¿Cómo se obtiene el resultado de una operación numérica?

Dividir un número D entre otro d es averiguar cuantas veces podemos restar d de D. Los ingleses empiezan dividen a groso modo, más fielmente a la definición, y los españoles empiezan más ajustadamente pero enmascarando más la definición. Veamos un ejemplo:
Dividir 345 entre 53.
Según los ingleses, podemos ir quitando los grupos de 53 que queramos, por ejemplo 4 grupos de 53, 4·53=212, entonces quedan, 345-212=133. Podemos quitar a este resto dos grupos de 53, 2·53=106, entonces quedan, 133-106=27. Aquí ya no podemos quitar 53 a 27, queda de resto final 27 y los grupos de 53 quitados son, 4+2=6, que representa el cociente. Lo mejor es quitar los 6 grupos de 53 desde el principio porque ahorra restas.
Según los españoles, para dividir 345 entre 53, el 3 no cabe en 5 así que cogemos dos cifras, 34, 34 entre 5 cabe a 6. Multiplicamos 6 por 3, da 18, al 25 van 7, llevamos 2, y 6 por 5 da 30, más 2, 32, 34 menos 32 da 2, el resto es por tanto 27 y el cociente 6. Es el método pero para enseñar a dividir se debería empezar por lo anterior.

Tablas de apoyo

El triángulo de Pascal o de Tartaglia es un ejemplo de una tabla que puede ser práctica para obtener los números combinatorios.
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01--01--01--01--01--01--01.....
01--02--03--04--05--06.....
01--03--06--10--15.....
01--04--10--20....
01--05--15....
01--06....
01....
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Hay que verlo como un triángulo "ladeado" y fijarse que las diagonales son simétricas.
Los lados superiores del triángulo son todos unos (fila uno y columna uno) y para construirlo hay que sumar dos números consecutivos de la diagonal para obtener el número intermedio entre esos dos números de la diagonal siguiente. En la tabla se observa que el 6 y el 4 sumados dan el 10.
Cada diagonal coincide con la serie de números combinatorios, así por ejemplo, en la diagonal 5ª están:
C_5,0=1; C_5,1=5; C_5,2=10; C_5,3=10; C_5,4=5; C_5,5=1

La demostración de que es así está en las siguientes propiedades de los números combinatorios: C_n,0=1; C_n,n=1; C_n,r+C_n,r+1=C_n+1,r+1

Matemática mental versus álgebra

Si decimos que el dinero que tiene Juan más 12 euros suman 20 euros, es fácil hacer el computo mental del dinero que tiene Juan, no hay más que restar 12 euros a los 20 y obtenemos 8.
Si x es la cantidad de Juan, x+12 es la suma del dinero de Juan más 12 euros. Si decimos que en total son 20 euros, entonces tenemos, x+12=20. Debemos de quitar 12 euros a los 20, en ambos lados de la ecuación, entonces tenemos, x=20-12, es decir, x=8.

Si el doble del dinero de Pepe más 7 euros hacen 25 euros, mentalmente podemos sacar el dinero que tiene Pepe. Quitamos los 7 euros a 25, 25-7 es 18, entonces el doble del dinero de Pepe es 18. Entonces el dinero de Pepe es la mitad de 18, 18/2, o sea, 9 euros.
Si x es el dinero que tiene Pepe, el doble es 2x, y el doble más 7 es 2x+7. Como hacen 25 euros en total tendremos, 2x+7=25. Sacamos los siete euros en ambas partes de la igualdad, 2x=25-7, o sea, 2x=18. Ahora, dividimos a la mitad para obtener x, x=18/2, entonces, x=9 euros.

Si María paga 3 refrescos con un billete de 20 euros y le devuelven 14 euros, mentalmente podemos averiguar cuanto cuesta cada refresco. Empezamos por descontar de los 20 euros los 14 que le devolvieron, eso significa que le costaron 6 euros, ahora como son 3 refrescos debemos dividir los 6 entre 3, dando como resultado 2 euros por refresco.
Si x es el precio de cada refresco, cuestan 3x, si paga con 20 euros y le devuelven 14, se tiene que 20-3x=14. descontamos lo 14 euros en ambos lados, 20-14-3x=0, 6-3x=0, o sea, 3x=6, y de aquí, dividiendo por 3, x=6/3=2 euros por refresco.

Generalizar

Empezamos por los números de uno en uno (el 1, el -3), pasamos a los pares de números (el (2,3), el (-3,5)), luego a los triples (el (-2,3,0), el (-3,2,-1)), ... , luego a las matrices (las cajas de números en filas y columnas) y de ahí... a los tensores. Todo un proceso de generalización.

