Ejercicios para la propuesta metodológica (7)

Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 2x+3x-4=16

1º) 2x+3x-4=16
2º) 2x+3x=16+4
3º) 2x+3x=20
4º) 5x=20
5º) x=20/5
6º) x=4

b) 5x-4+3x=14+2x

1º) 5x-4+3x=14+2x
2º) 5x+3x=14+4+2x
3º) 5x+3x=18+2x
4º) 5x-2x=18
5º) 3x=18
6º) x=18/3
7º) x=6

Propuesta metodológica (7)

Propuesta 6:
Finalizar con el método. ¿Qué pasos hay que dar?

Una ecuación lineal de la forma ax+b=c nos aporta el dato que hay que poner en lugar de x para que al multiplicarlo por "a" y sumarle al resultado "b" nos de "c". Par obtenerlo no hay mas que pasar "b" al segundo miembro de la igualdad cambiado de signo, restar "c" de "b". Para finalizar hay que pasar "a" dividiendo al segundo miembro.
1º) ax+b=c
2º) ax=c-b
3º) x=(c-b)/a

En general para resolver una ecuación lineal se siguen los pasos:
1º) Pasar los números del primer miembro al segundo cambiados de signo y operar con los números que haya.
2º) Pasar los términos que tengan x al primer miembro cambiando el signo del coeficiente que tenga y operar con los otros términos en x sumando o restando coeficientes.
3º) Despejar x pasando el coeficiente dividiendo al segundo miembro y operar.

Ejercicios para la propuesta metodológica (6)

¿Qué área ocupa la Gioconda en el cuadro?


De los 12·15=180 cuadros hay 111 que corresponden al cuerpo y 22 en el borde que tienen parte del cuerpo. Si x es la porción de cuadrado en el borde que corresponde a la Gioconda, el área que ocupa ésta es: 22x+111=y, con "x" entre 0 y 1, o sea, "y" está entre 111 y 133.
(aproximadamente un 68% del cuadro)

Propuesta metodológica (6)

Propuesta 6:
Continuar con la formalización. ¿Cómo se define?

Para definir una imagen por una ecuación de la forma ax+b=c debemos de descomponer la imagen en sus componentes individuales mas simples tal que conozcamos el todo (c) y una parte (b), aunque existen (a) unidades individuales de las que no tenemos su valor (x). La igualdad representa la identificación del total (c) frente a las partes simples (ax+b).

Ejercicios para la propuesta metodológica (5)

Supongamos la balanza con dos platillos A y B que contienen unas bolas azules que pesan 1 Kg, y otras distintas naranjas, de las que desconocemos su peso. ¿Cuanto pesa una bola naranja?

Propuesta metodológica (5)

Propuesta 5:
Continuar con la gradualidad. ¿Cómo funciona?

Una ecuación de la forma ax+b=c representa un balance entre dos partes. Debemos conseguir dejar x en una parte sin romper el equilibrio. Se quitan b unidades en cada parte y finalmente se divide en a partes iguales lo que queda en la derecha, c-b, con lo se obtiene x.

Ejercicios para la propuesta metodológica (4)

Averigua las ecuaciones y los puntos de corte P, Q y R.

Suponemos que la esquina inferior izquierda es el (0,0) y que las escalas en ambos ejes van de 1 en 1.
P es la intersección de y=2x+2 con y=5-->2x+2=5--> x=2'5
Q es la intersección de y=(2/5)x+2 con y=5-->0'4x+2=5--> x=7'5
¿R?

Ejercicios para la propuesta metodológica (3)

Un grifo suelta una gota de agua de 5 mm³ cada 3 segundos. Si ponemos un vaso vacío de 120000 mm³ debajo del grifo, ¿cuántas gotas tienen que caer para llenar el vaso? y ¿en cuanto tiempo se llena?¿Y si en el vaso ya había 30000 mm³?

Podemos sumar:
5+5+5+5+......+5=120000. El número de veces es x: 5x=120000.
3+3+3+3+......+3=T. Una vez que tengamos el número de veces: T=3x.
Ahora para la tercera pregunta:
300+5+5+5+.....+5=120000. El número de veces es x': 30000+5x'=120000
3+3+3+3+....+3= T'. El nuevo tiempo es T'. Una vez que tengamos el número de veces: T'=3x'.

Ejercicios para la propuesta metodológica (2)

1) Un ciclista avanza 3 metros con cada pedalada, ¿cuántos pedaladas tiene que dar para recorrer 270 metros?

Resolvemos con la regla de tres:
3 metros--------->1 pedalada
270 metros------> x

x= 270·1/3=90 pedaladas

2) En un sprint final un ciclista puede avanzar a razón de 4 metros por pedalada. Si empieza a esprintar a 120 metros de la meta, ¿cuántas pedaladas tiene que dar?

