Una demostración con ayuda del movimiento

Una de las fórmulas habituales en geometría es la de la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n-lados:

S_n= 180º(n-2)

Para el triángulo, n=3, S3=180º(3-2)=180º
Para el cuadrilátero, n=4, S4=180º(4-2)=360º
Para el pentágono, n=5, S5=180º(5-2)=540º
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Para polígonos regulares se puede utilizar para calcular el valor del ángulo interior.

Para el triángulo equilátero, a=180º/3=60º
Para el cuadrado, a=360º/4=90º
Para el pentágono regular, a=540º/5=108º
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Pero, ¿cómo se puede deducir esta fórmula? Pues con ayuda de una flecha que vaya recorriendo los lados del polígono. Veámoslo con ayuda de un hexágono:
La flecha viaja a lo largo del perímetro de hexágono, cuando llega a los vértices tiene que dar un pequeño giro de 180º-αi para continuar a lo largo del lado siguiente, siendo αi el ángulo interior correspondiente al vértice. Al dar una vuelta completa sobre el perímetro, la flecha gira sobre sí misma 360º. Con lo que: 360º=n(180º-αi), de donde n·αi=n·180º-360º, n·αi=180º(n-2), y como n·αi=Sn, queda demostrada la fórmula.