• Los números de uno en uno sirven para magnitudes escalares como la temperatura, la altura o la amplitud de un ángulo. Por ejemplo: 23º C, 120 m, 23'5 kg ó 90º sexagesimales.
• Los pares de números sirven para magnitudes vectoriales (en 2D). Por ejemplo: estar en la posición 30º Este, 24º Norte; empujar un carro con una fuerza de 12 N y un ángulo de 45º con la vertical.
• Los triples numéricos sirven para magnitudes vectoriales (en 3D). Por ejemplo: un globo aerostático se encuentra en la posición 35º Este, 88º Norte, a una altura de 245 m; un gas ideal ocupa un volumen de 20 l, tiene una presión de 4'5 at y está a una temperatura de 35º C.
• Las matrices sirven para manejar conjuntos de datos bidimensionales. Por ejemplo:la intensidad de los campos electromagnéticos de los electrodomésticos mas usuales según la distancia.

El proceso inverso

En Matemáticas se suele tener en cuenta si un proceso determinado tiene su inverso o no (la vuelta atrás). Veamos algunos ejemplos:
1) Dados dos números, 3 y 5, podemos calcular su suma: 3+5=8. Ahora dado el resultado, 8, y uno de los sumandos, por ejemplo el 3, podemos calcular el otro: 8-3=5.
2) Dada una fracción, por ejemplo 3/5, podemos calcular su expresión decimal, 0.6. Ahora, dada la expresión decimal, 0.6, podemos calcular la fracción generatriz de la que proviene: 0.6=6/10=3/5.
3) Dada una base, 3, y un exponente, 2, podemos calcular la potencia, 3²=9. Ahora, dada la potencia y la base podemos calcular el exponente: 2=log₃9. O bien, dado el resultado, 9, y el exponente, 2, podemos calcular la base: 3=sqrt(9).
4) Dada una expresión combinada de operaciones con números, 2·5-6·4, podemos obtener el resultado final, -14. Ahora, dada la expresión final, -14, podemos averiguar uno de los números implicados en la expresión suponiendo que lo hubiésemos perdido, 2x-6·4=-14, resolviendo la ecuación.

Aplicando matemáticas

Calcular el coste del trayecto de un taxi.
Supongamos que en una determinada ciudad la bajada de bandera del taxi cuesta 2 euros y que el precio por Km recorrido es de 0.7 euros. Lo que cuesta la carrera según los Kms del trayecto es una progresión aritmética en la que n es el número de kilómetros, el primer término es 2 y la diferencia 0.7.

a1=2.7
d=0.7
a_n=2.7+(n-1)·0.7=0.7·n+2

(nº Kms, euros): (1, 2.7), (2, 3.4), (3, 4.1), (4, 4.8),....

Si un taxi recorre entre 3 y 4 kilómetros, el precio estaría entre a₃ y a₄, esto es, entre 4.1 y 4.8 euros.

Hay páginas web que se dedican a calcular el coste de trayectos en diversas ciudades. Hay que dar el origen y el final, a partir de ahí la página averigua el precio con el número aproximado de kilómetros del recorrido. Muestran además el coste de bajada de bandera y las taxas que hay que pagar en aeropuertos. En cómputos relacionados con el tiempo de viaje se calcula el posible retraso en el trayecto.
WORLD TAXIMETER

Lo que rodea a la tarea

Muchos conceptos generan a su alrededor una serie de tareas que es necesario saber resolver. Por ejemplo, en el caso de las progresiones aritméticas hay que saber hacer entre otras cosas:
1) Determinar el primer término y la diferencia a partir de una sucesión.
2) Calcular los n primeros términos a partir del primero y la diferencia.
3) Calcular el término general a partir del primero y la diferencia.
4) Calcular cualquier término y la diferencia a partir del término general.
5) Calcular la suma de los n primeros términos de la progresión.
6) Interpolar varios términos entre dos dados para que formen progresión aritmética.
7) Aplicar estos conocimientos en ejemplos.

Historia de las espirales

ARQUÍMEDES (287 a.C-21 2 a.C)
Nació y murió en Siracusa. Fué sin duda el mayor matemático y físico de la antigüedad. Arquímedes, aristócrata en cuerpo y alma, era hijo del astrónomo Feidias.

Define la espiral con el movimiento: Es la curva que describe un punto que se mueve con velocidad constante que se mueve, a su vez, girando con velocidad constante.


La distancia entre dos espiras consecutivas siempre es la misma.


Es la espiral más sencilla que se puede construir y por ese motivo aparece en muchas obras de arte.

Evolución de la espiral

En un sistema de coordenadas polares, como se ve en la figura, la espiral se desarrolla de acuerdo con dos progresiones aritméticas: El ángulo sigue la sucesión de los naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...., y la distancia al centro evoluciona con una progresión aritmética de primer término 1 y diferencia 2, es decir con la sucesión: 1, 3, 5, 7, 9, 11,.... Curiosamente estos valores corresponden a una recta en un sistema de coordenadas cartesianas.
a_i=a_i-1+1; a₀=1
b_i=b_i-1+2; b₀=1