3) Un ciclista disputa un final de etapa. El ciclista sprinta a 60 metros de la meta a razón de 4 metros por pedalada. Los últimos 4 metros los hace sin pedalear impulsándose con los brazos. ¿Cuántas pedaladas tuvo que dar?

Ejercicios para la propuesta metodológica (1)

El cartero va de A hasta F y entre C y D va y viene varias veces porque no encuentra al destinatario (recorre 16 calles). Dibujar en los supuestos 2 y 3 posibles caminos que sigue el cartero según la ecuación que hay al pie. ¿Cuánto debe de valer x en todos los casos?

Propuesta metodológica (4)

Propuesta 4:
Continuar con la génesis. ¿Qué sentido tiene?

En concepto la ecuación ax+b=c representa encontrar el punto de corte de las rectas y=ax+b e y=c. Cada parte de la ecuación es un proceso que va aportando valores y se trata de ver cuando coinciden. Tomamos los valores x=0, x=1, x=2, x=3,... y vemos cuando coinciden ambas partes (y=c es constante y siempre devuelve ese valor). La estructura geométrica son dos rectas que parten del eje OY, una ascendiendo o descendiendo y la otra horizontal, hasta que se encuentran a la altura del valor de x que es solución. Hay que hacer gráficas de rectas y determinar el punto de corte.

Propuesta metodológica (3)

Propuesta 3:
Continuar con la significación. ¿Qué sucede?

¿Con qué experiencia concuerda la ecuación ax+b=c? Pues con los pagos que hacemos cuando damos una señal de entrada y después pagamos una cuota todos los meses, por ejemplo. La ecuación significa que sucede que empezamos en una cantidad y vamos sumando o restando una cantidad fija consecutivamente (una progresión aritmética). Se trataría de averiguar cuántos pagos hay que hacer para llegar a c. Se pueden hacer varios ejemplos de este modelo lineal: a_n=a₀+n·d

Propuesta metodológica (2)

Propuesta 2:
Continuar con la fundamentación. ¿De dónde sale?¿Qué hay que hacer?

Empezar por resolver ecuaciones afines, ax=c, con la fórmula: x=c/a. A partir de ahí resolver ecuaciones lineales, ax+b=c, usando la fórmula: x=(c-b)/a. Explicar algún método antiguo como el de la doble falsa posición.

Uso de las TICs (1)

Propuesta 1:
Elaborar software que permita construir caminos en una parrilla con tramos desconocidos pero con resultante final del recorrido. El programa puede dar las ecuaciones lineales asociadas y permitir su resolución descontando.

Propuesta metodológica (1)

Propuesta 1:
Empezar con la identificación. ¿Para que sirve?

Ante el aprendizaje de la resolución de ecuaciones lineales ax+b=c, usar los caminos para identificar datos, variables y ecuación. La resolución es la vuelta atrás descontando.

Recorriendo caminos hacia atrás

Un cartero tiene que ir de A a F pasando por B, C, D y E. Siempre va por el camino más corto. Entre B y C va y vuelve varias veces porque no consigue encontrar la dirección correcta de una carta. Finalmente la entrega en C y sigue su camino. Al final recorre 37 calles. ¿Cuántas veces fue y volvió entre B y C?
Es importante identificar la variable que se desconoce: El número de veces que viajó entre B y C (x). Entre B y C hay 4 calles. Luego entre B y C caminó 4+...+4=4x calles. Se contabilizan el mínimo número de calles que hay entre dos puntos seguidos del trayecto.
De A a B hay 7
De C a D hay 3
De D a E hay 8
De E a F hay 7
Identificamos la situación sumando el número de calles recorridas:
7+4x+3+8+7=37
Si acabase en E descontaríamos 7, 7+4x+3+8=30; si acabase en D descontaríamos 8, 7+4x+3=22; si acabase en C descontaríamos 3, 7+4x=19. Ahora podemos imaginar que empezó en B, luego descontaríamos 7, 4x=12. Entre B y C recorrió 12 calles, que supone ir y venir 3 veces entre esas ciudades. En realidad fue de B a C, volvió a B y regresó a C.

El conocimiento antiguo

Lo de la regla de la doble falsa posición, ¿de dónde sale? Pues era una forma de resolver ecuaciones de la forma ax+b=c que conocían los hindúes y los árabes. El matemático árabe al Amuli describe de esta forma los pasos que hay que dar para llegar a la solución:
Toma para la incógnita el número que quieras; llámalo primera suposición y opera conforme al enunciado. Si se verifica la igualdad esa es la incógnita. Si se desvía la balanza en más o en menos, llama a la diferencia primera desviación. Toma otro número para la incógnita y será la segunda suposición. Resultará en general la segunda desviación. Multiplica la primera suposición por la segunda desviación y llama al producto primer resultado. Después multiplica la segunda suposición por la primera desviación y llama al producto segundo resultado. Si las dos desviaciones son por exceso o las dos son por defecto divide la diferencia de resultados por la diferencia de desviaciones. Si una es por exceso y la otra por defecto divide la suma de resultados por la suma de desviaciones. El cociente será el número buscado.

