campos. Poniendo rayas consecutivamente surgieron los primeros números, |, ||, |||, ... y la necesidad de abreviar notaciones dieron lugar a los numerales actuales, los llamados números arábigos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. El 0 surge muy posteriormente ante la necesidad de representar el vacío. En la actualidad, ante la necesidad de usar máquinas de cómputo, el contar con ayuda de máquinas electromagnéticas queda limitado a lo que es la señal eléctrica o magnética, la presencia o ausencia de electricidad o de campo magnético. Por lo tanto hay que contar en base 2 o un múltiplo de 2, por ejemplo, octal o hexadecimal. Las unidades de memoria mínimas son los bits, y en un bit se puede contar un 0 (ausencia de campo magnético) o un 1 (presencia). Para poder contar más se debe de ampliar el tamaño de la "palabra" de memoria, así se determina éste en 8 bits, dando lugar al byte. Con el byte se puede contar, teniendo en cuenta todas las variaciones con repetición de dos elementos (0,1) en los 8 bits, desde 0 hasta 2⁸=256. Esta posibilidad de contar y numerar da lugar a la codificación ASCII que permite que los primeros ordenadores entiendan los caracteres del alfabeto.

HISTORIA DE NÚMERO 1

VER ASCII EN WIKIPEDIA

¿Cómo se generan los números?

El sistema de numeración decimal permite escribir los números con los diez dígitos usuales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Para seguir escribiendo números usamos la posición poniendo en secuencia detrás de lo que tenemos todos los demás dígitos. Así, después del 9 viene el 10, después el 11, después el 12, después el 13 y así hasta el 19. Acabado el 1 se toma el 2 y se le añaden los diez dígitos. Se obtienen el 20, el 21, el 22,..., hasta el 29. Se sigue así indefinidamente. ¿Qué pasa si limitamos los numerales? Pongamos por caso que sólo disponemos del 0 y del 1. Vamos a escribir la serie de números que podemos escribir:
0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1110, 1111,.....
Si comparamos este sistema de numeración binario con el decimal tendremos la equivalencia entre ambos:
0-->0
1-->1
2-->10
3-->11
4-->100
5-->101
6-->110
7-->111
8-->1000
9-->1001
10-->1010
11-->1011
12-->1110
13-->1111
..................

¿De qué forma se escriben los números?

Vamos a dividir por 2 todas la veces que se pueda el número 123. En cada división elegimos el cociente y lo volvemos a dividir por 2 hasta que no podamos hacer más esta operación.
123=2·61+1
61=2·30+1
30=2·15+0
15=2·7+1
7=2·3+1
3=2·1+1
Pongamos todo el proceso en conjunto y simplifiquemos los paréntesis dejando las operaciones indicadas como potencias:
123=
2·61+1=
2(2·30+1)+1=
2(2(2·15+0)+1)+1=
2(2(2(2·7+1)+0)+1)+1=
2(2(2(2(2·3+1)+1)+0)+1)+1=
2(2(2(2(2(2·1+1)+1)+1)+0)+1)+1=
2(2(2(2(2²·1+2·1+1)+1)+0)+1)+1=
2(2(2(2³·1+2²·1+2·1+1)+0)+1)+1=
2(2(2⁴·1+2³·1+2²·1+2·1+0)+1)+1=
2(2⁵·1+2⁴·1+2³·1+2²·1+2·0+1)+1=
2⁶·1+2⁵·1+2⁴·1+2³·1+2²·0+2·1+1=1111011₂
Podemos obviar las potencias de 2 porque son consecutivas y siempre las podemos incorporar porque están implícitas en la posición de cada dígito. Lo que obtenemos es la notación binaria del número 123