Tiene la ventaja de que se puede partir de dos soluciones arbitrarias de forma que ayuden operar fácilmente, evitando así cálculos pesados. El fundamento del método está en que si se trabaja con diferencias la ecuación lineal se convierte en afín y los resultados son proporcionales a los datos.

Resolviendo por descomposición

Cogemos las figuras del ejercicio de los bloques y las descomponemos en bloques simples de área 1 y x. Para construir un área de 5 m², o sea, cinco bloques de área 1 m², por cancelación, los bloques de área x tienen que ser también de 1 m²

1+1+1+x+x=1+1+1+1+1
1+1+1+x+x=1+1+1+1+1
x+x=1+1

Resolver por necesidad

Vamos a ir poniendo los datos necesarios en la pirámide. Empezamos por el 0+1=1; el 2+3=5 como hipótesis; bajamos y 1+1=2 y 1+2=3; bajamos hasta la base y x+0=1-->1+0=1 y a la derecha 1+x=2--> 1+1=2.

Vueltas y vueltas hacen una recta

Lo que pasa es que el cuentakilómetros del taxi gira y gira sumando poco a poco el coste de la carrera: en la gráfica adjunta nos dice que ha dado 4 vueltas, 4 kilómetros, con un coste total de 2·4+3=11 euros.
3+2=5
3+2+2=7
3+2+2+2=9
3+2+2+2+2=11
La diferencia es constante de vuelta a vuelta, son 2 euros. Esto es lo que se llama un crecimiento lineal.
En el caso de la ecuación 3+2x=5, ha caminado un kilómetro.

Ecuaciones equivalentes

Partiendo de la ecuación 2x+3=5, cuya solución es x=1, observamos en la gráfica que podemos encontrar más ecuaciones con esa solución. Considerando el punto solución y proyectándolo hacia abajo, hacia el 1, empezando por la primera intersección vamos desplazando en paralelo las rectas y llegamos a 2x=2. Todas estas ecuaciones son equivalentes en cuanto que tienen la misma solución.
2x+3=5||2x+2=4||2x+1=3||2x=2->x=1

Resolver ecuaciones tiene algo de gradual

Las pesas de 1 deben de ir acercándose gradualmente a la par para que no cambie el estado de equilibrio. Así el peso de 1 de la izquierda se desplaza 3 lugares hacia el centro y lo mismo debe de hacer el de la derecha. El primero ya no cuenta cuando está en el centro pero el segundo queda a dos tramos de la derecha. Como sólo quedan el peso x y el 1 a derecha e izquierda, respectivamente, los movemos un lugar hacia el centro y concluimos que x=1.


Las ecuaciones que surgen representan estados de equilibrio en todos los casos. Son igualdades correctas.
2x+3=5
2x+2=4
2x+1=3
2x+0=2
2x=2
x=1

En taxi

Pedro coge un taxi y paga 5 euros, ¿cuántos metros ha recorrido?

El libro de los dos errores

Un guiño a la historia (Musa Al-Khwarizmi): La doble regula falsi
Encontremos una cantidad tal que el doble de ella más tres, dé cinco. Demos dos valores posibles de esa cantidad, por ejemplo el 4 y el 5.
Para x=4--> 2·4+3=11, nos pasamos 6
Para x=5--> 2·5+3=13, nos pasamos 8

La solución es: x= (4·8-5·6)/(8-6)=2/2=1

Pirámide numérica

Completar la pirámide teniendo en cuenta que cada número es suma de los dos que tiene debajo.

Máquinas que trabajan

¿Que peso hay que colocar para que haya equilibrio en la grúa? ¿Cómo funciona?

Más caminos

Otra vez para qué sirve: Un viajero va de A a B, de B a C y de C a B. Si recorre 5 Km, y de A a B hay 3 km, ¿qué distancia hay de B a C?

Más concepto

La solución de la ecuación 2x+3=5 es el punto de intersección de las rectas y=2x+3 e y=5, porque si vamos probando posibles valores de x tiene que llegar un momento en que la primera parte dé 5 para coincidir con la segunda. Al representar los puntos (x,y) de los posibles valores de x y los correspondientes resultados para y sale una recta para cada parte: y=2x+3 e y=5. La ecuación y=5 es una recta horizontal porque no hay x. La ecuación tiene este sentido, cada parte es una recta que va directa a cortarse con otra, en ese punto averiguamos el verdadero valor de x. (Nótese que la escala en el eje Y comienza en 3)

Ahora en figuras

Una figura está formada por un rectángulo y un cuadrado. El rectángulo tiene uno de sus lados que mide 2 m. El área del cuadrado es 3 m². El área total de las dos figuras es 5 m². ¿Cuánto mide el otro lado del rectángulo?
Aquí tenemos una imagen de 2x+3=5. Es una forma de la ecuación. La respuesta también a ¿qué forma tiene?

Volver hacia atrás

Realmente los problemas matemáticos empiezan casi siempre cuando hay que volver hacia atrás. Pero este atrás puede ser: en el espacio, en la historia, en la memoria, en la génesis, en el tiempo, en lo construido o en los pasos dados.

¿Cuál es el método?

Prueba a responder: Sigue el hilo de los datos

Para despejar x:
1º) Pasar los números que están sumando o restando al otro lado de la ecuación cambiados de signo.
2º) Pasar los números que multiplican a la x al otro lado dividiendo.
2x+3=5
2x=5-3
2x=2
x=2/2
x=1

¿Qué forma tiene?

Probemos a responder: Separa las partes que tienen entidad

Def1: Una ecuación tiene dos partes con al menos una indeterminada separadas por el signo igual.
Def2: Resolver una ecuación es encontrar una solución, un valor numérico que al sustituir en la indeterminada dé una igualdad cierta.
Def3: Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución.
Prop1: Se puede transformar una ecuación en otra equivalente sumando, restando, multiplicando o dividiendo (sin usar el cero) ambas partes de la ecuación por un mismo número.
Para resolver 2x+3=5
Restamos 3 en ambas partes -->2x+3-3=5-3 -->2x=2
Dividimos por 2 en ambas partes -->2x/2=2/2 -->x=1

¿Cómo funciona?

Probemos a responder: Fíjate en los cambios

Los valores que puede tener un bolígrafo pueden ser desde 0 euros hasta unos pocos euros, y suele necesitarse céntimos para pagarlo. Si se pagó 5 euros por todo, descontando los 3 euros del bloc, pues estamos considerando que el precio de cada boli está entre 0 y 2 euros.
Para 0.1--> 2·0.1=0.2
Para 0.2-->2·0.2=0.4
Para 0.3-->2·0.3=0.6
Para 0.4-->2·0.4=0.8
Para 0.5-->2·0.5=1
Para 0.6-->2·0.6=1.2
Para 0.7-->2·0.7=1.4
Para 0.8-->2·0.8=1.6
Para 0.9-->2·0.9=1.8
Para 1-->2·1=2 ----> cada boli cuesta 1 euro

¿Cuál es el sentido?

También hay que aprender desde el fondo
Probemos a responder: Empieza por el principio

Vamos a empezar por el principio, partimos de que Pedro compró 2 bolis y 1 bloc. El valor de cada boli no lo sabemos, es una indeterminada x, y queda pendiente de determinar su valor. Como son dos bolis el total del importe de los bolis es 2x. Si a eso le añadimos el precio del bloc que fue de 3 euros, el gasto total es la suma, 2x+3, que debe de coincidir con los 5 euros pagados: 2x+3=5. El verdadero valor de x es la solución de la ecuación. En este caso es x=1 porque 2·1+3=5

¿Cuál es la causa?

El suceder es otro enfoque para llegar al aprendizaje.
Probemos a responder: Razona desde la causa al efecto

¿Qué pasó en el post anterior? Pues que Pedro no se acuerda de cuánto le costaba cada bolígrafo. Vamos a revivir la secuencia: Pagó 3 euros por el bloc, entonces solo le quedaban 2 euros para pagar los bolis y como estos eran dos, le tuvieron que cobrar 1 euro por cada uno.
Sencillo, ¿no?

¿Qué hay que hacer para resolver el problema?

Siguiendo con el post anterior: El "¿qué hay que hacer?" es otra de las preguntas claves. Suele estar relacionada con el "¿de dónde sale?".
Probemos a responder: Hay que ir quitando lo que es evidente.

Volvamos a la ecuación anterior: 2x+3=5. Una ecuación tiene dos instantes, el antes y el después. En el antes, los hechos son que Pedro había comprado 2 bolis y un bloc, en el después, los hechos son que Pedro gastó 5 euros en total. Hay una circunstancia, el bloc tiene una etiqueta que pone que vale 3 euros. Vamos a seguir la estrategia de aligerar el antes y el después: Si eliminamos la compra del bloc del antes y del después, consideramos que no lo hubiése comprado, concluimos que por la compra de dos bolis pagó 2 euros. Luego cada boli costó 1 euro.